Integración por Partes y Sustitución Trigonométrica en Cálculo Integral, Apuntes de Dibujo técnico

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Integración por partes y Sustitución Trigonométrica TEMAS: Integración por Partes Integración por Sustitución Trigonométrica

Intensidad de un campo electromagnético

La intensidad del campo electromagnético H de un imán de longitud 2 L sobre una partícula r unidades desde el centro del imán es: 𝐻 =

2

• 𝐿 2 3 2 Donde ±𝑚 son los polos del imán. Encuentre la fuerza 𝐹 promedio del campo mediante que la partícula se mueve de 0 a 𝑅 la evaluación de la integral: 𝑄(𝑟) =

2

• 𝐿 2 3 / 2

Y usando la ecuación 𝐹 = 𝑄(𝑅) − 𝑄( 0 ).

SABERES PREVIOS

5

4. 7 − 2 x dx = 

6 7 2 ) 12 x B C − − +

2 3

1. 7 − 2 x dx =  1 3

x e dx − =  1 3

x

e

D C

−

5/ 3 7 2 ) 10 x E C − − + 2 1

16 dx x − =

1 ) arctan 4 4 x A C − (^)    +   Relaciona las integrales de la columna izquierda con su respectiva solución dada en la columna derecha.

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y/o problemas aplicados a la Ingeniería calculando integrales indefinidas por los métodos de integración por partes y de sustitución trigonométrica, de manera eficiente y consistente. Logro de sesión:

Integración por partes Fórmula de integración por partes Si 𝑢, 𝑣 son funciones derivables en 𝑥, entonces por la derivada de un producto, se tiene: 1 ° 2 ° 3 °  =  −    u dv u v v du

Nemotecnia

Para elegir “𝑢”, podemos utilizar de manera práctica un orden de

prioridad, la misma que se puede recordar con la palabra ILATE:

Ejemplo, en la integral (^) ׬ 𝑥 tan − 1 𝑥 𝑑𝑥 escogemos como 𝑢 = tan − 1 𝑥 porque I (inversas) se encuentra antes que la A (algebraicas). I : Funciones trigonométricas I nversas. L : Funciones L ogarítmicas. A : Funciones A lgebraicas. T : Funciones T rigonométricas. E : Funciones E xponenciales.

Directrices para una integración por partes exitosa

1. El primer paso es escoger a 𝑢 y 𝑑𝑣. ( ILATE )
2. Derive a 𝑢 e integre a 𝑑𝑣.
3. Aplique la fórmula (^) ׬ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ׬ 𝑣 𝑑𝑢.
4. Evalúe a (^) ׬ 𝑣 𝑑𝑢.

Ejercicio 2

cos

x xdx

Calcule: (^) ׬ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 SOLUCIÓN :

Ejercicio 2

cos

x xdx

Calcule: (^) ׬ 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 SOLUCIÓN :

MÉTODO TABULAR SOLUCIÓN : Calcule: න 𝑥 4 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

Sustitución Trigonométrica Sustitución:

2

2 Sustitución: Sustitución:

2

2 𝑎^2 + 𝑢^2

𝑢 = 𝑎 sen θ 𝑢 = 𝑎 tan 𝜃

𝑢 = 𝑎 sec θ

Si las integrales presentan en el denominador expresiones como : (𝑥 2 𝑛 ± 𝑎 2 𝑛 ) ó (𝑎 2 𝑛 − 𝑥 2 𝑛 ), también se puede usar éstas sustituciones. − 𝜋 2 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2 − 𝜋 2 < 𝜃 < 𝜋 2 0 ≤ 𝜃 < 𝜋 2 𝑠𝑖 𝑢 ≥ 𝑎 𝜋 2 < 𝜃 ≤ 𝜋 𝑠𝑖 𝑢 ≤ −𝑎

Fórmulas adicionales −

Fórmulas adicionales

Recordemos: