¡Descarga Integracion sustitucion trigonometrica y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Ejemplos
:
i
)
fsenosxcossixdx ¿ [
ten /
3-
✗ tsen
/
)
xfdx.is#..-+=S.i:::::-.---Yi:i::-*-tenmxcosnx--
{ [
senlm-
a) ✗
tsenlmtn
) ×
]
"
"no = "
/
j.EE?----fse-Ido--)dx--4sec20d0--tzf(senl-2x)tsen8x)dx
=
f
Sec
-0 do
=
{
[
fsenzxdxtfsenooxdx
]
Si
✗
= 4km = lnlsectttanltltc
¥
_
tarro
= ln
/ seclarctun E)
E
,
/
te
=
{
[
{
los 2x
¿
los
8 × 1
E-
arctun
/
E
,
)
=
±
los 2x
t los 8/
tc
×
=) seco
=
hipo
Catady
10
④ Integración por
sustitución
trigonométrica.
y
seco
Podemos hacer una sustitución ú cambio
de
variable
de
fytjfx-m-lnf.tl#TtE
,
/
tc
integración por
una
función
trigonométrica
.
Estas sustituciones son
de
especial
ayuda
cuando se
tienen
integrando
que
involucran
reglas
de
correspondencia
de
la
forma :
Ii
)
/
y d×
=
|
=
sf
TI
,
↓aÍ
,
vk.ci/--V5seno- =
s%
do
en
donde
será conveniente
hacer una
correspondencia
con
las
dx = ⊕ coso de
=
serio DO
siguientes
identidades trigonométricas :
Senlxtcoslex
=L
cost = 1- seríx ó senlx = 1-
cosa
±
(
l
20
)
dotan
'
× 1-1 =
Seck
Ó tanx = sectx
=
§ )
( I
de
Vemos
que
si
realizamos
una
sustitución de la
forma =
§ [
fdo
/
los 20
do
]
✗ = aseno
aún =
↓a2_a2sen
= ↓a4i-sen4- =
§ [
¿
senza
]
te
¥
≤
⊖ ≤
=
↓a2cóÍ
=
alcosot
= acoso
=
§
G-
¡
sentate
=
{
§
.
2 seno
cost tc
✗
=
a tant
NGAI
=
da2tatanT-dalittano-IX-r.IT
seno
=
Seno
coso
Izctcñ
= oiseco = a seco
f-
= arcsen
=
3-
aún
(E)
E. ¥ HÉ
✗
= aseo
IKI
= labiata
=
{
arcsen
(E)
E-
ISÍ
×
◦
< a-
≤
¥
ir
≤
a- ≤
¥
=
datación
= atano
μ
Vs
v
dx
iii )
dx
t.la?e:-;-.3ax-aoll6x2+4qj3k=/#.yj-yyz-dxx=zseno-
=
|
↓ª"→Ñˢ
-3 cost do
✗
=
,
tano
=)
(¥tan
.
7-
sedado
9 serio
dx =
coso de [
1614,9-
tanto
1-
%-)
]
✗
=
7-
SCCZODO
=
f 3g:#
' "
osado
=
(E)
Y
_Ü
ácido
=
/ Jjj
do =
fcotodo [
b.
Y?
ltarioti-
=/
ksio
1. Ido
=
fcsc
fdo
=
({
¡(E)
ɧ
,
= - coto
⊖ tc
=
¥ 1
.
%)
Kioto
=
(
(
seco )
]
"
(5)
tc
✗
=3 seno
o
(E)
=
/
sedado
3
×
=
¥
}÷
do
=
:S
:*
.
t
:#
=
:¡÷¥=
:*
.
ivl
,
ytanaoy.IE
""
" "
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f ¥
. sentido
=
/
ytario-HF-T.is
""
" "
=
E) ¥
seno de
sed ✗
=
tunxtl
✗
= 2km
ytan.jp#-
=
Epf
I'II
td "
U
= COJO
dx
= 2 Sedado
du
=
fyp.nl#-
=
Ep
du
=
:[Jaan
SHY
=
ES
=
±
J
=
, [
a
4-
te
=
El :#
do
ES :#
=
¥
[
cost
Eso
]
v. seno
=
,
)
¥
=
ú
'
du
{ VÍ
tc
=
¥ [
cost
t seco
te
]
du = cost
do
=
4-
.
tu
te
= _
tggtenotc
luego
✗
=
¡
tuno
=
¥ [
ÉI
"
te
=
lqcsclttc
E- arctun
(
¥ )
✗
= etano
=
{
HII
a
=
-1×2*-
ÁTH
yx
cosa
9
G-
=
avctun
(E)
sect-dtbfyt-97dxtyxcsca-hip-n-dxj.IN
Cat .
op
2
Si aixtbixtci es un
factor cuadrático
irreducible de
Qlxl
,
⑤
Integración
de funciones racionales
por
fracciones
y
n
es la
potencia
más
grande
de ese
factor que
divide
parciales
.
a QCH
,
entonces
pum
ese factor
asignaremos
la suma
de n
fracciones :
Fracciones
parciales
.
Bixtci-1-Bzxtc-ztBsxtcs-t.it
BN
Sea la función racional fcx)
=
(aixztbixtc; )
( aixtbixtci)
(aisítbixtci) (
aisítbi
" t
"
Si el
grado
de Plx
es
menor
que
el
grado
de
QCX
Con esta
asignación
de sumas de funciones
por
cada factor
entonces
es una
función racional
propia
y
es
posible
expresar
(
simple
ó cuadrático irreducible )
de Qcxl
, igualamos
la
fcx) como
una suma de
fracciones
simples. fracción
original
a la suma de estas funciones.
Si el
grado
de
Pat es
mayor que
el
grado
de QCX)
Realizamos la suma correspondiente
reordenando
los términos
en
entonces fcx) es una función racional
impropia y potencias
decrecientes de ×
=
¥
,
= Scxlt
¥
,
⑤ Finalmente
, igualamos
los coeficientes
de
las
potencias
correspondientes
y
resolvemos las ecuaciones
resultantes
para
obtener
los coeficientes
A
,
B
y
C indeterminados.
donde Rlx
es el residuo
del cociente
P
#cx)
.
Integración
por
fracciones
parciales
Descomposición
en
Fracciones
Parciales
|
=
/
suma
de fracciones
parciales
)
dx
Si fcx
= es una
función
racional
propia
entonces
④
Descompone
nos
Qlx ) en
sus factores
,
es decir : en donde
ftp.yd/--Alnlx-rltcccnu--x-r
1-
n
/
ftp.dx-n-f-n-i-cconu-x-r#Qlxt--(x-ai)(x-aallx-as)...(x-an)fBxtC-dx= Hay
bastante
más que
En donde los
factores (✗
a ;) no son
necesariamente
todos
✗
pxtq
Ó
distintos
desarrollar
dependiendo
de los
valores de
B
,
C , p y
q
.
Qlx)
=
( a. ✗
b. xtc
,
)
azxrltbxtcr
)
_.. (ansítbnxtcn )
en
donde
Aixztbixtci
sus factores cuadráticos
Ejemplos
:
irreducibles (no tienen raíces reales ) .
/ ¥→*
②
Si
μ
) es
un
factor
lineal
de QQ )
y
m es la
potencia
más
grande
de ese
factor
que
divide
AQUI
,
Expresa
remos
fcx )
en fracciones
parciales pues
es una
función
propia
.
entonces
pum
ese
factor
asignaremos
la
suma
de m
tumores
:
5+-3=5×1--
=
÷»+
=
✗2-2×-
(X
✗ti)
LE
... tan =
AYI.fi#F-3A---xY;I.;YI!F-3ad(x-ai)m
pum
cada
i ( cada
factor
.
5 ×1-
= ( Ait Az) ✗
( Ai
3A a)
Ait Az = 5
4A
,
= 2
A ≥
=
lz
y
A ,
= S
¿
=
Por lo
que
¡ ) )
4- dx
✗ 21-2×1-
=
=
É
,
ÉI
É
4-
= + =
✗ 21-2×1-
Al = 4
Al = 4
fsj.at?-.dx-- / LÉ
?
¥
,
/
dx
±
)
« +
ES #-)
y
Ait Az
Az
=
=
lnlx
lnlxtiltc
|
=/ 1.* ,
¥
,
iil
/
dx
=/ ¥ ,
dx
/
¥.pk
=
dx
¥ ,
,
DX
×" =
×2- =
¡
E- HEI
2 ×3+3× 2
✗ (2×2+3×-2) =
4hr /
xtll
4
(±t
C
= A-tx-x-2-A-xxtzlt-A-n-4lnlxtlltxY.TT
C
✗ (2×-1) (
xtz )
=
fdkt-%ff.it#yfg2t2xttA3l2x2-xlirtf
=
XYZAITAzt2.AZ/tx(3Ait2Az-Az)t(-2Ai)Xl2x-i)lxt2)2Ai+n-
2+2^-3--
a
=
¥,
= X2t
3A ,
1- A
= 2
✗ (2×-111×1-2)
→^
ú;É
Ai
=
=
k"×-ס¥¥YAatk-2×+"lB×
Y 1
= t
3-
1- 2A ≥
A ]
= 2
=
KYtx-DAY-x.si#YxAqjlx3-2x4-x)Btlx2-2xti1c--)Azt2Az=O
YAL
A ,
B
O ①
A ≥
_
¥ y
A >
=
Fo
Ai 1- Az
2B tc
= O
Al TB -2C
=
/
×2t
dx =
/ (
¥
Y
DX
Altar tc
=
2 ×+3× 2 - 2x
=
E)
tdxttgf
dx
Yo
/
¥
④
2B
=
y B-
_
Sustituyendo
en ①
Al 1-2=
A ,
=
2
=
{
lnlxlt
f.
tzlnlzx
il
Fo
lnlxtzltc
Sustituyendo
en
③
(-211-12) -2C
=
-2C
= -2 ( =L
=
tzlnlxlt
ln / 2 ×-
Yo
ln /
✗+2 / tc
Sustituyendo
en ④
1- Aztl
= 4 =)
AL
=L
_=
¥
,
at
1-
1- ( ✗
2
/
F- SE :# ¥
: I
=
Y dxtf
adxt
)
tu
