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Universidad Pedag´ogica y Tecnol´ogica de Colombia Facultad de Ciencias, Escuela de F´ısica
Laboratorio 3 de F´ısica I
Escalas para graficar funciones
Aura Janeth Baron Gonzalez* , Oscar Orlando Ruge Guerrero** , Nelson Vera Villamizar***
Introducci´on
Los gr´aficos son componentes fundamentales de las ciencias b´asicas y aplicadas, generalmente utilizados para la representaci´on visual de los datos. A trav´es de ´estos se establecen relaciones entre las variables de un sistema, las cuales son generalizadas con el objeto de optimizar y/o facilitar la comprensi´on y aplicaci´on de fen´omenos con fundamento cient´ıfico en diferentes ´areas del conocimiento.
Los gr´aficos generalmente muestran el comportamiento de dos variables: una independiente y otra llamada dependiente. La variable independiente se representa sobre el eje horizontal de la gr´afica, tambi´en llamado abscisa, mientras que la variable dependiente se representa sobre el eje vertical, conocido como el eje de las ordenadas y su comportamiento siempre va en funci´on de la variable independiente. Matem´aticamente, se dice que la relaci´on entre parejas de puntos colocados en el plano cartesiano forma una funci´on que tiene caracter´ısticas particulares que dependen de su naturaleza: lineal o potencial, entre otras. Dependiendo de la naturaleza de la funci´on, su representaci´on gr´afica espec´ıfica facilitar´a la deducci´on de sus variables; para ello se busca siempre que la gr´afica de la funci´on sea una l´ınea o tenga apariencia lineal, raz´on que lleva a la implementaci´on de papel escalado en mil´ımetros, logaritmos o una combinaci´on de las dos escalas anteriores (semilogaritmico).
Objetivos
Esta pr´actica hace parte del proceso de aprendizaje de las t´ecnicas experimentales y se espera que con su realizaci´on el estudiante pueda:
Identificar y tratar apropiadamente rayados milimetrados, logar´ıtmicos y semilogar´ıtmicos
Representar gr´aficamente en papel milimetrado y logar´ıtmico una funci´on a partir de una tabla de valores dada.
Interpretar adecuadamente la representaci´on gr´afica de un conjunto de datos estableciendo las relaciones funcionales entre dos magnitudes f´ısicas.
Reconocer el tipo de funci´on y la relaci´on de proporcionalidad existente entre las variables de manera correcta. *[email protected] **[email protected] ***[email protected]
Requisitos
Antes de clase el estudiante debe:
Tabular apropiadamente
Entender la notaci´on cient´ıfica
Dominar los diferentes conjuntos num´ericos
Saber establecer un factor de escala
Identificar el dominio y codominio de las funciones lineal y potencial.
Manejar an´alisis dimensional, sistemas de unidades y medida de longitudes.
Marco Te´orico
Funci´on Lineal
Las componentes de la materia, sus interacciones, las propiedades y la fenomenolog´ıa que ´esta puede lle- gar a presentar, se analizan y establecen a partir de la observaci´on y el manejo riguroso de la informaci´on. Para ello, es fundamental el manejo de la aritm´etica b´asica, la geometr´ıa, teor´ıa de conjuntos y funciones, entre otras herramientas matem´aticas.
La funci´on m´as simple es la denominada funci´on lineal, cuya forma es
y “ A ` B x (1)
donde A representa la intersecci´on con el eje y cuando el valor de x es cero, y B la pendiente dada por
Figura 1. Representaci´on gr´afica de la funci´on lineal [1]: a) con pendiente positiva, b) con pendiente negativa, c) con pendiente cero y d) con pendiente indefinida.
Figura 3. Algunos ejemplos de la funci´on potencial [1].
Normas para graficar [2]
Tenga en cuenta la siguiente secuencia en la elaboraci´on de gr´aficas, resultado de sus experimentos:
a. Elaborar la tabla de datos obtenidos experimentalmente
b. En el papel milimetrado, trazar un plano cartesiano para representar los datos, indicando la mag- nitud que va a representar en cada eje con sus respectivas unidades y factor de escala.
c. Marcar los puntos seg´un las coordenadas que indique la tabla de datos, indicando para cada dato el grado de error en su medida.
d. Realizar el proceso de interpolaci´on: esto es, trazar la recta o curva a trav´es de los puntos, to- mando para ello la mayor cantidad de puntos que pueda cubrir con su regla o curv´ıgrafo seg´un el comportamiento de los datos.
e. En caso de que su gr´afica no sea una l´ınea recta, utilice el papel que le permita linealizar sus datos (milimetrado, logar´ıtmico o semilogar´ıtmico). Para ello, debe preguntarse: ¿qu´e tipo de curva es?, ¿Qu´e elementos contiene el dominio y el recorrido de su funci´on?, ¿Es una funci´on par o impar?, ¿Es
una funci´on as´ıntota el eje x o al eje y?. Dar respuesta a estas preguntas, le ayudar´a a seleccionar el papel apropiado para la linealizaci´on de la funci´on (por ahora puede tomar como gu´ıa la figura 3).
f. Deduzca la ecuaci´on que generaliza el comportamiento de sus datos ya sea en papel logar´ıtmico, semilogar´ıtmico o milimetrado.
g. Cada gr´afica elaborada debe llevar un t´ıtulo explicativo de lo que representa y su ecuaci´on.
h. Finalmente, a cada una de sus ecuaciones debe realizarle un an´alisis dimensional, para poder efectuar una breve discusi´on de su ecuaci´on en torno al sistema del cual obtuvo los datos.
Procedimiento
Con el fin de realizar adecuadamente la metodolog´ıa planteada a continuaci´on, es necesario el uso de papel (milimetrado, logar´ıtmico y semilogar´ıtmico), escuadra, curv´ıgrafo, calculadora, esferos de colo- res. Tambi´en si le es posible, puede usar aplicaciones para celular o computador que le faciliten medir las dimensiones implicadas en este laboratorio (por ejemplo https://play.google.com/store/apps/ details?id=mx.com.peregrina.ringsizefinder).
Parte 1: Caracter´ısticas y manejo de diferentes rayados
Con respecto a las figura 4a, b, c, especifique en cada caso: propiedades, manejo de escalas x y y; posibilidad de rotaci´on de hoja y conjunto(s) num´erico que puede contener.
a) milimetrado b) logar´ıtmico c) semilogar´ıtmico
Figura 4. Secciones fragmentadas de papel y su notaci´on.
Parte 2. Construcci´on del papel logar´ıtmico.
a. Complete la siguiente tabla de datos, para ello obtenga los valores faltantes aplicando logaritmo en base 10. Luego verifique esta escala en la figura 5.
x (cm) (^0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) y “ log x (^) NE 0.00 0.30 0.
Tabla 1. Construcci´on escala logar´ıtmica.
Parte 3: Identificaci´on de comportamientos lineales y potenciales.
- Tome los datos del laboratorio 1, en particular la tabla 3. Si no cuenta con estos deber´a seguir el proceso enunciado en los items 2 y 3.
- Tenga a mano nueve monedas de diferente tama˜no (nominaci´on de peso colombiano), una regla y/o una cinta de papel milimetrado o metro de costura; en su defecto puede usar aplicaciones^1 para celular o computador que le faciliten medir las dimensiones implicadas.
- Mida el per´ımetro y di´ametro de cada una de las monedas y complete la tabla 3. Ordene sus registros de menor a mayor.
Denominaci´on ($) Di´ametro (mm) d ˘ ∆d
Per´ımetro (mm) P ˘ ∆P 50 50 100 100 200 200 500 1000
Tabla 3. Medidas directas sobre circunferencias (monedas de denominaci´on colombiana).
- Ya sea con los datos del laboratorio 1 o para los datos de la tabla 3, calcule el radio y ´area de cada circunferencia y reg´ıstrelo en la tabla 4. Ordene sus registros de menor a mayor. El ´area de cada moneda debe calcularla como el ´area encerrada entre la figura descrita por gr´afica P en funci´on de r y el eje r, para cada par ordenado. En otras palabras, determine el ´area del tri´angulo para cada par ordenado donde la base es el radio r y la altura es el per´ımetro P.
- Teniendo en cuenta las normas para graficar
a. Ubique en papel milimetrado los pares ordenados (r, P ) y (r, A) consignados en las tablas 3 y
b. Use el papel logar´ıtmico para graficar la relaci´on P en funci´on de r y A en funci´on de r. c. Finalmente, use el papel semilogar´ıtmico para observar la representaci´on gr´afica de los pares ordenados (r, P ) y (r, A)
Resultados y an´alisis
A partir de las siguientes inquietudes realice el an´alisis de los resultados obtenidos.
- ¿Qu´e se debe tener en cuenta para establecer la escala de trabajo en los diferentes escalados de papel? (^1) https://play.google.com/store/apps/details?id=mx.com.peregrina.ringsizefinder
Denominaci´on ($) Radio (mm) r ˘ ∆r
Area (mm^ ´^2 ) A ˘ ∆A 50 50 100 100 200 200 500 1000
Tabla 4. Medidas indirectas sobre circunferencias (monedas de denominaci´on colombiana).
- ¿Qu´e diferencias observa en la forma de la funci´on al cambiar el escalado del papel lineal (mili- metrado) a semilogar´ıtmico y logar´ıtmico para los conjuntos de pares ordenados P vs. r y A vs. r?
- ¿Al cambiar el escalado del papel lineal (milimetrado) a semilogar´ıtmico y logar´ıtmico, se linealiz´o alguna de las funciones? ¿si, no, por qu´e?
- Especifique la funci´on que domina el comportamiento de los datos en cada una de sus gr´aficas y justifique sus respuestas con base en las figuras 1, 2 y 3.
- ¿Con respecto a la relaci´on P vs r, qu´e constante universal deduce de la pendiente de la recta?
- Teniendo en cuenta la gr´afica descrita por la relaci´on A vs. r, describa su comportamiento, indique su potencia y evidencie la constante universal all´ı encontrada. ¿La ecuaci´on obtenida es aplicable a cualquier geometr´ıa?
- Calcule el error porcentual en las constantes obtenidas en los literales 4 y 5.
- ¿Qu´e eventos podr´ıa cuantificar a trav´es de la funci´on lineal y potencial?
- Juzgue la calidad de su trabajo tomando como base el error porcentual medido.
Referencias
[1] Jacqueline M. Dewar, Dennis G. Zill, Algebra, trigonometr´´ ıa y geometr´ıa anal´ıtica. 3rd ed., Mc Graw Hill, pp. 183-209, 2012.
[2] Oscar Felipe Arbel´aez P´erez, Laboratorio De F´ısica Mec´anica, Universidad Cooperativa de Colombia, p. 12, 2006.
[3] Aurelio Baldor, Algebra, 1ra ed., Ediciones y distribuciones Codice S. A, Madrid, p 14-15, 1980
[4] Salvador Gil, Experimentos de F´ısica de bajo costo, usando TIC, Alfaomega, p 9-13, 2009
