Cálculo Diferencial e Integral:
Resolución de Límites
Compilador: Reiman Acuña Chacón
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Semana 3
Compilador: Reiman Acuña Chacón (TEC) Límites de Funciones Semana 3 1 / 32
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Calculo de Límites Indeterminados: Ejemplos y Reglas, Ejercicios de Cálculo Avanzado
Documento que presenta ejemplos y reglas para el cálculo de límites indeterminados en matemáticas, con enfoque en la resolución de formas indeterminadas como ∞ − ∞, ∞ · 0 y 0 · ∞. El documento incluye ejercicios resueltos y referencias a obras especializadas.
Tipo: Ejercicios
2020/2021
1 / 45
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Cálculo Diferencial e Integral:
Resolución de Límites
Compilador: Reiman Acuña Chacón
Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Semana 3
Contenido
(^1) Límites por sustitución
(^2) Límites que involucran valor Absoluto
(^3) Límites trigonométricos
(^4) Límites in nitos
(^5) Límites al in nito
(^6) Ejemplos Variados
(^7) Referencias
Límites por sustitución
Límites por sustitución
(^1) xl´ım→ 1
√ (^53) − 2 x − 1
1 − x
Considere la sustitución u^5 = 3 − 2 x. Como x → 1 entonces u → 1 (¾Porque?) Con base en lo anterior se debe resolver el nuevo límite
l´ uım→ 1
√ (^5) u (^5) − 1
3 − u^5 2
) (^) = l´ım u→ 1
2 u − 2 u^5 − 1
Límites por sustitución
Límites por sustitución
(^1) xl´ım→ 1
√ (^53) − 2 x − 1
1 − x
Considere la sustitución u^5 = 3 − 2 x. Como x → 1 entonces u → 1 (¾Porque?) Con base en lo anterior se debe resolver el nuevo límite
l´ uım→ 1
√ (^5) u (^5) − 1
3 − u^5 2
) (^) = l´ım u→ 1
2 u − 2 u^5 − 1
Límites por sustitución
Límites por sustitución
(^2) xl´ım→ 2
x − 1 1 + 3
1 − x
Considere la sustitución u = 12
x − 1 Note que m.c.m(3, 4) = 12. Como x → 2 entonces u → 1 (¾Porque?) Con base en lo anterior se debe resolver el nuevo límite
l´ım x→ 2
x − 1 1 − 3
x − 1
== l´ım u→ 1
1 − u^3 1 − u^4
Límites que involucran valor Absoluto
Límites que involucran valor Absoluto
(^1) xl´ım→ 1 | 1 − x| 2 x^2 − 5 x + 3
Note que la tendencia x → 1 coincide con uno de los valores absolutos. Cuando esto sucede se debe estudiar los límites laterales. Así, tendremos que l´ım x→ 1 +
−(1 − x) 2 x^2 − 5 x + 3 = l´ım x→ 1 +
(x − 1) (x − 1)(2x − 3)
y l´ım x→ 1 −
1 − x 2 x^2 − 5 x + 3 = l´ım x→ 1 −
−(x − 1) (x − 1)(2x − 3)
Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite no existe.
Límites que involucran valor Absoluto
Límites que involucran valor Absoluto
(^2) xl´ım→ 0 | 3 x − 1 | − |x + 1| x
Note que la tendencia x → 0 no coincide con alguno de los valores absolutos. Cuando esto sucede se debe escoger uno de los casos respectivos para cada valor absoluto presente, en relación con la tendencia. Así, obtenemos que
l´ xım→ 0 −(3x − 1) − (x + 1) x = l´ xım→ 0 − 4 x x = l´ xım→ 0 −4 = − 4
.
Límites que involucran valor Absoluto
Límites que involucran valor Absoluto
(^2) xl´ım→ 0 | 3 x − 1 | − |x + 1| x
Note que la tendencia x → 0 no coincide con alguno de los valores absolutos. Cuando esto sucede se debe escoger uno de los casos respectivos para cada valor absoluto presente, en relación con la tendencia. Así, obtenemos que
l´ xım→ 0 −(3x − 1) − (x + 1) x = l´ xım→ 0 − 4 x x = l´ xım→ 0 −4 = − 4
.
Límites trigonométricos
Límites Trigonométricos
Al resolver límites trigonométricos deben tenerse en cuenta dos límites especiales. Estos son
l´ xım→ 0 sen x x = 1 y l´ xım→ 0 1 − cos x x
Lo cuales también pueden aparecer como
l´ım x→ 0
x sen x
= 1 y l´ım x→ 0
cos x − 1 x
Límites trigonométricos
Límites Trigonométricos
Al resolver límites trigonométricos deben tenerse en cuenta dos límites especiales. Estos son
l´ xım→ 0 sen x x = 1 y l´ xım→ 0 1 − cos x x
Lo cuales también pueden aparecer como
l´ım x→ 0
x sen x
= 1 y l´ım x→ 0
cos x − 1 x
Límites trigonométricos
Límites Trigonométricos
(^1) xl´ım→ 0
sen 5x sen 3x Respuesta
x^ l´ım→ 0
sen 5x sen 3x = l´ xım→ 0
5 x · sen 5x 5 x 3 x · sen 3x 3 x
· (^) xl´ım→ 0
sen 5x 5 x sen 3x 3 x
Límites trigonométricos
Límites Trigonométricos
2 En general (^) xl´ım→a sen f (x) f (x) = 1 siempre que
x^ l´ım→a f^ (x) = 0 3 Por ejemplo l´ xım→ 3 sen(x − 3)^2 (x − 3)^2
Límites trigonométricos
Límites Trigonométricos
2 En general (^) xl´ım→a sen f (x) f (x) = 1 siempre que
x^ l´ım→a f^ (x) = 0 3 Por ejemplo l´ xım→ 3 sen(x − 3)^2 (x − 3)^2
ya que l´ım x→ 3 (x − 3)^2 = 0
Límites trigonométricos
Límites Trigonométricos
(^4) xl´ım→ 0 x · sen x 1 − cos x Respuesta
x^ l´ım→ 0
x · sen x 1 − cos x
1 + cos x 1 + cos x
x^ l´ım→ 0
x · sen x · (1 + cos x) 1 − cos^2 x .
l´ xım→ 0 x · sen x · (1 + cos x) sen^2 x = l´ xım→ 0 x sen x · (1 + cos x) = 2
.