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CÁLCULO 1 – CE
SEMANA 1 – SP
FORMAS INDETERMINADAS
Si hallamos el
2
lim
2
(^) x
x
x
, observamos que no podemos hallar el límite por sustitución directa ya
que................................................., por lo tanto, necesitamos de un proceso algebraico de manera preliminar.
De manera general, si lim^ ( )^0 x a
f x
y lim^ ( )^0 x a
g x
, entonces decimos que
lim x a ( )
f x
g x
, tiene la forma
indeterminada.........., lo cual no quiere decir que este límite no exista.
Si f ( ) x g x ( )cuando x a , entonceslim ( ) lim ( ) x a x a
f x g x
, en caso de que exista el límite
Los tipos de formas indeterminadas que se estudiaran en este curso son: ......................................................
Ejemplos:
Determine el límite (si es que existen) en cada caso:
a.
2
1 2
lim( ) x
x x
x x
b.
2
2
lim( ) x 2
x
x
Ejercicios 1:
Calcule los siguientes límites (si es que existen):
a.
3
3
lim( ) x 3
x x
x
b. h
h
h
lim 0
LÍMITES INFINITOS
Se tienen límites infinitos, cuando los valores de 𝑓(𝑥) pueden hacerse tan grandes como se quiera para todos
los 𝑥 lo suficientemente cercanos de 𝑎, pero distintos de 𝑎. Es decir:
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x a
x a
x a
f x
f x
f x
o
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x a
x a
x a
f x
f x
f x
Ejemplos:
Observe el gráfico de la función 𝑓(𝑥) y determine:
1
1
lim ( )
lim ( )
x
x
f x
f x
2
2
lim ( )
lim ( )
x
x
f x
f x
Ejercicios 2:
Según la gráfica, calcule (si es que existen los siguientes límites)
1 2
1 2
1 2
a) lim ( 1)
b) lim ( 1)
c) lim ( 1)
x
x
x
x
x
x
Ejercicios 3:
Calcule los siguientes límites :
a) x (^1) x
lim 1
b) 0 2
lim x
x
x
LÍMITES AL INFINITO
Para hallar límites de al infinito es importante analizar los siguientes casos de límites:
Primer caso: Determine la existencia del
n x
x
lim , para n 0. Analice cada situación y concluya:
Si 𝑛 es un número par positivo
6
10
lim ______
lim ______
x
x
x
x
Si 𝑛 es un número impar positivo
5
11
lim ______
lim ______
x
x
x
x
Conclusión:
n
x
x
lim
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Geométricamente:
Se dice que la gráfica de una función 𝑓 tiene asíntotas horizontales, cuando al hacer que 𝑥
………………………… (ya sea positivo o negativo) los valores de 𝑓(𝑥) tienden a …………..…………..,
entonces la recta horizontal 𝑦 = 𝑎, se denominará…………………………….
Ejemplo:
Dado el gráfico de la función en la figura adjunta, escriba la ecuación de las asíntotas horizontales de f :
...............y................
Nota: No todas las funciones presentan asíntotas horizontales.
Analíticamente:
La recta 𝑦 = 𝑎 , es una asíntota horizontal (AH) de la gráfica de la función 𝑓(𝑥) si se cumple al menos uno
de los siguientes límites.
f x a x
lim ( ) , f x a x
lim ( )
Ejemplo:
Esboce la gráfica de ( ) 2 3
x f x
De la gráfica halle
x
x
lim 2 3
lim 2 3
x
x
Ejemplo:
Dada la función
2
2
x f x x
, determine las ecuaciones de sus asíntotas horizontales.
Ejercicios 5:
Para cada función, halle las ecuaciones de las asíntotas horizontales (si es que existen):
a.
2
2
x x f x x
b. 3
3
x
x f x
Problema (Competencia Razonamiento Cuantitativo
La temperatura T de un cuerpo, varía según el modelo
matemático
t T t e
0 , 138 ( ) 45 30
, donde la temperatura se
mide en F
o y el tiempo t se mide en minutos:
a. [Interpretación] Halle el valor de T ( 0 ) y escriba el
significado del resultado encontrado, en el contexto del
problema.
b. [Cálculo] Halle t
lim T t ( )
.
c. [Interpretación] En el contexto del problema, ¿qué
significado tiene el resultado hallado en el ítem anterior?
d. [Representación] Use el plano adjunto para graficar la función (^) T ( t ).
CIERRE DE CLASE
1. [Argumentación] Dado el gráfico de la función
30 2 f ( ) x 0,5 x x 2 x 1 , ¿posee f asíntotas horizontales?
2. [Cálculo] Halle el siguiente límite: lím (e )
x
x
3. [Cálculo] Halle los siguientes límites:
a) x x
x
lim x 2
b) 3
lim x 3 x
x
4. [Análisis/Representación] Esboce la gráfica de una función f que cumpla con las siguientes
condiciones: lim ( ) 3 x
f x
, lim ( ) 2 x
f x
0
lim ( ) 1 x
f x
0
lim ( ) 2 x
f x
; f (0) 1
