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IX - ESFUERZOS COMBINADOS
Tipos de Esfuerzos
Esf. Axial: sAX = P / A
Esf. Torsión: t = Tr / J
Esf. Flexión: sFLEX = My / I
Combinaciones
• Axial + Flexión
• Axial + Torsión
• Torsión + Flexión
• Axial + Torsión + Flexión
P
b
h
Psena Pcosa
RA RB
Pcosa
A (^) a B
Debido al ángulo que forma P con la viga,
los esfuerzos que se producen en K-K son:
K
K
sMAX = Mh/2I
E.N
P/A P/A - Mh/2I
Por Flexión (^) Por Axial Combinado
Finalmente:
I
My
A
P
s
Por Axial
Por Flexión
EJM. AXIAL + FLEXION
IX.1 GENERALIDADES
IX.2 – ESFUERZO EN UN PUNTO (ANALISIS BIDIMENSIONAL)
P
P
T
TORSION + FLEXION
s s
t t
t t
Secc a-a
Secc b-b
Se observa que la distribución de esfuerzos depende de la orientación
del elemento
P
a a b
b
ANALISIS DEL PROBLEMA
Hay que tener presente que:
- Los esfuerzos son vectores de orden superior (dependen del area)
- Las fuerzas son vectores simples
Por tanto es necesario transformar los esfuerzos en fuerzas
s F
IX.3.1 METODO ANALITICO
Consideremos un
estado de esfuerzos,
sy
tyx
sx
txy sn
q^ tt
Llamando dA el área del plano inclinado:
sydAsenq
tyxdAsenq
sxdAcosq
txydAcosq dAsn
dAtt q
Luego:
q
q
q
q
tyxdAsenq
txydAcosq
sxdAcosq
dAsn
dAtt sydAsenq
D.C.L:
( 1 ) S Fn : dAsn = (sxdAcosq)cosq + (sydAsenq)senq -
(txydAcosq)senq - (tyxdAsenq)cosq
( 2 ) S Ft : dAtt = (sxdAcosq)senq - (sydAsenq)cosq +
(txydAcosq)cosq - (tyxdAsenq)senq
q
tyx
sx sx
sy
sy
t
n
x
y
txy
Simplificando, y tomando en cuenta que:
sen
; sen cos
1 cos
; en
1 cos
cos
2 2 q
q q
q
q
q
q s
Las Ec. (1) y (2) quedan
sn = sxcos
2
q + sysen
2
q
-2txycosqsenq
tt = sxcosqsenq - sysenqcosq
+ txy(cos
2
q - sen
2
q)
q t q
s s
s s
s cos 2 - sen 2
xy
x y x y n
q t q
s s
t sen 2 cos 2
xy
x y t
(B)
(A)
(A) y (B) representan el esfuerzo normal y cortante respectivamente en
un plano cualquiera, que forme un ángulo q
Esfuerzos Principales (Máximos) y Esfuerzos Nulos
Para determinar smax y tmax:
x y
xy
2 0 tg2 - d
d
s s
q q
s t^ (2q) x
y
2
sx - sy
2
sx - sy
t xy
(2q)II t^ xy
Sol 2 : (2q)
II
Sol 1 : (2q)
I
IX.3.2 METODO GRAFICO (CIRCULO DE MOHR)
q t q
s s
s s
s cos 2 - sen 2
xy
x y x y
q t q
s s
t sen 2 cos 2
xy
x y
Dados:
Elevando al cuadrado, sumando y simplificando:
( )
2 xy
2
2 x y
2 x y
t
s s
t
s s
s o también
( )
(^2 )
s C t R
Ecuación de una circunferencia en un sistema
de ejes s , t ; la cual tiene centro en (C,0)
donde
2 xy
2 x y ( ) 2
R t
s s
C
s (^) x sy
sx sx
txy
tyx
sy
sy
R
sy
txy
sx
2
sx s y
txy
D
A
2 q
2
sx s y
E
C
F
G
s
t
A (sx, txy)
B (sy, -txy)
2
sx s y
C( , 0)
D (sx, 0 )
E ( + R , 0)
2
sx s y
F ( - R , 0)
2
sx s y
2
sx s y
G ( , R)
Observaciones:
1.- El esfuerzo normal máximo es sE, el mínimo sF y no hay t en tales condiciones
2.- El tmax es siempre R, es decir, (smax-smin)/2 ó (sE - sF)/2; y además cuando t = tmax,
entonces s = (sx + sy)/2 (Punto G)
3.- Si sE = sF R = 0 t = 0, es decir, el círculo es un punto.
4.- Si sx + sy = 0 C = 0 Esfuerzo cortante puro
5.- La suma de los esfuerzos normales en dos planos perpendiculares entre sí es,
invariablemente sx + sy = sE + sF = constante
B
Círculo de Mohr
30 º
30 º
Se aplican cuatro fuerzas al elemento de máquina ABDE, como se muestra.
Sabiendo que la sección es rectangular de 20 x 40 mm. Determinar los estados
de esfuerzos iniciales y principales para el punto H. Dibuje el círculo de Mohr
7 4 yy
8 4 zz
I 1 , 07 10
I 2 , 67 10
A 800 mm
m
m
N m
N m
N m
N m
M '' 120 0 , 16 19 , 2.
M 120 0 , 1 12.
M 250 0 , 15 37 , 5.
M 50 0 , 15 7 , 5.
120
120
250
50
Diagramas de esfuerzos cortantes
1 07 10 0 02
250
7
. ,
Q
t
8
Q
t
Estado Inicial de Esfuerzos:
( ) 0 , 53 10 6 , 77 MPa 2 , 67 10
19 , 5 0 , (^016) H (^8)
s
0 , 47 MPa 1 , 07 10 0 , 02
0 , 01 2
0 , 04 0 , 02 250
7
t
IX.4 APLICACIONES A DISEÑO DE EJES CIRCULARES
PROBLEMA PLANTEADO
Un eje circular macizo se somete simultáneamente a un momento torsional T y a un momento flector M. Encontrar el sMAX y tMAX en función de M, T y del radio R
sF^ sF
tT
tT
(0, tT)
t
s
0.5 sF
(sF, tT)
tMAX = R, donde
t s t
s t
2 T
2 MAX F
2 2 T
2 F
) R
Recordando que :
- Flexión: sF = My/I sMAX = MR/(pR^4 /4) = 4M/pr^3
- Torsión: tT = Tr/J = TR/(pr^4 /2) = 2T/(pr^3 )
T
M R
Luego
2 2 3
2
3
2
MAX 3 M T
R
R
2T
R
2M
p
p
p
t
Llamando
3
E MAX
2 2 E
R
2T
T M T
p
t
Del círculo se nota que: ( E)
3 MAX 3
E F 3
F MAX M T R
R
2T
y R R
4M
R,con 2
p
s p
p
s
s s
Llamando 3
E MAX
E E
R
4M
M T
M
p
s
