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ESFUERZOS COMBINADOS PARA EL ANALISIS MECANICO
Tipo: Apuntes
1 / 46
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OBJETIVOS
ESFUERZOS COMBINADOS
Figura 1.
Ec. 1.
Ec. 1.
Figura 1.
Ec. 1.
Figura 1.
igual a. Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y despejando para p
se obtiene:
Ec.1.
2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO
La transformación del esfuerzo significa la variación, con la dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL estudio de este tema se refiere principalmente a casos bidimensionales, pero también se dan algunos resultados importantes para estados de esfuerzos tridimensionales. Este tema es importante en la determinación de los esfuerzos máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones de esfuerzos que producen la falla de un elemento.
Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como se muestra en la figura 2.1a: Los esfuerzos en planos cortantes orientados de distinta manera fig 2.1b son diferentes.
Figura 2.
En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes
El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/^ - Y/están relacionadas con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo.
Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura. (fig.2.3) esta formada por planos cortantes normales a los ejes de referencia X,Y y por un tercer plano cortante normal a un eje inclinado X´ que forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados a las coordenadas x´,y´. Se consideran cantidades positivas si tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los sentidos opuestos.
Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por d A. Entonces, la cara opuesta y la cara adyacente al ángulo θ tiene áreas d Asenθ y d Acosθ , respectivamente. También se hace uso de las identidades trigonométricas.
Y finalmente tenemos:
( ) (Ec.2-1)
O, finalmente:
(Ec.2-2)
Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso bidimensional y dan valores de σx´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º.
Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos x-y. Así, uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto, utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto.
Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura 2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones estáticas y dinámicas de un cuerpo.
Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal , y el
esfuerzo cortante y varían en forma continua según se gira el elemento en un ángulo. Con fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales, empezamos con la expresión :
(Ec.2-3)
Al tomar la derivada con respecto a e igualar a cero, se obtiene una ecuación para los valores
de para los cuales es máximo o e mínimo:
( )
De la cual obtenemos:
(Ec.2-4)
De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de en el intervalo entre. Estos
valores difieren en , estando el valor mas pequeños entre y y el valor mas grane entre y. Por lo tanto, el ángulo tiene dos valores que difieren en , uno entre y , y
el otro entre y. Para uno de estos ángulos el esfuerzo es un esfuerzo principal
Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos principales:
√( ) (Ec.2-6)
Este resultado de los esfuerzos principales, designados por , en función de las componentes de referencia, , , y
. Donde se especificó anteriormente y . Los esfuerzos principales siempre representan los valores mayor y menor de , en un punto.
Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que (véase Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores de son 0° y 90° (^) Figura 2.
Para un elemento en cortante puro (Fig. 2.6 a), los planos principales están orientados a 45° respecto al eje x (Fig. 2.6 b), ya que tan es infinito y, por consiguiente, los dos valores de son 45° y 135°. Si es positivo, los esfuerzos
principales son y
El estudio de esfuerzos principales anterior se refiere únicamente a la rotación del elemento esforzado en el plano xy (esto es, rotación alrededor del eje z) (Fig. 2.6) Los dos esfuerzos principales determinados a partir de la Ec. (2-6) al- gunas veces se denominan esfuerzos principales en el plano.
Figura 2.
Mediante un análisis tridimensional más completo, puede demostrarse que los tres planos principales para un elemento en esfuerzo plano son los dos planos principales que se han descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo , que es uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4). Los esfuerzos principales son , donde y resultan de la Ec. (2-6) y es igual a cero.
F Figura 2.
La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a cero el resultado. Se obtiene
( ) (^) (Ec.2-7)
Las dos raíces de esta ecuación , se pueden determinar con los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de esta a 90° de. Así las raíces de y forman 45° entre ellas, y el resultado es que los planos del esfuerzo cortante máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento que defina los planos del esfuerzo principal.
Figura 2.
Usando cualquiera de las raíces , se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando los valores trigonométricos de sen y cos en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-
2). El resultado es: √( ) (Ec.2-8)
Se nota también que como tan ,el ángulo XCA
es igual en magnitud a uno de los ángulos que satisfacen las ecuaciones (2-4). Así, el ángulo que define la figura (2.9)la orientación del plano principal correspondiente al punto A en la figura 2.9 puede obtenerse dividiendo entre la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Observe además que si
0, como en el caso considerado aquí, la rotación que trae CX a CA es en sentido contrario a las agujas del reloj. Pero en ese caso el ángulo obtenido de la ecuación (2-4), el cual define la dirección de la normal Oa al plano principal, es positivo; por ello la rotación que trae Ox a Oa es también en sentido contrario al de las agujas del reloj. Se concluye que los sentidos de rotación en ambas partes de la figura 2.9 son los mismos. Si se requiere un giro para llevar CX a CA en el círculo Mohr, una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj llevará Ox a Oa en la figura 2.9a.
Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el mismo círculo puede obtenerse considerando las componentes, , correspondiente a los ejes de
la figura 2.10a. El punto X' de las coordenadas y ., y el
punto Y´ de coordenadas y están, por tanto, localizadas en el círculo de Mohr y el ángulo X'CA de la figura 2.10 debe ser el doble del ángulo x'Oa de la figura 2.10a. Como el ángulo XCA es el doble del ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX' de la figura 2.10b es el doble del xOx' de la figura 2-10a. Así el diámetro X'Y que define los esfuerzos normales y cortantes , puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo
igual al doble del ángulo formado por los ejes x' y x de la fi- gura 2.10a. Se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro .XY con el diámetro X'Y', en la figura 2-10, tiene igual sentido que la rotación que superpone los ejes xy a los ejes x'y' en la figura 2-10a.
Figura 2.
La propiedad que se acaba de indicar puede usarse para verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante máximo están a 45° de los planos principales. Ciertamente, recuerde que los puntos D y E del círculo de Mohr corresponden a los planos de esfuerzo cortante máximo, mientras A y B corresponden a los planos principales (figura 2.11b). Puesto que los diámetros AB y DE del círculo de Mohr están a 90° el uno del otro, se tiene que las caras de los elementos correspondientes están a 45° la una de la otra (figura2.11a).
La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De las figuras 2.9 y 2.10 observe que cuando el esfuerzo cortante ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento en el sentido de las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está colocado por encima del eje el círculo de Mohr.
Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el elemento en el sentido contrario a las agujas del reloj, el punto correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje ( Fig. 2.11). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se gráfica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se gráfica hacia la izquierda.
a)
b)
Figura 2.
