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ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL.
PRODUCTO ESCALAR. DEFINICION.
Sea el espacio vectorial V 3 de los vectores libres asociado al espacio afín E 3.
Se llama PRODUCTO ESCALAR en E 3 a la aplicación definida de V 3 × V 3 → R que a cada pareja de vectores le asocia un número real de la forma
u v → u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ < uv >
G G G G G G GG
( , ) cos , siendo ,^0
G G G
uv ≠ u ⋅ v = 0 siendo
G G
0 o 0
G G G G
u = v =
Este producto escalar así definido verifica las siguientes propiedades:
1. Conmutativa: u v v u
G G G G
⋅ = ⋅ ∀ u , v ∈ V 3
G G
2. Distributiva respecto de la suma de vectores: 2.1 u v w u w v w
G G G G G G G
( + )⋅ = ⋅ + ⋅ ∀ u , v , w ∈ V 3
G G G
2.2 u v w u v u w
G G G G G G G
⋅ ( + )= ⋅ + ⋅ ∀ u , v , w ∈ V 3
G G G
3. Homogénea: ( u ) v u ( v ) ( u v )
G G G G G G
λ ⋅ = ⋅ λ = λ ⋅ siendo ∈ R , u , v ∈ V 3
GG
4. Posibilidad: u^ ⋅^ u = u^2 ≥^0 ∀ u ∈ V 3
G G G G
Con estas propiedades se dice que el producto escalar es una "forma bilineal (propiedades 2 y 3) simétrica (propiedad 1) definida positiva (propiedad 4)".
Al espacio vectorial V 3 con la aplicación producto escalar se le conoce con el nombre de ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL.
Se llama ESPACIO AFÍN-EUCLÍDEO a un espacio afín cuyo espacio vectorial asociado es un espacio vectorial euclídeo.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR.
El producto escalar de dos vectores es igual al producto escalar de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Por otra parte, tenemos: u v u. v .cos u , v u. v ' u. v '.cos 0 º u v '
G G G G GG G G G G G G
Sean u , v ∈ V 3
G G
dos vectores no nulos y sea v '
G
la proyección de sobre u
G
: v proyuv
G G G
En el triángulo OAB se verifica que v = v < u v >
G G GG
' .cos ,
A
v
G
puesto que u y v '
G G
tienen la misma dirección y sentido.
Esto mismo también se verificaría, si el ángulo que forman los dos vectores fuera mayor de 90º
O v '
G
α u
G
B
ORTOGONALIDAD ENTRE VECTORES.
Hemos definido el producto escalar de dos vectores como
u ⋅ v = u v < u v >
G G G G G G
. .cos ,
Este producto es nulo cuando alguno de los vectores es nulo.
Sin embargo, existe otra posibilidad de que el producto escalar sea cero y es cuando el ángulo formado por los dos vectores sea de 90 (π/2), es decir que los vectores sean perpendiculares u ortogonales.
"Dos vectores , no nulos, son ortogonales, sí y sólo sí, su producto escalar es
nulo:
u , v ∈ V 3
G G
u ⋅ v = 0
G G
u , v ∈ V 3
G G
G G G
u v ≠ son ortogonales ⇔ u ⋅ v = 0
G G
VECTORES UNITARIOS.
Se dice que un vector u ∈ V 3 , no nulo, es unitario, si y sólo si, su módulo es la unidad.
G
3 ,^0
G G^ G
u ∈ V u ≠ es unitario ⇔ u = 1
G
PROPOSICION.
Dado un vector cualquiera v
G
no nulo, a partir de él podemos obtener un vector unitario en su misma dirección, simplemente dividiendo por su módulo.
En efecto: el vector v
v u (^) G
G
G
= tiene la misma dirección y sentido que el vector y,
además, es unitario ya que 1
= = ⋅ = ⋅ v = v
v v v
v u
G
G
G
G G
G
G
También el vector v
v u (^) G
G
G
' =− tiene la misma dirección y sentido opuesto que v
G
y es
unitario.
SISTEMA DE REFERENCIA ORTONORMAL.
Base Normada: Una base B = { u 1 (^) , u 2 , u 3 }⊂ V 3
G G G
se dice que es normada si los vectores que la
forma son vectores unitarios.
u 1 (^) = u 2 = u 3 = 1
G G G
Base ortogonal: Una base B = { u 1 (^) , u 2 , u 3 }⊂ V 3
G G G
se dice que es ortogonal si los vectores son
ortogonales dos a dos. u 1 (^) ⋅ u 2 = u 1 ⋅ u 3 = u 2 ⋅ u 3 = 0
G G G G G G
Base ortonormal: Una base B = { u 1 (^) , u 2 , u 3 }⊂ V 3
G G G
se dice que es ortonormal si es
normada y ortogonal al mismo tiempo, es decir,
MÓDULO DE UN VECTOR.
Consideremos un vector, no nulo, u ( x , y , z )∈ V 3
G
. El producto escalar del vector u
G
por
sí mismo será: 2 2 u u u u. u .cos u , u u. u .cos 0 º u. u u
G G G G G G G G G G G G
de donde
u u u
G G G
es decir, el módulo de un vector se define como la raiz cuadrada positiva del producto escalar del vector por sí mismo. Teniendo en cuenta que el producto escalar de un vector por sí mismo es
u G ⋅ u G= x. x + y. y + z. z = x^2 + y^2 + z^2
resulta que
u^ G =+ x^2 + y^2 + z^2
EJEMPLO.
Si u ( 2 ,− 3 , 5 )
G
, entonces: u =+ 2 2 +(− 3 )^2 + 52 =+ 4 + 9 + 25 =+ 38
G
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
Se define la distancia entre dos puntos A y B , como el módulo del vector AB determinado por ellos.
d ( A , B )= AB
Si A ( x 1 , y 1 , z 1 ) y B ( x 2 , y 2 , z 2 ), entonces AB = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 )de donde
2 2 1
2 2 1
2 d ( A , B )= AB =+ ( x 2 − x 1 ) +( y − y ) +( z − z )
EJEMPLO.
Calcular la distancia entre los puntos A (1,2,3) y B (−1,2,0).
Las coordenadas del vector AB son: (^) AB =( − 1 , 2 , 0 )−( 1 , 2 , 3 )=(− 2 , 0 ,− 3 )
Por tanto: d ( A , B )=+ (− 2 )^2 + 02 +(− 3 )^2 =+ 4 + 0 + 9 =+ 13
ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES.
De la definición del producto escalar de dos vectores u ⋅ v = u v < u v >
G G G G G G
. .cos ,
podemos deducir el < u v >
G G
cos , de la forma:
u v
u v u v G G
G G
G G
cos< , >=
Esto que nos dice que el coseno del ángulo determinado por dos vectores es igual al producto escalar de ambos vectores, dividido entre el producto de sus módulos.
Por tanto, el coseno del ángulo determinado por dos vectores tendrá el mismo signo que el producto escalar de ambos vectores, ya que los módulos de los vectores son siempre positivos. En consecuencia, si el producto escalar es positivo, el coseno también será positivo y el ángulo formado por los vectores será agudo (menor de 90º); si el producto escalar es negativo, el coseno también es negativo y el ángulo formado por los dos vectores será obtuso (comprendido entre 90º y 180º).
Si consideramos que ( x 1 , y 1 , z 1 ) y( x 2 , y 2 , z 2 ) son las coordenadas de los vectores u v
G G
y respectivamente, nos queda que:
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
cos ,^1.^21.^21.^2 x y z x y z
x x y y z z uv
GG
EJEMPLO.
Calcular el ángulo determinado por los vectores u i j k
G G G G
= − 2 + y v i k
G G G
Tenemos los vectores expresados como combinación lineal de los vectores de la base del sistema de referencia en el que estamos trabajando. Por tanto, las coordenadas de los vectores son u ( 1 , 2 , 1 ) y v ( 3 , 0 , 2 )
G G
− y, en consecuencia:
, arccos
cos , 2 2 2 2 2 2
u v
uv
G G
GG
VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO.
Sea π el plano de ecuación cartesiana Ax + By + Cz + D = 0 y un punto perteneciente al plano π que, por tanto, verificará la ecuación de dicho plano:
P ( x 1 , y 1 , z 1 )
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0
En consecuencia, tenemos: π : Ax + By + Cz + D = 0 P ∈ π : Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0
Restando ambas igualdades, nos queda:
A .( x − x 1 )+ B .( y − y 1 )+ C .( z − z 1 )= 0 ⇒ ( A , B , C ).( x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 )= 0
Esta igualdad expresa que los vectores n ( A , B , C ) y PX ( x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 )
G
son
ortogonales.
Como el plano tiene que ser perpendicular al vector, éste será perpendicular al plano y nos dará, por tanto, los coeficientes de x , y , z en la ecuación cartesiana del plano.
En consecuencia, la ecuación del plano pedido será de la forma: 3 x − y + 2 z + D = 0
Como dicho plano tiene que ser incidente con el punto A , las coordenadas de A verificarán la ecuación del plano y así podremos calcular el término independiente que nos falta: A ∈ π : 3.2 −1 + 2.3 + D = 0 ⇒ 11 + D = 0 ⇒ D = − 11 y, en consecuencia, la ecuación del plano será: 3 x − y + 2 z − 11 = 0
Encontrar la ecuación del plano incidente con el punto P ( − 3,2, − 1) y perpendicular a la
recta r de ecuación r : 3 4
x 1 y z
por tanto, la ecuación de éste será:
π≡ 2 x + 3 y + 4 z + D = 0
Ahora calculamos D con la condición de que sea incidente con el punto P :
P ∈ π: 2 .(− 3 )+ 3. 2 + 4 .(− 1 )+ D = 0 ⇒ − 4 + D = 0 ⇒ D = 4
y, por tanto,
π≡ 2 x + 3 y + 4 z + 4 = 0
es la ecuación del plano pedido.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 1 ,− 2 , 3 ) y es perpendicular al
plano π≡ 2 x − 3 y + 4 z − 1 = 0
Cualquier recta perpendicular al plano tendrá por dirección el vector ortogonal al plano n d
G G
( 2 ,− 3 , 4 )≡ y, como tiene que pasar por el punto A ( 1 ,− 2 , 3 ), la recta pedida, en su forma continua, será:
x y z r
Calcular la ecuación del plano que pasa por P ( 2 ,− 1 , 4 ) y es perpendicular a la recta
x 2 y z r =
P ∗
π
Al ser la recta perpendicular al plano, su vector dirección d
G
y el vector ortogonal al plano serán paralelos. En consecuencia, podremos utilizar el vector dirección de la recta como ortogonal al plano:
n
G
d n
G G
La dirección de la recta es d ( 2 , 3 , 4 )
G
que será también el vector ortogonal al plano n ( 2 , 3 , 4 )
G
y,
d
G
n
G
r
El vector dirección de la recta tiene por coordenadas d n
G G
( 3 , 4 , 1 )≡ y, por tanto, cualquier
plano perpendicular a dicha recta tendrá por ecuación:
π≡ 3 x + 4 y + z + D = 0
De todos estos planos perpendiculares a la recta sólo nos interesa el que pasa por el punto ; luego, este punto deberá verificar la ecuación del plano y calculamos D con la
condición de que pase por él:
P ( 2 ,− 1 , 4 )
P ∈ π: 3. 2 + 4 .(− 1 )+ 4 + D = 0 ⇒ 6 + D = 0 ⇒ D =− 6
En consecuencia, la ecuación del plano pedido será: 3 x + 4 y + z − 6 = 0
PLANO MEDIADOR DE UN SEGMENTO.
El plano mediador de un segmento es el plano perpendicular al segmento en su punto medio.
Los pasos a seguir para calcular el plano mediador de un segmento serán:
a) Calcular el punto medio del segmento y el vector determinado por los extremos del segmento, que es perpendicular al plano que buscamos. b) Obtenemos el plano determinado por el vector calculado en el punto anterior y que pasa por el punto medio del segmento.
M
A^ B
EJEMPLO.
Hallar el plano mediador del segmento de extremos A (1,2,3) y B (3, − 1,2).
- Calculamos el punto medio del segmento:
= =⎛^ + − +
M PM ( A , B )
- Vector determinado por los extremos del segmento:
AB =( 3 ,− 1 , 2 )−( 1 , 2 , 3 )=( 2 ,− 3 ,− 1 )
- Obtenemos el plano que pasa por M y tiene por vector perpendicular el vector AB
La ecuación del plano sería: 2 x − 3 y − z + D = 0 y calculamos D con la condición de
que el plano pase por M :
x y z
z
y
x r
Sustituyendo el valor obtenido en las ecuaciones de la recta, obtenemos las coordenadas del punto Q, que nos quedan:
Q
z z
y y
x x
z
y
x r
- El punto Q es punto medio entre P y P ':
Si asignamos a P ' unas coordenadas genéricas (^ x ', y ', z ')tendremos:
( 1 , 1 , 6 ) 2
x y z Q PuntoMedioPP
Por tanto:
z z
z
y y
y
x' x'
x
En consecuencia, el punto P ' buscado tiene por coordenadas P ' (− 12 , 5 ).
2 Un problema similar al anterior es el cálculo del simétrico de un punto respecto de una recta: básicamente el problema se resuelve de la misma forma pero cambiando únicamente el primer punto.
Los puntos P, Q y P ’ están alineados en el plano perpendicular a la recta que pasa por P. Para poder calcular el punto P ’, simétrico de P respecto de la recta, necesitamos conocer el punto Q que es punto medio entre P y P ’.
Daremos los siguientes pasos hasta llegar a las coordenadas de P ’:
- Calcularemos el plano perpendicular a la recta que pasa por P.
- Obtenido este plano, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la recta y la ecuación del plano, obteniendo así el punto Q (intersección de la recta y el plano).
P
Q
P '
r
- El punto Q es punto medio entre P y P ', o también PP ' = 2. PQ. Resolviendo esta última
condición obtendremos las coordenadas del punto P ' buscado.
EJEMPLO.
Calcular el punto simétrico de P ( 5 , 0 ,− 1 ) respecto de la recta 1 2 1
x − y z r :
Aplicando lo anterior a nuestro problema tenemos:
- Plano perpendicular a la recta r que pasa por P :
El vector dirección de la recta d n
G G
( 1 , 2 ,− 1 )≡ es ortogonal al plano buscado. Por tanto, la ecuación de éste será de la forma: x + 2 y − z + D = 0 y calculamos D para que dicho plano pase por el punto P (las coordenadas del punto verificarán la ecuación del plano):
5 + 2. 0 −(− 1 )+ D = 0 ⇒ 6 + D = 0 ⇒ D =− 6
y el plano tendrá por ecuación: x + 2 y − z − 6 = 0.
- Calculamos el punto Q = r ∩ π
Para calcular la intersección de la recta con el plano, pasamos la ecuación de la recta a forma paramétrica:
λ
λ
λ λ z
y
x r x y z r 2
resolviendo, posteriormente, el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la ecuación del plano:
x y z
z
y
x r
En consecuencia, las coordenadas del punto Q serán:
Si consideramos que los vectores de dirección de las rectas r y s tienen por coordenadas d ( d 1 , d 2 , d 3 )
G
y d ' ( d 1 ' , d 2 ', d 3 ')
G
, el coseno del ángulo formado por las dos rectas será:
'^2 1
'^2 1
'^2 1
2 3
2 2
2 1
' 3 3
' 2 2
' 1 1
'^2 1
'^2 1
'^2 1
2 3
2 2
2 1
' 3 3
' 2 2
' 1 1
cos
cos ,
d d d d d d
d d d d d d r,s arc
d d d d d d
d d d d d d rs
EJEMPLO:
- Calcular el ángulo que forman las rectas
x y z r y 1
x y z s
Los vectores de dirección de las rectas son d ( 2 , 1 , 1 ) y d '( 1 , 2 ,− 1 )
G G
. Por tanto:
r,s arccos 2
cos , cos , ' 2 2 2 2 2 2
< r s >= < d d >=
G G
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS.
Dadas las rectas r ( A , d ) y s ( B , d ')
G G
, diremos que son perpendiculares sí, y sólo sí, los vectores d y d '
G G
son ortogonales. r ⊥ s ⇔ d ⋅ d ' = 0
G G
EJEMPLO.
- Hallar una recta perpendicular a r ≡ x = 2 y = 3 z que pase por el punto A ( 2 , 1 ,− 1 ).
La recta dada, en su forma continua, será: 3
y z r ≡ x = = con lo que su vector
dirección es ) 3
d ( 1 ,
G
. Para calcular la recta perpendicular a ella, consideramos un
vector d '
G
de forma que sea ortogonal a d.
G
Vamos a considerar que d '
G
d y d '
G G
son ortogonales, puesto que 0 1 1 0 0 3
d ⋅ d ' = 1 .(− 1 )+ ⋅ + ⋅ =− + + =
G G
Entonces, la ecuación de la recta pedida (en forma paramétrica) será:
z
y
x λ
λ
Por tanto, dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales. Debemos observar que, en ningún momento, se nos impone condición alguna de que las rectas deban cortarse. Si esto ocurriera, el problema planteado y su resolución serían muy diferentes.
El problema a resolver es el siguiente:
Dados un punto y una recta, calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y corta perpendicularmente a la primera.
Podemos resolver este problema de dos formas diferentes:
- Trazamos el plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto P dado. Calculado este plano, hallamos el punto de corte del plano y la recta y, finalmente, se calcula la recta que pasa por dos puntos.
- Calculamos el plano perpendicular a la recta dada que pasa por P , igual que en el caso anterior. Después calculamos la ecuación del plano que contiene a la recta y pasa por el mismo punto. Las ecuaciones de los dos planos calculados forman las ecuaciones implícitas de la recta pedida.
Con este segundo procedimiento obtendríamos las ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular a la recta dada.
EJEMPLO.
- Hallar la ecuación de la recta que pase por P (1, − 1,3) y corta perpendicularmente a la
recta r : ⎩
x y z
x y z
Utilizaremos el primer procedimiento:
a) Calculamos las ecuaciones paramétricas de la recta r ya que nos han dado las ecuaciones cartesianas de la misma.
Para ello hacemos z = λ y las ecuaciones cartesianas nos quedan de la forma:
x y
x y
Resolviendo el sistema resultante, obtenemos x e y en función de λ y con ello las ecuaciones
paramétricas de la recta:
ÁNGULO FORMADO POR DOS PLANOS.
Sean π y π' dos planos cualesquiera del espacio euclídeo tridimensional y sean n y n '
G G
sus vectores ortogonales asociados. Se verificará que: < , '>=< n , n ' >
G G
y, por tanto,
cos , ' cos , ' n n
n n n n G G
G G
G G
n '
G
Si consideramos que n y n '
G G
tienen por coordenadas ( A , B , C ) y ( A ’, B ’, C ’)
respectivamente, entonces
(^2 22) ' (^2) ' (^2) ' 2
cos , ' cos , ' A B C A B C
AA BB CC
n n
n n nn
< >= < >= G G
G G
G G
EJEMPLO:
♦ Hallar el ángulo formado por los planos
π≡ 2 x − 3 y − z + 1 = 0 y π'≡ 2 x − y + 3 z − 5 = 0
Los vectores ortogonales a los planos dados son: n ( 2 ,− 3 ,− 1 ) y n '( 2 ,− 1 , 3 )
G G
Por tanto:
, ' arccos
cos , ' cos , '
2 2 2 2 2 2
⇒ <ππ>= ⇒ <ππ >=
< ππ>= < n n >=
G G
PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS.
n
G
π
Sean π y π' dos planos
cualesquiera del espacio afín-euclídeo tridimensional y sean n y n '
G G
sus vectores ortogonales asociados.
Diremos que π y π' son
ortogonales si, y sólo si, los vectores n y n '
G G
son ortogonales:
⊥ ' ⇔ n ⋅ n '= 0
G G
n
G
n '
G
♦ Ecuación del plano que pasa por una recta (contiene a una recta) dada y es perpendicular a otro plano.
Dada una recta r y un plano π, queremos calcular la ecuación del plano π' que contiene a la recta r, siendo perpendicular al plano π.
Por contener a la recta r , π' pertenecerá al haz de planos con base dicha recta y su vector asociado será ortogonal al asociado al plano π.
EJEMPLO.
Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta r cuyas ecuaciones cartesianas son
y es perpendicular al plano ⎩
x y z
x y z
r π≡ 3 x + 2 y − z + 3 = 0
El plano π’ pedido pertenecerá al haz determinado por la recta r, cuya ecuación nos vendrá dada por
( 2 x + y − z + 2 )+ λ.( x − y + 3 z + 1 )= 0
Ordenando, tendremos:
( 2 + λ) x +( 1 − λ) y +(− 1 + 3 λ) z +( 2 + λ)= 0
y el vector ortogonal asociado será n '( 2 + λ , 1 − λ,− 1 + 3 λ)
G
Por otra parte, el vector perpendicular asociado al plano π es el vector n ( 3 , 2 ,− 1 ).
G
Como el plano que buscamos tiene que ser perpendicular a π, los vectores n y n '
G G
tienen que ser perpendiculares, es decir,
n G ⋅ n G' = 0 ⇒ ( 3 , 2 ,− 1 )⋅( 2 +λ, 1 −λ,− 1 + 3 λ)= 0 ⇒
⇒ 3 ( 2 +λ)+ 2 ( 1 −λ)+(− 1 ).(− 1 + 3 λ)= 0 ⇒ 9 − 2 λ= 0 ⇒ λ=
Sustituyendo este valor de λ en la ecuación del haz de planos anterior obtendremos la
ecuación del plano pedido:
2 x y z 2 x y z x y z x y z
⇒ 13 x − 7 y + 25 z + 13 = 0
que es la ecuación del plano pedido.
ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UN PLANO.
Se define el ángulo formado por una recta y un plano como el ángulo formado por dicha recta y la proyección de ella sobre el plano: < r , π>=< r , r '>=α
Si r ⎜⎜ π ⇒ d ⊥ n ⇒ d ⋅ n = 0
G G G G
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.
Se define la distancia de un punto P a un
plano π como la distancia del punto P al punto Q ,
siendo Q la intersección del plano π con la recta
perpendicular a él que pasa por el punto P.
d ( P , π)= d ( P , Q ) siendo Q = r ∩ π con r ⊥ π
P
Q
Vamos a tratar de obtener una expresión para calcular la distancia de un punto a un plano basándonos en la propia definición.
r
Sea P ( x 1 , y 1 , z 1 ) y π un plano de ecuación Ax + By + Cz + D = 0. Los pasos a dar para calcular
la distancia de un punto a un plano serán los siguientes:
1. Calculamos la ecuación de la recta r perpendicular al plano π que pasa por el punto P dado.
El vector director de esta recta será el vector ortogonal al plano dado: n ABC d
G G
Las ecuaciones paramétricas de esta recta serán: ⎪ ⎩
z z C
y y B
x x A r
1
1
1
- Resolvemos el sistema formado por la ecuación del plano dado y la ecuación de la recta calculada en el punto anterior, obteniendo el punto Q de intersección de ambos.
Para ello sustituimos los valores de x , y , z de las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:
A .( x 1 + λ A )+ B .( y 1 + λ B )+ C .( z 1 + λ C )+ D = 0
de donde despejamos λ:
2 2 2
1 1 1 A B C
Ax By Cz D
sustituyendo este valor de λ en las ecuaciones paramétricas de la recta, obtendríamos las
coordenadas del punto Q.
- Se calcula la distancia entre P y Q (distancia entre dos puntos):
El vector determinado por los dos puntos es:
PQ =( x 1 +λ A , y 1 +λ B , z 1 +λ C )−( x 1 , y 1 , z 1 )=(λ A ,λ B , λ C )
y como la distancia entre dos puntos es el módulo del vector que determinan, nos queda:
d ( P ,π)= d ( P , Q )= PQ = λ^2 A^2 +λ^2 B^2 +λ^2 C^2 = λ^2 ( A^2 + B^2 + C^2 ) =λ A^2 + B^2 + C^2
Sustituyendo el valor de λ obtenido anteriormente, nos queda:
2 2 2
2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 A B C
Ax By Cz D A B C A B C
Ax By Cz D d P
lo cual nos dice que: "la distancia de un punto a un plano nos viene dada por el valor absoluto de la ecuación del plano particularizada para las coordenadas del punto dividida por el módulo del vector ortogonal al plano".
En el caso particular de que el punto P sea el origen de coordenadas nos queda:
2 2 2
A B C
D
dO
π =
EJEMPLO.
- Calcular la distancia del punto P ( 1 ,− 1 ,− 2 )al plano π≡ 3 x + 2 y − z + 11 = 0
Para resolver el problema seguiremos los pasos enumerados anteriormente:
1. Recta perpendicular al plano que pase por P :
El vector perpendicular al plano será n ( 3 , 2 ,− 1 )
G
. Este vector y la recta que buscamos tienen la misma dirección porque son perpendiculares al plano dado. Por tanto, la recta buscada tendrá por dirección el vector n ( 3 , 2 ,− 1 )
G
y pasa por el punto P ( 1 ,− 1 ,− 2 ). Las ecuaciones paramétricas de dicha recta serán:
λ
λ
λ
z
y
x r Pn
G
2. Intersección de la recta con el plano.
Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la del plano:
λ λ
λ λ λ
π
λ
λ
λ
x y z
z
y
x r
Por tanto el punto intersección será:
