¡Descarga Espacio Vectorial UPTJAA y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología.
Universidad Politécnica Territorial “José Antonio Anzoátegui”. Carrera: Ingeniería Informática. Trayecto: 2 Semestre: 2. Sección: 2. Sede: Colinas.
ESPACIOS VECTORIALES
Profesor: Nombre y apellido: C.I. N° Oswaldo Padrino. Mayerlly Acuña 27.505. Maikol Castellano 26.586. Orlandy Bastardo 27.710. Karina Martínez 28.221.
Barcelona, Febrero del 2020
Espacio vectorial Un espacio vectorial es un conjunto no vacío VV de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores uu, vv y ww en VV y todos los escalares αα y ββ reales. Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales. El espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares. Se le llama u+vu+v a la suma de vectores en VV, y αvαv al producto de un número real αα por un vector v∈Vv∈V.
- u+v∈Vu+v∈V.
- u+v=v+uu+v=v+u.
- (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w).
- Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal que v+0V=vv+0V=v.
- Para cada vv en VV, existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal que v+(–v)=0Vv+ (–v)=0V.
- αv∈Vαv∈V.
- (u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv.
- (α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv.
- α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v.
- 1v=v.
Comprobamos que forman un sistema generador, por ejemplo si consideramos el vector (2,4,-6):
(2,4,-6)=α∙(1,0.0)+β∙(1,1,0) + γ∙(0,2,-3), obtenemos el siguiente sistema:
Que es un sistema compatible determinado, de la última ecuación obtenemos que γ=2, sustituyendo en la segunda obtenemos el valor de β=0, y por último α=2.
2º La dimensión de la base, como hemos dicho coincide con el número de vectores que la forman, por tanto dim(B)=3.
Propiedades
Para todo para de vectores u,v de V; y para todo para de escalares a y b, se cumplen:
- 0u=0, donde el primer cero es un escalar y el resultado es un vector.
- Análogamente, a0=0, en este caso, tanto el primer cero como el último son vectores.
- (-a)u=a(-u)=-au.
- La propiedad distributiva para la diferencia respecto a vectores: a(u-v)=au- av.
- La propiedad distributiva para la diferencia respecto a escalares: (a-b)u=au- bu.
- Si au=0, entonces a=0 o u=0. Los cuerpos Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
C es un espacio vectorial de dimensión uno sobre C.
producto por escalar el producto del cuerpo.^ Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su^ subcuerpo, usando como
C es un espacio vectorial sobre R.
C es un espacio vectorial sobre Q.
Sucesiones sobre un cuerpo K
El espacio vectorial más conocido notado como K , donde n>0 es un entero,
tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de K de longitud n con
las operaciones: (u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn). a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).
Las sucesiones infinitas de K son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...). a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).
El espacio de las matrices n x m, M n x m (K) , sobre K , con las operaciones:
También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de K en las
cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices n x m, así por ejemplo tenemos las
cajas n x m x r sobre K que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una
función genérica. Suma directa Sean V un espacio vectorial, S1 y S2 subespacios de V. Se dice que V es la suma directa de S1 y S2 si para cualquier v ∈ V existe un único par ordenado (u, w) tal que u ∈ S1, w ∈ S2 y v = u + w:
U ∈ S ∩ T ⇒ ( k u ) ∈ S ∩ T Suma directa de subespacios Sean W1 y W2 dos subespacios del espacio vectorial V. Diremos que W es suma directa de W1 y W2 si: W1+W2=W. Y la intersección de W1 y W2 es el vector nulo: W1 ∩ W2 = {0} La suma directa se presenta de la siguiente forma:
Bases y Dimensión
Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
- Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
- Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
- Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. Ejemplos de bases. a) La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n: e1 = (1,0,... ,0) e2 = (0,1,... ,0) en = (0,0,... ,1) Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,... ,an)∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1,a2,... ,an)= a1(1,0,... ,0)+ a2(0,1,... ,0)+... + an(0,0,... ,1) b) Otra base de ℜ 3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3). - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. – Son sistema generador de ℜ 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , , β γ que satisfagan (a,b,c)= α (1,0,0)+ β (1,1,0)+γ (0,2,-3) Se obtiene un sistema: α + β = a β +2γ =b -3γ = c en las incógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.
c) (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo). d) Base de un subespacio. En ℜ 3 , consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S.
Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:
Conocida la distancia D que separa a ambos ejes y la masa M del cuerpo en cuestión, el momento de inercia respecto al eje incógnito es:
Iz= ICM+ MD^2 El momento de inercia indica cuan fácil es para un objeto de rotar alrededor de cierto eje. Depende no solamente de la masa del cuerpo, sino de cómo esta se distribuye. Por este motivo se lo conoce también como inercia rotacional , siendo sus unidades en el Sistema Internacional Kg. m^2.
El teorema muestra que el momento de inercia Iz siempre es mayor que el momento de inercia ICM en una cantidad dada por M.D^2.
Espacio Banach. Sea X un espacio vectorial nominado y sea d la métrica asociada. Si X es un espacio métrico completo con respecto a d se dice que X es un espacio de Banach.
Ejemplo Los conocidos espacios euclidianos K , donde la norma euclidiana de x = (x1, ..., xn) está dada por ||x|| = (∑ |xi|²)1/2, son espacios de Banach.
Espacio de Hilbert. Se denomina así por su descubridor, el matemático alemán, David Hilbert), se puede definir como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interior. Los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudian dentro del análisis funcional.
Algunos autores definen un espacio de Hilbert requiriendo la separabilidad del espacio, mientras que otros requieren de una dimensión lineal no finita. Con la norma derivada del producto escalar según
Cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo y da lugar a una norma ||.||. Un espacio de Hilbert es entonces un espacio vectorial normado completo, o sea que es un espacio de Banach, pero no al revés, ya que aunque sea un tipo de espacio de Banach con propiedades especiales, está muy lejos de verificarse en espacios de Banach generales.
Matriz Es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Las matrices tienen por nombre una letra mayúscula y sus elementos se encierran entre dos paréntesis (o dos corchetes) Ejemplo de matriz:
Decimos que una matriz es de orden (o de dimensión )
cuando tiene filas y columnas.
La matriz es de orden (tiene 2 filas y 3 columnas)
Una matriz de orden se expresa de forma genérica:
Matriz cuadrada Igual número de filas que de columnas. Los siguientes tipos de matrices sólo son aplicables para matrices cuadradas:
Matriz simétrica : una matriz cuadrada es simétrica cuando los elementos a
ambos lados de la diagonal principal son iguales.
Matriz antisimétrica (o hemisimétrica): matriz cuadrada en la que los elementos a ambos lados de la diagonal principal son opuestos (iguales pero con
distinto signo). (Los elementos de la diagonal principal deben ser cero).
Matriz diagonal : matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero.
Matriz escalar : matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero y los elementos de la diagonal principal son iguales
Matriz identidad o unidad : matriz cuadrada donde los elementos de la
diagonal principal son unos y el resto ceros. Se representa por la matriz
identidad de orden 2, la identidad de orden 3, la de orden 4, etc.
Matriz triangular superior : todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero.
Matriz triangular inferior : todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.
Rango de una matriz
Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A (prueba más abajo). Comúnmente se expresa como rg (A).
- Actividades requeridas para producir los Componentes/Resultados.
Importancia de las matrices en la computadora Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son una buena forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico. Es una estructura de datos que permite almacenar un conjunto de datos del mismo tipo. Con un único nombre se define la matriz y por medio de dos subíndices hacemos referencia a cada elemento de la misma (componente). Se aplica en diferentes áreas de la informática entre estas; se encargar de resolver circuitos eléctricos, resolver sistemas de ecuaciones, analizar fallas en telecomunicaciones, encriptar códigos, analizar probabilidades de corredores de bolsa, almacenamiento de información óptima en sistemas, ayuda para graficar funciones cruzadas, matrices de markov, analizar redes eléctricas, modelar sistemas mecánicos, resolver flujos de carga (ing. eléctrica), analizar crecimiento de poblaciones.
