Docsity
Docsity
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity

Consigue puntos base para descargar
Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium

Orientación Universidad
Orientación Universidad
Vende en Docsity
Vende en Docsity
Docsity AI
Docsity AI
Inicia sesiónRegístrate

Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity

Busca documentos

Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity

Busca tu universidad

Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad

Video Cursos

Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades

Quiz

Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación

Docsity AINEW

Resume tus documentos, hazles preguntas, conviértelos en quiz y mapas conceptuales

Ver preguntas

Despeja tus dudas leyendo las respuestas a las preguntas que realizaron otros estudiantes como tú

Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium

Compartir documentos
download point icon20 Puntos

Por cada documento subido

Responde a las preguntas
download point icon5 Puntos

por cada respuesta dada (máx. 1 al día)

Todos los modos para conseguir puntos gratis
Consigue puntos de inmediato

Elige un plan Premium con todos los puntos que necesitas.

Oportunidades de estudio

Elige tu próximo programa de estudio

Ponte en contacto inmediatamente con las mejores universidades del mundo. Busca entre miles de universidades en todo el mundo. Busca entre miles de universidades partner oficiales

Comunidad

Pregúntale a la comunidad

Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio

Ebooks gratuitos

¡Nuestros e-books salva-estudiantes!

Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity

Tema 1. Espacio vectorial euclideo, Apuntes de Álgebra Lineal

Universidad de Córdoba (UCO)Álgebra Lineal

Espacio vectorial euclídeo: definición, aplicaciones ortogonales y clasificación de éstas

Tipo: Apuntes

2021/2022

Subido el 21/04/2023

maria-herrero-13
maria-herrero-13 🇪🇸

1 documento

1 / 8

Toggle sidebar

Esta página no es visible en la vista previa

¡No te pierdas las partes importantes!

bg1
pf3
pf4
pf5
pf8

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Tema 1. Espacio vectorial euclideo y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO Paánubra ESCALAR + PRODUCTO ESCALAR EUCLIDEO (<.>) Forma bilineol definida en el espacio que estemos considerando de la forma <> VxV RA (1,4) —/2 notaciones a(V,w) válidas linealidad en el primer veckor y que verifica: (también debe demostrarse en el segundo) MD Corpicióp de Ipilinelidod — <> 1 > ERA Ural W>=ACU W G =A= AGO m> , > li) Simetría — = ii) Definida. posiliva — >0 y además, si :0 entonces V=0 Observación: Un producto escolar siempre es no degeneroda (el único vector que multiplicado por otro da cero es el vector nulo) aplicar el producto escolar Bodicol de uno Forma bilineol q — rodíg) =4x EV /gl%,W)=0, VwWeVÍ —_Si roda) es sólo el vector malo, la forma. es no degen Ejemplo 4 (IRA) — X=, Ma, 002 X0) YT UY Ves Yo) a EPT Ly o Ya SIR AECA ZO SS 23 EXA 30 Ejemplo 2: en un espacio vectoriol de dimensión no finita, par ejemplo el de los polinomios VFB] 4 , Sean p.q € BO] definimos = guaguas Ey ax x>=| ds a lo lo ojo < > ¿REIR — A i)Es bilineal porque tanto el producto de polinomias como las integrales som distribbuhvos 1) Es simétrico porque el producto de polinomias es conmotokivo 0 li) Es definida posilva ya que =/ pas idx =0 n y si =| put dx =0, entonces puxizo o lo Espocio vectoriol euclideo (v,<.>) Un espacio vectorial real (V,B) de Iimensión Limita, dotado de un producto escolar euclíideo + NORMA 1-11 1 Y 10.90) ¿Lalo XI LA ES alar bc Dado XEV, se define la morma de X como IIXI=Y t Desiguoldod de Couchi-Swortz Seo 3,y EV, ee verifica |<, ya ENZILIGI equivalente EX YA E Ey y> y seda la igualdad s y edlo ss xe y som lineolmente dependientes (proporcionales) Demostración: Sean X,yEV, consideramos el vector X+Ay, donde AER Ex ray, ReAy> — heciendo osa de o pray, Redy> iS RS PACK yor Acy, > + A cy y> la. bilinealidad - S simetría =CX,X>+2ACX > rc y> cle.c cte.B che. A AX+2BA+C 20 — ietíbivac — 4er gACEO lesando es +2ACX y +N< yy > 0 que seo positivo como 8 mucho puede tener ona raiz. EX Y> E si seda lo igualdad (=0), ei X+Ay=0 => X=-AÍ Ejemplo 1 Producto veual — (%,5,2) X=lx) yaly) — =%y (A) pon POD leytataiyt — evelquier número ren! es lineclmente. independiente lx Vx = 127 =1x1 Ejemplo 2: (BF,€,2) R=(%,%) Yala Y) — AT Y + Y ay tn E e) (y 2) Propiedodes de la norma: 1) lxll=0 <> Xx=0 MARI =IAMZIL, AER y xeV Dem: Y=YM<%,x%> =lA/2,X%> =1A111 51 iii) le +F IL EN ZN «y! (Desigualdad triangular) — consecuencia de Couchy - Swortz Dodos xX,YEV se verifica IX+GUE IZ ENG Demostración: IX HI =<, RA +2 Y> rey y > Rex yo gi aplicando Cauchy -Swortz — (RI 2eZ GH Mgi RN ZN AU = o Recopilando — Il (uz nanny => IS +7 E NN En (B,) a.beR — la+bl=0) Entonces, Y, OLAS, — Di= Vo AS, — < Y AD, y 0, >= < 4070 —A= , -<1,,0,> 0, <0,,0,>=4. porque IT, N=V<0,,D,> =4 Suskiloyendo — 0,= Y ahora mormalizamos el vector obtenido — MA 5 — De farma andloga, Uy =V,-AD,- MU, y ee debe complic que <0,,0,>=0 y <0;,0,>=0 De modo que, A=<7%,,0,> y p=<%,0,> — 0 =W,-0, -<0,,0,>0, — 0,> MA y Tener un sistema de vectores ortonormales facilita los cdlculos: Sea B=10,,0,,--, Un) ona base de V formada por vectores ortonormales dos a dos y sem XeEV, entonces X=0,+0,+ -:*+0, y las coordenados de X en la base B son Xzlx,%X,,-,X9) Xx=<%,0,>,1:42,n zolo = S alu m A A á Dem: X2X0/+X,0,+00+ Xn0n — = = X,<0,,0,77%, rs tes - ÁNGULOS NO ORIENTADOS Dados los vectores X,YE€V y la desigualdad de Cauchi-Swartz, teniendo en cuenta que lal£d <> -$seasS |< pa NZNISN <> —0ZNMpUE <%,9>< IZ gl <> TETÓSA Tenemos entonces que e E por lo que existe un único 8clom tol gue cosB=; x Para. definir el ángulo hay que establecer una relación de equivalencia entre vectores, tol que dos parejas de vectores de V (%,,7%,).(%,7,) están relacionados si a a DAA La clase representada por la pareja de vectores (%,Y) se llamo ángulo del vector X com el vector y Los ángulos así definidos mo están orientados, es decir, no dependen del orden de las vectores debido a la simetría. del producto escolar Paro estoblecer una orientación se da una base de modo que el ángulo estará orientado positivamente cuando el determinante de la motriz formada por los vectores de la base sec pos: uo | Ejemplo (RA) asa, o — A lol Apuicaciones ORTOGONALES - HOMOMORF15MOS Sean (V,<.>) y (W,<.2w) espacios vectoriales euclídeos, una aplicación FV—W diremos que es on marfismo de e.v. euclideos si: i) Les ona aplicación lineal —— con ello conserva los operaciones (estroctora) del espacio vectorial ii) É conserua el producto escalar — X,yEY, 7% == Mo Como consecuencia, si FEV, XÉO,, entonces NX, FO y Many tO, luego Hx)ED,. y, por lo tanto, todo homomortismo en espacios vectoriales euclíideas es inyectivo [núcleo =3) Por ello, Sean (Y%,<,>) y (W”,<.2), es condición necesario para la existencia de un morkismo euclideo (| Y—W, que man (dimW=dimV) -|SOMOBFISMO pra, escolar Sea (V,<.>) un ev euciídeo y dimV=nm, existe un isomorfiemo Í (Vea) — (17,23) Dem: Sea 10,,0,,...,Unj uno base ortanormal de V y considerando lo base canónica en BR” 1E,,...,3n) la aplicación queda definida al establecer fí0123, Vi=4...n, lo cuol asegura que es biyechva. Debemos comprobar entonces que se conservo el producro escalar: _ X=x,0, +X 0,7 + Xp Un => x;0, Sean Xy eV 5 2 RAY AR An a = 2 y = YY 0 ey Bie ty, =2_ y, 0, E Observación: En on espacio vectorial eucldeo de dimensión mM cualquiera, zo producto escolor se opero de forma andloga al producto escolar estándar de IM”, siempre que Irobajemos respecto A una base ortonormal Todo espacio vectorial euclideo de dimensión n es isomébrico (isomortismo euclídeo) a (R”,<.>) o transfarmacion ortogonal Se denomina gropo ortogonal O, al conjunto de los isomorfismos ortegonoles de un espacio vectorial euelideo que pora la composición lene estroctoro de gropo les un sukgrupo de los outomorf:smos) On 1EP=IB7/€ es transformación ortogonal) + Los transformaciones ortegorales con determinante positivo (+1) Forman un sukgropo de O, (0,1) y se denominan giros + Las transformaciones de determinante negativo (-1) se denominan simetrías Casiricacion DELAS TRANSFORMACIONES !ORTOGONALES Subespacio ortogonal ("Repaso") Dado un subconjunto SER”, llamamos ortogonal de S (5%) el conjunto St=xEBY=0 Ves) S' es subespacio de A" mientos que O no hiene porque serlo. Propiedodes del subespocio ortogonal: () Sea USB” un eubespocio vectorial y sea (0... .0,f una base de U, se verifica que Ut=|reR/) — (MH, 5.2) una lansformoción octogonal, las mices del polinomio carocteríslio de Í fauhowalores A) sólo pueden ser As! Dem: sea AEB on autovalor de $ y vel ua avtovector ne nulo asociado a A, como f conserva el producto escolar =< kr /ur> =< AY, ADA 0> — MA Ad DIMENSIÓN 2 Seo ER Runa transformación ork ly seo BsL3, ¿4 uno bose orlonormal de E, la matriz A que represento alo transformación en la bose B debe complir ac (2 $) ¡Su — los vectores de la bose henen norma 4 (o,b) +leas6, send) Aed ab+cd=0-— los vectores de la bose son ortogonales (<8,,2,>=0) YN Hay dos opciones: . ía —_[c0s0 sent” SIHETAIA. E - Caleolamos los autavolores: cos9-A senO |. 7 A et Ñ M4 zo [Al no coat] 5098 Alco 0) sento +-(cos'0 A) - seni0 A -cosi0 seno Sha Existen aulowectores onitarios tales que £3)=e, y [3,)=-e, entonces en lonveva base B=43,,-3,1:30,,0, ls 16): — y es una simetría axial SE eje viene determinado por el avtovechor o Y 3% 7 osseiodo al astovalor A=Í, ya que permanece invariante = ROTACION ad pla Calculamos los avtowalores: cosb-A - seno hana - E, e a Seno cosé-A 2 (0059 -A send =cos9 - ZAcosO- ++ sente = A 2080 +4 0. IC pre-aNE A ie (103 pu dos lacoó 4 lo bene ceoles cuendo coto. 1=coce=. [A5l o ei cos0 14 (57) =10 2 Ad si coso — (82) - giro Mead Cuando costrl, ningún vector del espocio se hanetorma en sí miemo, lo único que permanece invriante es el vector nulo, En ese caso, lo transformación del primer vector sería KE)=cos63 rsengs, y, heniendo en cuenta que ee debe complic <((á)ME)>=0, entonces (KE) =-senbá rcos9a, DIMENSIÓN 3 Sea EEK una Hransformación ortogonal y sea BHE,d,,E,l ura bose orlonermal de R” la malriz A ascciodo a Í, es una matriz 3x3 de forma que, al calcular el polinomio coracteríetico ee obtiene on polinomio de grdo 3. Segun el Teorema Fundamental del Algebra, todo polinomio complejo de grado n posee n raices en l y además, si Azasbi es roíz complejo de pl), entonces ev conjugado Á=a-bi también es raíz Así, si el polinomio es de grodo impor, lendrá al menos una eclución reol que sera Asi ó Az] 48 jh=TLaleno) Tomamos un autevector asociado AA que elegimos unitario 3 tal que fio1=10 o Consideramos el subespacio veckoriol ortogonal a U — $01 =1xe8/<%,0>=0) Sea UsB” un subespacio, se eumple que dimU+dimUt=n y UBUt=pr Se resbringe bal plano natot Í im—n, es decir ol aplicar fa un vector en, el transformado vuelve a coer enn. Dem: en —<3,2>== 1<0,11>=0 > (en Tomamos 4%,,W,1 una bose ortonormal de n, luego B=1m,w,, Gl es Loss odoplodo de E Sobiendo que K0)=13, construimos la matriz asccioda a lo isometría en la nuevo base adoptada: (48) — a bloque restante coresponce a la hase 47,0%) por lo que es la molriz e la ¡somelría. en Coss posibles L zz cosh -send o l loe del eje (3 : 5 [Es a o] — los pun eje (S) permanecen invariontes. / e o o 4 y en el plomo se produce un giro de Gras <090 -ceno O o los del invierk a Ñ [27% 20 2) — los puntos del eje se invierten y en (E 3 ¿) glano ee produce un giro de 8 rus el =juz 6 seno Oo (E e 0)-($28) — se produce una simetría respecto ol plano AZ o o e oo des [Es Mos 0)-($38) — se produce ungiro de nrad respecto al eje x o o -4 00-1