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MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA

ESPACIOS VECTORIALES REALES,

SUBESPACIOS VECTORIALES REALES.

“Para empezar el mundo en el que vivimos

es un espacio vectorial, si queremos la

posición de cualquier punto necesitamos

coordenadas, o cambiar de base para obtener

unas coordenadas más sencillas. Cuando te

miras a un espejo estás haciendo una

simetría y cuando proyectas algo también,

en ambos casos tienes una aplicación lineal.

¿Donde están los espacios vectoriales?

¿Qué es realmente un espacio vectorial, geométricamente?

¿Cómo se define un espacio vectorial?

¿Nuestro mundo, nuestro espacio, será un caso particular de un espacio

vectorial?

¿Qué relación existe entre el mundo real y los espacio vectoriales?

¿Un plano y/o una recta será un subespacio vectorial?

Si vas a la mecánica cuántica y temas avanzados, todo está escrito en

términos de espacios de Hilbert, pero siguen siendo espacios vectoriales”.

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante, determina si un conjunto

dado es un espacio vectorial, como también si un

subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio

vectorial, usando la definición, propiedades y teoremas de los

espacios vectoriales y vectores en el espacio n-dimensional;

en forma correcta.

CONTENIDO

1. Espacios Vectoriales. Ejercicios resueltos y

propuestos.

2. Subespacio Vectorial. Ejercicios resueltos y

propuestos.

II. Axiomas con respecto al producto por un escalar:

6) Ley de cierre o operación externa

9) Seudo-asociativa: ∀𝒙 ∈ 𝑽 , ∀𝜶, 𝜷 ∈ ℝ , 𝜶 ∙ (𝜷 ∙ 𝒙) = (𝜶. 𝜷) ∙ 𝒙

7 y 8) Distributiva con respecto al producto escalar

10 ) El elemento neutro: ∀ 𝑥 ∈ 𝑉, 𝟏 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ∙ 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝑥 = 𝑥

ESPACIO VECTORIAL REAL

Demostrar que ℝ

2

es un espacio vectorial real con las

operaciones “+” y “ ∙”, suma de vectores y multiplicación

por un escalar en ℝ

2

, definidos por :

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ; ∀ (a, b) , (c, d) ∈ ℝ 2
• k ∙ (a, b) = (ka, kb) ; ∀ k ∈ ℝ , ∀ (a, b) ∈ ℝ 2

Resolucion: Necesitamos verificar el cumplimiento de las 10 propiedades

indicadas en la definición.

Ejemplo 1 :

• Por la definición de “+” y “ ∙ ” se comprueba la veracidad de los axiomas (1) y (6).

Resolución: Necesitamos verificar el cumplimiento de las 10 propiedades

indicadas en la definición.

Ejemplo 1 :

• Para cada 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 2 existe −𝑎, −𝑏 ∈ ℝ 2 que cumple 𝑎, 𝑏 + −𝑎, −𝑏 = 𝑎 + −𝑎 , 𝑏 + −𝑏 = 0 , 0 comprobando el axioma (5).
  • Para todo 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ 2 y para todo 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ podemos comprobar que  𝛼 ∙ 𝑎, 𝑏 + 𝑐, 𝑑 = 𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 = 𝛼 𝑎 + 𝑐 , 𝛼 𝑏 + 𝑑 = 𝛼𝑎 + 𝛼𝑐, 𝛼𝑏 + 𝛼𝑑 = 𝛼𝑎, 𝛼𝑏 + 𝛼𝑐, 𝛼𝑑 = 𝛼 𝑎, 𝑏 + 𝛼 𝑐, 𝑑  𝛼 + 𝛽 ∙ 𝑎, 𝑏 = 𝛼 + 𝛽 𝑎 , 𝛼 + 𝛽 𝑏 = 𝛼𝑎 + 𝛽𝑎, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑏 = 𝛼𝑎, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑎, 𝛽𝑏 = 𝛼 𝑎, 𝑏 + 𝛽 𝑎, 𝑏 Comprobando los axiomas (7) y (8).
    • Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 2 y 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ podemos comprobar que 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑎, 𝑏 = 𝛼 ∙ 𝛽𝑎, 𝛽𝑏 = 𝛼𝛽𝑎, 𝛼𝛽𝑏 = 𝛼𝛽 𝑎, 𝛼𝛽 𝑏 = 𝛼𝛽 𝑎, 𝑏 comprobando el axioma (9).

Resolución: Necesitamos verificar el cumplimiento de las 10 propiedades

indicadas en la definición.

Ejemplo 1 :

• Podemos verificar que para 1 ∈ ℝ se cumple 1 ∙ 𝑎, 𝑏 = 1𝑎, 1𝑏 = (𝑎, 𝑏) para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Demostrando el cumplimiento del axioma (10).

Por lo tanto ℝ

es un espacio vectorial real con

las operaciones de suma de vectores y

multiplicación por un escalar.

Ejemplo 2.

Demostrar si el conjunto V de las matrices 2 × 2 con términos

enteros

; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ es o no espacio vectorial real ,

con las operaciones de suma de matrices y multiplicación por un

escalar.

Resolución: En este problema podemos darnos cuenta de que no cumple

la propiedad ( 6 ), para justificar usamos un ejemplo, llamado

“contraejemplo”.

Contraejemplo: Sea 1 6 9 12 ∈ 𝑉 y 1 3 ∈ ℝ. Esta claro que 1 3 1 6 9 12 = 1 3 6 3 9 3 12 3 ∉ 𝑉 ya que 1 3 ∉ ℤ.

Por lo tanto, 𝑉 no es un espacio vectorial real.

Demostrar si el conjunto es o no espacio vectorial real.

2

/ 𝑥 + 𝑦 = 1 con las operaciones en ℝ

2

Ejemplo 3.

Resolución: En este problema podemos darnos cuenta que no cumple la

propiedad ( 1 ), para justificar usamos un ejemplo, llamado “contraejemplo”.

Contraejemplo: Sea 0. 2 , 0. 8 , 0. 8 , 0. 2 ∈ 𝐴. Es fácil verificar que

1. 2 , 0. 8 + 0. 8 , 0. 2 = 1 , 1 ∉ 𝐴 ya que 1 + 1 ≠ 1

Por lo tanto, 𝐴 no es un espacio vectorial real.

¿QUÉ ES UN SUBESPACIO VECTORIAL?

ESPACIO VECTORIAL SUBCONJUNTO

En muchas circunstancias necesitamos trabajar con una porción

del espacio vectorial pero necesitamos que dicha porción

mantenga las mismas características que el espacio vectorial.

SUBESPACIOS VECTORIALES

Sea V un espacio vectorial real y el conjunto no vacío 𝑆 ⊂ 𝑉, Si S

es un espacio vectorial sobre el mismo, con respecto a las

operaciones definidas en V ( adición y multiplicación por un

escalar) entonces diremos que S es un subespacio vectorial real

de V.

Corolario(Caracterización) S es un subespacio vectorial de V si

y solo si

Teorema: Sea S un conjunto no vacío contenido en V. S es un

subespacio vectorial de V si y solo si

S𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℝ ⇒ 𝑘 ⋅ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆

Ejemplo 2.

Analice si el conjunto A es o no un subespacio vectorial de ℝ

2

2

Resolución: El 0 , 0 debe pertenecer al conjunto 𝐴 si es que es un

subespacio vectorial.

Observemos que 0 , 0 ∉ 𝐴 ya que 0 + 0 ≠ 3.

Por lo tanto, 𝐴 no es un subespacio vectorial de ℝ

Sea V un subconjunto de ℝ

2

, Analice si V es un subespacio

vectorial de ℝ

2

Ejemplo 3.

2

Resolución: El 0 , 0 debe pertenecer al conjunto 𝑉 si es que es un

subespacio vectorial. En efecto

• Tenemos que 0 , 0 ∈ 𝑉 ya que 0 + 0 = 0. Por lo tanto, 𝑉 es distinto de vacío.
• Sean 𝑎, 𝑏 , (𝑐, 𝑑) ∈ 𝑉 y 𝛼 ∈ ℝ. Entonces 𝑎 + 𝑏 = 0 y 𝑐 + 𝑑 = 0. Observemos que 𝛼 𝑎, 𝑏 + 𝑐, 𝑑 = 𝛼𝑎 + 𝑐, 𝛼𝑏 + 𝑑 ∈ 𝑉 ya que 𝛼𝑎 + 𝑐 + 𝛼𝑏 + 𝑑 = 𝛼 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0 + 0 = 0

Por corolario tenemos que 𝑉 es un subespacio vectorial de ℝ

2