Álgebra lineal espacio vectoriales, Exámenes selectividad de Derecho

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ALGEBRA LINEAL

ESPACIO VECTORIAL

PARTE 4

TEOREMAS (1)

Teorema 1

Si 𝑣

1

1

3

𝑛

forman una base para un espacio vectorial V ,

entonces cualquier conjunto de 𝑚 vectores en 𝑉, donde 𝑚 > 𝑛, es

linealmente independiente.

Corolario 1

Si 𝑣

1

1

3

𝑛

y 𝑢

1

1

3

𝑚

son bases de un espacio

vectorial 𝑉, entonces 𝑛 = 𝑚.

TEOREMAS (3) Teorema 4 Sea 𝐴 una matriz de 𝑚𝑥𝑛. El sistema lineal 𝐴𝑥 = 𝑏 es consistente para toda 𝑏 ∈ ℝ 𝑚 si y solo si los vectores de columna de 𝐴 se extienden en ℝ 𝑚

. El sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 tiene, cuando mucho, una solución para todo 𝑏 ∈ ℝ 𝑚 si y solo si los vectores de columna de 𝐴 son linealmente independientes. Teorema 5 Si 𝐴 es una matriz de 𝑚𝑥𝑛, entonces el rango de 𝐴 mas la nulidad de 𝐴 es igual a 𝑛. Teorema 6 El teorema de la dimensión, dice: 𝑫𝒊𝒎 𝑺 + 𝑻 = 𝑫𝒊𝒎 𝑺 + 𝑫𝒊𝒎 𝑻 − 𝑫𝒊𝒎(𝑺 ∩ 𝑻 )

Halle la base y dimensión, en el espacio vectorial de las matrices 2𝑥2, se define el subespacio generado por el conjunto 𝑊 =

Solución : 1ro. Veamos si es una combinación lineal 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

Llevando a la forma matricial 1 1 − 1 1

1 1 0 1 2 4 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 𝑑 + 𝑎 𝑓 2 ← −𝑓 2 𝑓 3 ← 𝑓 3 + 3 𝑓 2 Tenemos infinitas soluciones si se garantiza 𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 = 0 ∧ 𝑑 + 𝑎 = 0 Por tanto, tenemos el subespacio 𝑊 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 : 𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 = 0 ∧ 𝑑 + 𝑎 = 0 2do. Para hallar la base tenemos 𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 = 0 (1) 𝑑 + 𝑎 = 0 (2) En (2) tenemos 𝑑 + 𝑎 = 0 → 𝑎 = −𝑑 (3)

De (3) en (1) tenemos −𝑑 + 3𝑏 − 2𝑐 = 0 𝑑 = 3𝑏 − 2𝑐 (5) Luego 𝑎 = − 3𝑏 − 2𝑐 = 2𝑐 − 3𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 2𝑐 − 3𝑏 𝑏 𝑐 3𝑏 − 2𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑏 − 3 1 0 3

• 𝑐 2 0 1 − 2 Por tanto, la base 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑊 = − 3 1 0 3 , 2 0 1 − 2 𝐷𝑖𝑚 𝑊 = 2

OPERACIONES CON SUBESPACIOS (2) SUMA DIRECTA La suma de dos subespacios es directa si y sólo si la intersección de los subespacios es el vector nulo. 𝑆 + 𝑇 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ⇔ 𝑆 ∩ 𝑇 = { (^0) 𝑉} Cuando la suma es directa se escribe: 𝑆 ⊕ 𝑇

En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 se tienen los conjuntos 𝐴 = ൛ 2 𝑥 3

• 3 𝑥 2 − 5𝑥 + 1 ; −𝑥 3
• 4 𝑥 2
• 3𝑥 − 2 ; 3 𝑥 3
• 10 𝑥 2 − 7𝑥; −𝑥 3

1 2 3 0 − 7 − 7 0 9 𝑚 + 8 0 − 1 − 1 𝑎 𝑏 − 2𝑎 3𝑎 + 𝑐 𝑑 − 𝑎 𝑓 3 ← 𝑓 3 + 9 7 𝑓 2 𝑓 4 ← 𝑓 4 − 1 7 𝑓 1 1 2 3 0 − 7 − 7 0 0 𝑚 − 1 0 0 0 𝑎 𝑏 − 2𝑎 3𝑎+9𝑏+7𝑐 7 7𝑑−𝑏−5𝑎 7 Tenemos 𝑚 − 1 = 0 3𝑎+9𝑏+7𝑐 7 = 0 7𝑑−𝑏−5𝑎 7 = 0 ⟹ ቐ 𝑚 = 1 3𝑎 + 9𝑏 + 7𝑐 = 0 7𝑑 − 𝑏 − 5𝑎 = 0 El subespacio será 𝑇 = 𝑎𝑥 3

• 𝑏𝑥 2
• 𝑐𝑥 + 𝑑 ∈ 𝑃 3 : 3𝑎 + 9𝑏 + 7𝑐 = 0 ∧ 7𝑑 − 𝑏 − 5𝑎 = 0

Hallamos la base de 𝑇:

3 7

9 7

5 7

1 7

Luego tenemos el polinomio

3

2

3

2

3 7

9 7

5 7

1 7

𝑎 7

3

2

𝑎 7

2

3

2

2

𝑓 1 3 0 1 0 10

𝑎−2𝑑 3 𝑏 − 3𝑑 𝑐 + 5𝑑 𝑑

𝑎−2𝑑 3 −10𝑎+3𝑏−11𝑑 3 7𝑎+3𝑐+𝑑 3 𝑑

Tenemos ൞

−10𝑎+3𝑏−11𝑑 3

7𝑎+3𝑐+𝑑 3

Por tanto, el subespacio

3

2

3

Rpta b) Base para 𝑆 ∩ 𝑇 en sus condiciones 3𝑎 + 9𝑏 + 7𝑐 = 0 7𝑑 − 𝑏 − 5𝑎 = 0 10𝑎 − 3𝑏 + 11𝑑 = 0 7𝑎 + 3𝑐 + 𝑑 = 0

Por la determinante 3 9 − 5 − 1

7 3

40 3

7 3 0 7 10 − 3 7 0

Por LaPlace

40 3

7 3 − 5 − 1 7 10 − 3 11

175 3

182 3 − 5 − 1 7 25 0 − 10 = 3 1 3

Si 𝐴 ≠ 0 𝑋 = 𝐴 − 1 ∙ 0 ⟹ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0 Entonces 𝑎𝑥 3

• 𝑏𝑥 2
• 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 𝑥 3
• 0 𝑥 2
• 0𝑥 + 0 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑆 ∩ 𝑇 = ∅ 𝐷𝑖𝑚 𝑆 ∩ 𝑇 = 0