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Estadística: Problemas para practicar
0.? Sea una muestra aleatoria X 1 , X 2 , ..., Xn y utilizamos la media muestral Xn para estimar la media poblacional μ. ¿Cuál es el sesgo de Xn? 1. 0 2. μ 3. (^1) n 4. σ
2 n
1.? Sea una muestra aleatoria X 1 , X 2 , ..., Xn y utilizamos la media muestral Xn para esti- mar la media poblacional μ. ¿Cuál es la varianza de Xn? 1. σ^2 2. s
(^2) n n
- √snn
- σ
2 n
2.? Sea una muestra aleatoria X 1 , X 2 , ..., Xn de una distribución exponencial con paráme- tro desconocido λ. ¿Cuál es el estimador de máxima verosimilitud de λ? 1. Xn 2. (^) X^1 n 3. (^) X^11 4. (^) X^12 n 3.? Sea una muestra aleatoria X 1 , X 2 , ..., Xn de una distribución Normal con media μ y va- rianza σ^2. ¿Cuál es el estimador de máxima verosimilitud de μ? 1. Xn 2. (^) X^1 n 3.
∑n i=1 Xi
- X
2 n
4.? A partir de una muestra aleatoria de las notas de 20 estudiantes de la UPF, se calcu- la que el intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional es (6, 3 , 8 , 9). El rector de la universidad afirma que la nota media de los estudiantes de la UPF es de 9. ¿Confirma el intervalo de confianza la afirmación del rector? 1. No, porque el intervalo es demasiado amplio 2. No, porque el tamaño muestral es demasiado pequeño 3. No, porque el intervalo solo contiene valores positivos 4. Ninguna de las anteriores es cierta 5.? A partir de una muestra aleatoria de 120 moscas de la fruta, los investigadores deter- minan que la media muestral de su tiempo de vida es de 30 días, con una varianza muestral igual a 90. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95 % para la media del tiempo de vida de la mosca de la fruta? 1. (28, 3 , 31 ,7) 2. (13, 9 , 46 ,1)
6.? Juan recoge datos sobre el número de estudiantes que entran en la biblioteca antes de las 9 de la mañana y calcula el intervalo de confianza del 95 % para el número medio de estu- diantes que entran en la biblioteca antes de las 9 de la mañana por día. Utilizando los mismos datos, Pilar calcula el intervalo de confianza del 99 % para el número medio de estudiantes que entran en la biblioteca antes de las 9 de la mañana por día. ¿Cuál de los dos intervalos tendrá una mayor amplitud? 1. El de Juan 2. El de Pilar 3. Ambos intervalos tendrán la misma amplitud 4. No se puede determinar
- ?? Cristina e Isabel quieren estimar la distancia media a la viven los estudiantes de la Universidad. Cada una de ellas selecciona, independientemente, una muestra aleatoria de 45 estudiantes y les pregunta a que distancia viven de la universidad. Cristina calcula un intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional utilizando los datos de su muestra e Isabel calcula un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional utilizando los datos de su propia muestra. ¿Cuál de los dos intervalos tendrá una mayor amplitud?
- El de Cristina
- El de Isabel
- Ambos intervalos tendrán la misma amplitud
- No se puede determinar únicamente con los datos del enunciado
- ?? Cada semana, una gran tienda de electrodomésticos selecciona una muestra de 80 clien- tes y calcula el intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional de clientes que son hombres. En un año (es decir, 52 semanas), ¿cuál es el número esperado de intervalos que contiene la verdadera proporción poblacional de clientes de sexo masculino?
- 49 , 4
- 49
- 95
- No se puede determinar 9.? En una muestra aleatoria de 50 trabajadores de la Compañía A, la media del numero de horas semanales de trabajo fue de 38, con una desviación típica de 4 horas. En una muestra aleatoria de 60 trabajadores de la Compañía B, la media del numero de horas semanales de trabajo fue de 41, con una desviación típica de 6 horas. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95 % para la diferencia media del número de horas semanales de trabajo entre las dos compa- ñías?
- (− 3 , 8 , − 2 ,2)
- (− 4 , −2)
- (− 4 , 9 , − 1 ,1)
- No se puede determinar
- ?? En una muestra aleatoria de 55 trabajadores de la Compañía A, el sueldo medio men- sual fue de 3.050 euros, con una desviación típica de 570 euros. En una muestra aleatoria de
media desconocida μ y varianza desconocida σ^2. Queremos contrastar la hipótesis nula de que μ = 5 contra la hipótesis alternativa bilateral, considerando un nivel de significación α = 0, 05. ¿Cuál es el estadístico de contraste de Wald para esta prueba?
- (^) snX/n√n
- X snn/−√^5 n
- X s 2 n−^5 n/
√n
- X s 2 n−^5 n/n
16.? Supongamos que tenemos una muestra de tamaño n y calculamos la proporción muestral p ˆ. Queremos contrastar la hipótesis nula de que la proporción poblacional desconocida p es igual a 0 , 7 contra la hipótesis alternativa bilateral, usando el nivel de significación α = 0, 05. ¿Cuál es el estadístico de contraste de Wald para esta prueba? 1. √ˆp^ p−ˆ(1^0 −,^7 pˆ) n 2. p ˆpˆ(1−−^0 , pˆ^7 ) n 3. (^0) ,p7(1ˆ−−^0 , 07 ,7) n 4. Ninguna de las anteriores 17.? Basándonos en una muestra de tamaño 9 de una población normal, obtenemos Xn = 4 y sn = 6. Queremos contrastar la hipótesis nula de que μ = 0 contra la hipótesis alternativa bilateral. ¿Cuál es el comando de R que utilizarías para calcular el valor p? 1. pt(-2, 9) 2. 2 * pt(2, 8) 3. 2 * pt(-2, 9) 4. 2 * pt(-2, 8) 18.??? Sea X 1 ,... , Xn una muestra de la distribución uniforme en el intervalo (0, θ), es decir, Xi ∼ U ni(0, θ). ¿Cuál es el estimador de máxima verosimilitud para θ? 1. 2 Xn 2. m´ax{X 1 ,... , Xn} 3. Xn 4. Ninguna de las anteriores 19.??? Para medir el efecto de la cafeína sobre la nerviosidad de los empleados de una compañía financiera, un grupo de investigadores hicieron el experimento siguiente. Se tomó una muestra de 10 empleados de un departamento. A cada empleado en la muestra se dio una pastilla de placebo que no tenía ningún efecto. A todos se asignó un trabajo para hacer en el ordenador durante una hora. Entonces, a todos se dio una pastilla de cafeína y tuvieron que hacer un trabajo similar en el ordenador durante una hora. Los empleados no sabían el contenido de las pastillas. En ambos casos, se registró cuántas veces hicieron clic con el ratón. Los datos de este experimento están en la tabla siguiente. Según el intervalo de confianza aproximado del 95 %, la dosis de cafeína: 1. causa que los empleados hagan clic más que cuando no toman cafeína, y la media de la diferencia del número de veces que hacen clic se encuentra en el intervalo (51, 2 , 67 ,4)
después de después de empleado placebo. cafeína. 1 231 290 2 259 301 3 236 306 4 247 281 5 233 302 6 238 297 7 239 293 8 239 311 9 243 303 10 237 311
no afecta el número de veces que hacen clic de una manera estadísticamente significativa
se ponen cansados
causa que el numero de veces que hacen clic aumenten, y como media el aumento se encuentra en el intervalo (34, 74)
?? El director de una fábrica de cerveza sabe que la cantidad de cerveza que se vierte en las latas por una máquina especializada sigue la distribución Normal con desviación típica 5ml. Cuando la máquina funciona correctamente, la media de esta distribución Normal es igual a 330ml. El director selecciona una lata al azar y descubre que contiene 310ml de cerveza. Basándose en está observacion, ¿cuál de las acciones siguientes es la correcta?
- el director no toma en serio esta observación, ya que no es posible que un valor de 310 se obtenga de una distribución Normal con media 330ml y desviación típica 5ml
- el director suspende la producción de la cerveza inmediatamente, ya que 310ml es menor del objetivo de 330ml, y así pues deben reajustar la máquina inmediatamente
- la probabilidad de que la distribución Normal con media 330ml y desviación típica 5ml genere un valor tan o más lejano de su media, es menor de un 0 ,01 %. Esto es una evidencia muy fuerte de que la máquina no funciona correctamente, y por tanto el director suspende la producción para examinar la máquina
- el director no hace nada porque una sola observación no puede proveer ninguna informa- ción
?? 30 administradores de una compañía internacional asistieron a un curso de formación para mejorar sus habilidades de gestión. Antes del curso tomaron un examen de habilidad de gestión, y lo tomaron de nuevo después del curso. Los exámenes se evaluaron en una escala de 0 a 10 y, debido a los resultados, después del curso las notas aumentaron en 2 , 3 puntos, como media. La desviación típica de las diferencias entre las dos notas (antes y después del curso) fue de 2 , 1. ¿Cuál de las conclusiones siguientes es la correcta?
- vale la pena enviar los administradores al curso porque un intervalo de confianza aproxi- mado del 95 % sugiere que el curso aumenta la media de las habilidades de gestión
- el curso no es útil, ya que no todos los administradores recibieron una nota de 10 después del curso
- no es posible hacer ningún análasis estadístico, ya que las notas se asignaron a los admi-
cion contiene 0
- La compañía no puede determinar si la formación es eficaz
24.??? Vamos a usar una prueba de Wald para hacer el contraste siguiente para un pa- rámetro poblacional θ, H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ 6 = θ 0 (1)
Basándonos en una muestra, el valor observado del estadístico de contraste es igual a w. ¿Cuál de las siguientes es correcta?
El valor p para la prueba de Wald es la probabilidad de que θ sea precisamente igual a θ 0
El valor p no es realmente una probabilidad
El valor p es la probabilidad de que se rechace H 0
El valor p es la probabilidad de que se observe un estadístico de contraste con valor absoluto mayor de |w| cuando θ es igual a θ 0
?? ¿Bajo cuál de los supuestos siguientes es el intervalo de confianza para la media po- blacional que se basa en la distribución t de Student exacto?
- Cuando la varianza poblacional es conocida
- Cuando el tamaño muestral es mayor de 30
- Cuando la población es Normal
- Un intervalo de confianza nunca puede ser exacto porque siempre es posible que el inter- valo no contiene el verdadero valor del parámetro 26.??? Hay una teoría que dice que una persona puede posponer la muerte hasta después de un evento importante. Para comprobar la teoría, Phillips y King (1988) recogieron datos sobre las muertes antes y después del festivo judío Pésaj. De 1919 muertes, 922 personas murieron durante la semana antes del festivo y 997 murieron durante la semana después del festivo. ¿Ba- sándose en estos datos, hay evidencia de que la gente pospone la muerte hasta después de un evento importante?
- Hay evidencia moderada para esta hipótesis. Podemos tratar estos datos como observa- ciones de una población Bernoulli, tal que para cada persona que murió recordamos 1 si murió antes del festivo y 0 si murió después del festivo. Si θ es la probabilidad de que un individuo muera antes del festivo, el valor estimado de θ es aproximadamente 0 , 48. Para contrastar la hipótesis nula de que H 0 : θ = 0, 5 , el estadístico de contraste de Wald tiene un valor negativo y menor de − 1 , 64 pero mayor de − 1 , 96. Por lo tanto, tenemos evidencia de que personas tienden a morir después del festivo, pero la evidencia no es muy fuerte.
- Hay evidencia muy fuerte ya que había 55 más muertes después del festivo que antes del festivo
- Hay evidencia fuerte contra la hipótesis. Una prueba de Wald para la igualdad de las medias de las dos poblaciones rechazaría la hipótesis al nivel de significación del 5 %
- No podemos hacer ninguna conlusión ya que no sabemos si la población sigue la distri- bución Normal
