¡Descarga Estadística aplicada a la biotecnología: problemas y soluciones - Prof. Cubedo y más Exámenes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Cognoms: Juny 2011
Problema 1
L’empresa DURAVOLT produeix piles alcalines. Les piles produ¨ıdes contenen una quantitat de mercuri (en % respecte del pes) que segueix una normal de mitjana 0.2 i desviaci´o t´ıpica 0.02.
(a) Quina ´es la probabilitat que una pila escollida a l’atzar de la producci´o tingui una quantitat de mercuri superior a 0.21?
(b) Quina ´es la quantitat de mercuri que nom´es superen un 5% de les piles?
(c) Es volen aconseguir 2 piles amb una quantitat de mercuri superior a 0.21, quina ´es la probabilitat que escollint piles a l’atzar es seleccionin 10 amb mercuri inferior a 0.21 fins a trobar-les?
(d) Si tenim un paquet de 10 piles, quina ´es la probabilitat que m´es de 2 tinguin una quantitat de mercuri superior a 0.21?
(e) En paquets de 5 piles, quina ´es la probabilitat que la quantitat mitjana de mercuri sigui superior a 0.22?
Cognoms: Juny 2011
Problema 2
La catastrofe de la central nuclear de Fukushima va provocar el 11 de mar¸c de 2011 l’emissi´o incontrolada de iode I131 radioactiu a l’atmosfera. El pic previst d’arribada dels contaminants als Estats Units d’America (EUA) era el dia 18 de mar¸c. Aquest dia es va mesurar la quantitat de I131 en aigua de pluja de 10 estacions meteorologiques dels EUA, prou allunyades geograficament per poder ser considerades una mostra aleatoria simple de tota la seva geografia. Una setmana despr´es es va tornar a mesurar a les mateixes estacions la quantitat de I131 en aigua de pluja. Ambdues series figuren a la taula seg¨uent. La unitat de mesura ´es Becquerels per litre d’aigua (Bq/L).
18 de mar¸c 18.5 23.5 21.2 23.0 19.8 15.5 16.2 17.4 24.5 25. 25 de mar¸c 4.1 9.2 7.5 10.5 5.4 3.9 6.1 2.8 4.0 3.
Es demana:
(a) Els experts en contaminaci´o radioactiva varen pronosticar una caiguda en promig de m´es de 12 Bq/L transcorreguda una setmana del pic de radiaci´o del dia 18/3/2011. Amb les dades disponibles, podeu acceptar aquesta hipotesi? A m´es de les informacions requerides segons la nota a peu de pagina, cal indicar tamb´e el p-valor del test.
(b) Quina hauria de ser la grand`aria de mostra adient per tal d’obtenir el dia 25 un interval de confian¸ca per a la mitjana de I131 amb un 95% de confian¸ca i amb una amplada igual a 2 (´es a dir, una precisi´o de 1 Bq/L)? Cal utilitzar les dades del dia 25 com a mostra pilot.
(c) La mitjana de I131 mesurada en aigua de pluja als EUA en condicions normals ´es de 4. Bq/L. Es va superar aquesta quantitat el dia 25? Trobeu coherent la conclusi´o de la pregunta anterior amb el fet que la mitjana mostral del dia 25 superi els 4.2 Bq/L?
(d) En alguns pa¨ısos la radiaci´o per I131 s’acostuma a expressar en μCuries per metre c´ubic. Recordant que 1 Curie son 3 .7 10^10 Bq, indiqueu en quina mesura quedaran afectats les seg¨uents quantitats associades al test del primer apartat: l’estad´ıstic de test, la regi´o cr´ıtica, la decisi´o del test i el p-valor. Indiqueu tamb´e com queda afectat per aquest canvi d’unitats l’interval de confian¸ca de la mitjana de radiaci´o de I131 del dia 25.
(e) Quina tecnica estad´ıstica caldria fer servir per comprovar la possible relaci´o lineal entre els valors del dia 18 i del dia 23 en qualsevol punt dels EUA? No cal explicitar els calculs. El resultat del primer apartat permet indicar quan forta sera la relaci´o lineal entre les dues series de mesures o ´es irrellevant? Raona la resposta.
Nota. En tots els contrasts d’hipotesis cal indicar les hipotesis tant en llenguatge natural com param`etricament, les premisses del test, la f´ormula de l’estad´ıstic de test i el seu valor, la distribuci´o sota H 0 , els graus de llibertat, la regi´o cr´ıtica i la decisi´o final
Cognoms: Juny 2011
Problema 4
Per estudiar l’efecte de les aig¨ues residuals de les clavegueres que s’aboquen a un llac es prenen mesures de la concentraci´o de nitrats a l’aigua. Per monitoritzar la variable s’utilitza un antic metode manual. Cient´ıfics de la U.B. han dissenyat un nou metode automatic i es pensa que les mesures obtingudes amb aquest nou metode es poden utilitzar per predir els resultats que s’obtindrien amb l’antic m`etode manual. Les dades obtingudes s´on les seg¨uents:
pacient 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mesura manual (Y) 25 40 120 75 150 300 270 400 450 575 mesura autom`atica (X) 30 80 150 80 200 350 240 320 470 585
Podem suposar que la distribuci´o de la concentraci´o de nitrats ´es normal. Alguns c`alculs s´on els seg¨uents:
Y = 240. 5 X = 250. 5 SXY = 30117. 25 SY = 179. 5473 SX = 171. 5583
(a) Per tal de verificar si ´es raonable acceptar una relaci´o lineal entre els valors de les dues mesures, manual i autom`atica, es fa una prova de significaci´o del coeficient de correlaci´o i s’obt´e el seg¨uent resultat
t = 13.181, g.ll. = 8, p-valor = 1e-
Quina ´es la conclusi´o sobre la relaci´o lineal? Quin percentatge de la variabilitat de la mesura manual esta explicada per la relaci´o lineal amb la mesura automatica?
(b) Si la resposta anterior ´es positiva a la relaci´o lineal, quin seria el valor de la mesura manual per a un valor de 95 amb la mesura autom`atica?
(c) L’interval de confian¸ca al 95% pel valor mitja de la mesura manual donada una mesura automatica de 130 ´es: IC = ( 79. 6641 , 154. 7269 )
Doneu-ne una interpretaci´o.
Nota. En tots els contrasts d’hipotesis cal indicar les hipotesis tant en llenguatge natural com param`etricament, les premisses del test, la f´ormula de l’estad´ıstic de test i el seu valor, la distribuci´o sota H 0 , els graus de llibertat, la regi´o cr´ıtica i la decisi´o final
Cognoms: Juny 2011
Full addicional
Nota. En tots els contrasts d’hipotesis cal indicar les hipotesis tant en llenguatge natural com param`etricament, les premisses del test, la f´ormula de l’estad´ıstic de test i el seu valor, la distribuci´o sota H 0 , els graus de llibertat, la regi´o cr´ıtica i la decisi´o final
Solucions
- X = mercuri en 1 pila, X ∼ N (0.2,0.02)
(a) p ( X > 0. 21 ) = 1 − p ( X ≤ 0. 21 ) = 1 − p ( Z ≤ 0. 499999999999999 ) = 0. 308538 (b) p ( X > k ) = 0. 05 , per tant k = F z −^1 ( 1 − 0. 05 ) ∗ 0. 02 + 0. 2 = 0. 232897 (c) n ∼ BN ( 2 , 0. 3085 ), per tant, p (”seleccionar 10 piles”) = fn ( 10 ) = 0. 0262 (d) m ∼ B ( 10 , 0. 3085 ), per tant, p (”m´es de 2 piles superen 0 .21”) = 1 − Fm ( 2 ) = 0. 6396 (e) Xi ∼ N ( 0. 2 , 0. 02 ), per tant X 5 ∼ N ( 0. 2 , 0. 02 /
5 ), p ( X 5 > 0. 22 ) = p ( Z > 2. 23607 ) =
01267
Mitjana mostral dia 18 20.47, desviaci´o estandard corregida 3. Mitjana mostral dia 25 5.66, desviaci´o estandard corregida 2. Mitjana mostral diferencia 14.81, desviaci´o estandard corregida 3.
(a) Interval de confian¸ca al 95%: (12.6603,Inf). Test T: Texp = 2.3962, p-valor 0.0201 Regi´o cr´ıtica: W α =(1.8331,+∞) (b) Amb 1 − ε = 0. 95 , n = ( 2. 6378 ∗ 2. 2622 / 1 )^2 = 6. 9582 ∗ 5. 1174 / 1 = 35. 6077 arrodonint, n ≃ 36. (c) Interval de confian¸ca al 95%: (4.1309,Inf). Test T: Texp = 1.7503, p-valor 0.057 Regi´o cr´ıtica: W α =(1.8331,+∞)
- (a) Test de dues proporcions: ̂ pin f =0.3958, ̂ po f i =0.3542, Z=0. (b) p-valor=0. (c) Test d’una proporci´o: p ̂=0.375, Z=1.60357, interval=(0.2982, 1), p-valor=0. (d) Test Chi-quadrat χ^2 = 6.9546, p-valor: 0.03089,
Infermeres Celadores Oficines EIR 21.667 21.667 21. No EIR 26.333 26.333 26.
Taula 1: Freqs.esperades
(e) Regi´o cr´ıtica: W α =(5.9915,+∞), amb 2 graus de llibertat.
- (a) Mitjana mostral x 250.5, desv. est. x 171. Mitjana mostral y 240.5, desv. est. y 179.5473, cov(x,y) = 30117.
(b) p-valor: 1e-06, R^2 =0.956, coef.correlaci´o=0.
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -15.8301 23.5704 -0.6716 0. x 1.0233 0.0776 13.1810 0.
variabilitat residual = (1- 0. 955981 ) ∗ 100 =4.401918% variabilitat explicada = 95.598082% (c) y 0 = -15.830084 + 95 * 1.023274 = 81.
100 200 300 400 500 600
100
200
300
400
500
Problema 4: diagrama dispersió i recta de regressió
autom
manual
r= 0.
