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ESTADÍSTICA I - 1º GADE
1ª Convocatoria − 13 de junio de 2014
PROBLEMA 1. (20 puntos)
Según los datos aportados por el INE, durante 2013, la estancia media de viajeros en establecimientos hoteleros en Aragón fue de 1,94 días y su desviación típica de 0,27 días. En el mismo periodo en Andalucía, la estancia media fue de 2,88 días y la desviación típica de 0,95 días.
A) (5 puntos) ¿Son los valores medios anteriores representativos de la distribución de días de estancia para cada una de las dos Comunidades Autónomas? B) (5 puntos) ¿Qué representa una estancia mayor en términos relativos: los 2,34 días de estancia media para la provincia de Huesca o los 3,54 días de la provincia de Huelva? C) (5 puntos) Se han calculado los valores de los coeficientes de asimetría de Pearson, Bowley y Fisher para la distribución de días de estancia en establecimientos hoteleros de Andalucía, obteniéndose los siguientes valores: CAP=–0,92; CAB=0,24; y CAF=0,32. Interpreta dichos valores y explica cómo puede ser la forma de la distribución. D) (5 puntos). Se ha ajustado un modelo lineal para explicar el número de empleados en establecimientos hoteleros en las provincias andaluzas en función del número de establecimientos hoteleros en las respectivas provincias, obteniéndose el siguiente resultado: Y = 18,528X-1916,8 con un R^2 = 0,7359. Interpretar los tres valores numéricos proporcionados.
SOLUCIÓN:
A) Para determinar si los valores medios son representativos de sus respectivas distribuciones debemos calcular los correspondientes Coeficientes de Variación: CV (Aragón) = 0,27/1,94 = 13,92% y CV (Andalucía) = 0,95/2,88 = 32,99% A la vista de estos valores se puede determinar que la estancia media en Aragón sí que es representativa de toda la distribución al ser su CV menor que un 20% mientras que no lo es la de Andalucía. B) Para comparar ambos valores en términos relativos, calcularemos primero las correspondientes puntuaciones estandarizadas: z(Huesca) = (2,34-1,94)/0,27 = 1,481 y z(Huelva) = (3,54 – 2,88)/0,95 = 0, Por lo que, en términos relativos, representa un mayor valor la estancia media en la provincia de Huesca que la estancia media en Huelva. C) El valor del CAP indica que la distribución presenta una asimetría hacia la izquierda mientras que los valores de los otros dos coeficientes CAB y CAF indican que dicha distribución presenta una asimetría hacia la derecha. Las diferencias se deben a las distintas expresiones y valores que cada coeficiente utiliza. Al ser el CAP negativo se deduce que la Moda es mayor que la media, por lo que la distribución en su conjunto podría ser asimétrica hacia la derecha pero con un valor de la moda situado en la parte alta de la distribución. D) El valor 18,528 es la pendiente de la recta de regresión y representa el incremento esperado en el número de empleados si el número de establecimientos hoteleros se incrementa en 1 unidad. El valor -1916,8 es el valor de Y cuando X=0, es decir el número de empleados para un número de establecimientos hoteleros igual a 0. El obtener un número negativo de empleados, se debe a que el valor X = 0 representa una extrapolación. El valor 0,7359 indica que el número de establecimientos hoteleros explica el 73,59% de la variabilidad en el número de empleados, lo que representa que el ajuste lineal es bastante bueno (cuanto más cercano a 1 mejor es el ajuste).
PROBLEMA 2. (30 puntos)
Con el fin de estudiar su evolución, se ha recopilado la información sobre los precios medios mensuales (en €) y el consumo (en toneladas) de los principales carburantes para automóviles en varias estaciones de servicio en los meses de mayo de 2010 y mayo de 2014. Los datos vienen reflejados en la tabla:
Tipo de Carburante
MAYO DE 2010 MAYO DE 2014 Consumo Precio Consumo Precio Sin Plomo 95 72 1,15 81 1, Sin Plomo 98 440 1,22 380 1, Gasóleo A 1690 1,06 1586 1, Gasóleo A+ 55 1,08 43 1,
A) (5 puntos) ¿Cómo han evolucionado los precios globalmente para los carburantes entre esos dos periodos utilizando la formulación de Laspeyres? Responde calculando el correspondiente índice, así como la tasa de variación entre mayo de 2010 y mayo de 2014.
B) (5 puntos) Determina la tasa media anual acumulativa de crecimiento de los precios durante los cuatro años.
C) (5 puntos) Obtener el Índice del valor de la facturación de esas estaciones entre esos dos periodos.
D) (5 puntos) ¿En qué porcentaje ha variado la facturación total de estas estaciones en ese período en términos reales? Razona tu respuesta.
E) (10 puntos) Determina qué tipo de carburante ha tenido una mayor participación en el incremento de los precios del carburante entre mayo de 2010 y mayo de 2014.
SOLUCIÓN:
Para responder a los distintos apartados se calculan previamente los productos de los precios por los consumos de cada carburante donde 0 se refiere a mayo 2010 y t a mayo 2014:
pi0qi0 pitqi0 pitqit pi0qit Sin Plomo 95** 82,8 101,52 114,21 93, Sin Plomo 98 536,8 677,6 585,2 463, Gasóleo A 1791,4 2247,7 2109,38 1681, Gasóleo A+ 59,4 76,45 59,77 46, Suma 2470,4 3103,27 2868,56 2284,
A) Se calcula el índice de Laspeyres de precios aplicando su fórmula 𝐿 0 𝑡^ (𝑝) = 3103,27/2470,4 = 125,62. La tasa de variación es igual a 𝑇𝑉 0 𝑡(𝑝) = 125,62 – 100 = 25,62% , por tanto los precios de los carburantes aumentaron en un 25,62% de mayo de 2010 a mayo de 2014. B) La tasa media anual acumulativa de crecimiento de los precios se calcula mediante la media geométrica: �^4 1,2562− 1 = 5,87% C) El Índice del valor de la facturación es igual a 𝐼𝑉 0 𝑡^ = 2868,56/2470,4 = 116,12 , lo que representa que la facturación en dichas estaciones aumentó en un 16,12% de mayo de 2010 a mayo de 2014. D) La facturación de mayo de 2014 a precios del 2010 se puede obtener directamente a partir de los productos de los consumos de mayo de 2014 por los precios de mayo de 2010 (4ª columna tabla inicial): VR (^) 14(10) = 2284,35. Como el VR (^) 10(10) = VN 10 = 2470,4 el porcentaje en que ha variado la facturación total de estas estaciones en ese período en términos reales es igual a: 𝑇𝑉 0 𝑡(𝑉𝑅) = (2284,35 – 2470,4)/2470,4 = –7,53%
P(D) = P(E1 ∩ E2 ∩ E3) = P(E1)P( E2 / E1)P(E3/ E1∩ E2) = 6/20 * 5/19 * 4/18 = 0,
ó P(D)= Casos favorables/casos posibles = 𝐶 63 /𝐶 203 = (6!/(3! * 3!))/(20!/(3! * 17!)) = 0, Por tanto, P(D) = 1 – 0,3193 – 0, 0175 = 0,
PROBLEMA 4. (25 puntos)
Una constructora ha adquirido un solar en el que quiere levantar una urbanización. Para ello dispone de dos opciones: levantar una urbanización de lujo con 40 chalets independientes, o construir una urbanización más convencional, con 100 casas adosadas. En el primer caso, los costes de urbanizar y construir los chalets se disparan hasta los 30 millones de euros, aunque la empresa piensa que podrá recuperar la inversión con facilidad, puesto que cada chalet se vende a 2 millones de euros. Si se deciden por la urbanización “normal”, los costes ascienden a 6 millones de euros, mientras que el precio de venta de las casas se reduce hasta los 300.000 euros. Además, la empresa está considerando tres escenarios posibles, según cómo evolucione la situación económica. Si se mantiene la coyuntura actual (ESTABILIDAD), la empresa estima que se podrían vender 30 chalets de lujo o las 100 casas adosadas en su totalidad. Si la situación económica se vuelve adversa (RECESION), se estima que solo sería posible vender 10 chalets de lujo. Esta situación de recesión también afectaría a las ventas de casas adosadas, estimando que se llegarían a vender sólo 80. Finalmente, si se disfrutase de una época de bonanza económica (BONANZA) se considera que se podrían vender todos los chales te lujo y que sólo se llegarían a vender 80 casas adosadas.
A) (4 puntos) Plantear el problema de decisión B) (2 puntos) Aplicad los criterios Maximin y Maximax. C) (3 puntos) La empresa considera que la probabilidad de que se mantenga la situación económica actual es del 50%, mientras que hay un 20% de probabilidades de que aparezca una situación de recesión económica. Obtener la solución óptima aplicando el criterio del Valor Monetario Esperado. D) (12 puntos) Con el fin de tomar su decisión final más informada, la constructora estudia contratar los servicios de un grupo de analistas para que le pronostiquen el estado de la economía. Estos analistas catalogan la previsión como BUENA o MALA en base a sus estudios. De acuerdo con datos históricos, la tabla subsiguiente muestra la proporción de veces que dicha empresa hizo esta catalogación de acuerdo con la evolución de la economía que realmente ocurrió.
ESTABILIDAD RECESION BONANZA BUENA 0,6 0,15 0, MALA 0,4 0,85 0,
Calcular la regla de decisión Bayes para este problema. E) (4 puntos) Si el informe del grupo de analistas vale 2 millones de euros, ¿qué debería hacer la constructora? ¿Cuál es la eficiencia de la información de este grupo de analistas?
SOLUCIÓN:
A) Restando los costes de urbanización al beneficio por la venta para cada opción según los distintos escenarios se tiene la siguiente tabla de decisión (en miles de euros):
ESTABILIDAD RECESION BONANZA Lujo 30000 -10000 50000 Normales 24000 18000 18000
B)
ESTABILIDAD RECESION BONANZA Maximin Maximax Lujo 30000 -10000 50000 -10000 50000 Normales 24000 18000 18000 18000 24000
C)
0,5 0,2 0, ESTABILIDAD RECESION BONANZA VME Lujo 30000 -10000 50000^28000 Normales 24000 18000 18000 21000
D) Primero se calculan las probabilidades a posteriori:
ESTABILIDAD RECESION BONANZA
Verosimilitudes
BUENA 0,6 0,15 0,
MALA 0,4 0,85 0,
Probabilidades conjuntas
BUENA 0,3 0,03 0,27 0,
MALA 0,2 0,17 0,03 0,
Probabilidades a posteriori
BUENA 0,5 0,05 0,
MALA 0,5 0,425 0,
Con las probabilidades a posteriori se vuelven a calcular los valores esperados dependiendo de la información facilitada por el grupo de analistas:
VME(BUENA) VME(MALA) Lujo 37000 14500 Normales 21000 21000
Por tanto, la regla de decisión Bayes consistirá en construir la urbanización de lujo si el grupo de analistas cataloga la previsión como BUENA y construir la urbanización “normal” si la cataloga como MALA.
E) El VESIM = 28000 miles de euros y el VECIM = 0,637000+0,421000 = 30600, por tanto la ganancia esperada por utilizar los servicios del grupo de analistas será de VEIM = 2600 miles de euros. Como el coste de dichos servicios es de 2 millones de euros, la constructora debería contratar a dicho grupo de analistas porque el aumento en la ganancia esperada es mayor que el coste.
Para calcular la eficiencia de la información falta obtener el VEIP = VECIP-VESIM = 33600 – 28000 = 5600. Por tanto, EI = 2600/5600 = 46,43%.
