¡Descarga Problemas Estadísticos Resueltos: IQ, Colinesterasa y Fertilizantes - Prof. Cubedo y más Exámenes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Cognoms: Juliol 2011
Problema 1
Una de les escales m´es utilitzades per mesurar el coeficient de intel·ligencia ´es el coeficient IQ de Stanford-Binet. Aquest test va ser adoptat el 1932 i llavors va ser ajustat de forma que les mesures sobre cada grup d’edat seguien una distribuci´o Normal amb mitjana μ = 100 i desviaci´o t´ıpica σ = 15. El test es reajusta periodicament per tal de mantenir la mitjana a 100. Els nens d’avui en dia si passessin el test del 1932 rebrien una puntuaci´o mitjana de 120.
(a) Un coeficient IQ per sobre de 132 ´es considerat ”molt superior”. Quin percentatge de nens tenien una puntuaci´o ”molt superior”el 1932?
(b) Si un nen d’avui pass´es el test de 1932, quina ´es la probabilitat de ser considerat ”molt superior”? (assumim que la desviaci´o t´ıpica no varia σ = 15)
(c) Si un coeficient per sota de 68 ´es considerat ”molt inferior”, quin percentatge de nens del 1932 no serien considerats ni ”molt inferiors” ni ”molt superiors”?
(d) Un nen de 1932 que no ´es ni ”molt superior” ni ”molt inferior”, quina ´es la probabilitat que tingui un coeficient superior a 110?
(e) Si considerem un grup de 100 nens de 1932, quina ´es la probabilitat que almenys 2 d’ells tinguin un coeficient ”molt superior”?
(f) Quin ´es el percentil 25 de la distribuci´o del coeficient dels nens de 1932? I dels actuals?
Cognoms: Juliol 2011
Problema 2
En un estudi es vol provar si la cirrosi del fetge fa variar l’´ındex d’activitat de la colinesterasa en suero. Es van agafar dues mostres aleat`ories i independents, una d’individus sans i l’altra d’individus amb cirrosi al fetge, obtenint-se els seg¨uents resultats:
sans= X 1 n 1 =20 X 1 =1.8 S ̂ 1 =0.
cirr`otics= X 2 n 2 =25 X 2 =0.66 S ̂ 2 =0.
(a) Considerant α = 5 %, podem afirmar que en els individus sans l’´ındex de colinesterasa en suero ´es significativament superior al dels individus amb cirrosi hepatica? Sabem que per contrastar la homogene¨ıtat de variancies hem obtingut un estad´ıstic de test F = 1.87 i un p-valor= 0.148.
(b) La bibliografia afirma que l’´ındex de colinesterasa en individus amb cirrosi hepatica ´es inferior a 0.8. Amb les nostres dades i un nivell de significaci´o α = 1 %, podem dir si hi ha evidencia significativa a favor d’aquesta afirmaci´o? I amb α = 5 %?
(c) Si ara es volen canviar les unitats en que s’ha mesurat l’´ındex de colinesterasa, mantenint el mateix nivell de significaci´o, raoneu, sense fer cap c`alcul addicional, com es modificaran: el valor de l’estad´ıstic de test, la regi´o cr´ıtica, el p-valor i les decisions preses en els apartats anteriors.
Nota. En tots els contrasts d’hipotesis cal indicar les hipotesis tant en llenguatge natural com param`etricament, les premisses del test, la f´ormula de l’estad´ıstic de test i el seu valor, la distribuci´o sota H 0 , els
Cognoms: Juliol 2011
Problema 4
Les dades seg¨uents fan referencia a un estudi efectuat l’any 2000 sobre la producci´o per hectarea de blat en 8 plantacions diferents, totes elles tenien la mateixa qualitat del sol. Les dades tamb´e presenten la quantitat de fertilitzant emprat per hect`area.
Plantaci´o Fertilitzant (kg/ha) Producci´o (tn/ha) 1 100 46. 2 85 45. 3 95 50. 4 140 66. 5 150 66. 6 100 63. 7 120 75. 8 80 58.
Per modelitzar la relaci´o entre la quantitat de fertilitzant ( X ) i la producci´o de blat per hect`area ( Y ) s’han calculat a partir de les dades els seg¨uents estad´ıstics:
i
xi = 870 ∑
i
yi = 474. 1 ∑
i
x^2 i = 99150 ∑
i
y^2 i = 28917. 25 Sxy = 154. 6406
(a) Calculeu la recta de regressi´o quan la producci´o, Y , ´es la variable dependent i el fertilitzant, X , la independent.
(b) Calculeu el coeficient de correlaci´o entre ambdues variables. Quina interpretaci´o en feu?
(c) L’any 2005 es va repetir l’avaluaci´o en les mateixes plantacions amb un fertilitzant diferent per`o mantenint les quantitats que es van emprar l’any 2000. Es van obtenir les dades seg¨uents:
Plantaci´o Producci´o (tn/a) 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0.
Amb un nivell de significaci´o α = 5 %, podem acceptar que el nou fertilitzant va comportar un increment en la producci´o de blat? Es pot admetre normalitat en la producci´o de blat en els dos anys comparats.
Nota. En tots els contrasts d’hipotesis cal indicar les hipotesis tant en llenguatge natural com param`etricament, les premisses del test, la f´ormula de l’estad´ıstic de test i el seu valor, la distribuci´o sota H 0 , els
Cognoms: Juliol 2011
Full addicional
Nota. En tots els contrasts d’hipotesis cal indicar les hipotesis tant en llenguatge natural com param`etricament, les premisses del test, la f´ormula de l’estad´ıstic de test i el seu valor, la distribuci´o sota H 0 , els
Solucions
- X 1 = ”valor del IQ al 1932”, X 1 ∼ N (100,15) ; X 2 = ”valor del IQ al 2011”, X 2 ∼ N (120,15)
(a) P(X1 > 132) = 0. (b) P(X2 > 132) = 0. (c) P(68 < X1 < 132 ) = 0. (d) P( X1 > 110 / 68 < X1 < 132 ) = 0. (e) Y ∼ B (100,0.0164), aproximem a una distribuci´o Poisson Y ∼P(1.64). P(Y≥ 2 ) = 0.482. (f) P 25 ( X 1 ) = 89. 883 , P 25 ( X 2 ) = 109. 883.
- (a) Test T Student per dades independents. H 0 : μ 1 = μ 2 vs. H 1 : μ 1 > μ 2. Estad´ıstic de contrast Texp = 10.7692. Regi´o cr´ıtica W α = [ 1.68 , +∞). (b) Test T Student per a una poblaci´o. H 0 : μ 2 = 0.8 vs. H 1 : μ 2 < 0.8. Estad´ıstic de contrast Texp = -2.3333. Regi´o cr´ıtica amb un 1 % W α = (−∞, -2.49 ]. Regi´o cr´ıtica amb un 5 % W α = (−∞, -1.71 ].
- Taula de dades:
Somnolencia greu Altres efectes Cap efecte Total Triazolam 90 25 35 150 Flurazepam 100 20 20 140 Total 190 45 55 290
(a) Estad´ıstic de test χ^2 = 4.8337, p-valor: 0.089202, regi´o cr´ıtica: W α = (5.9915,+∞), amb 2 graus de llibertat.
Somnolencia greu Altres efectes Cap efecte Triazolam 98.276 23.276 28. Flurazepam 91.724 21.724 26. Taula 1: Freqs.esperades
(b) (c) Estad´ıstic de test Z = -2.5355, p-valor: 0.005615, regi´o cr´ıtica: W α = (−∞,-2.3263).
- (a) Recta Producci´o / fertilitzant Y ˆ = 29.6124 + 0.2726 X (b) Coeficient de correlaci´o = 0.641. (c) Test t de Student per dades aparellades. H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 vs. H 1 : μ 1 − μ 2 < 0. Es- tad´ıstic T = -5.9059. Regi´o cr´ıtica amb un 5 % W α = (−∞, -1.89 ].
