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Respuestas para el examen de tipo 1
Secci´on 1. Preguntas de elecci´on m´ultiple
Comienzo de un bloque de preguntas
Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho- rizontal se refieren al enunciado siguiente.
Sea X una v.a. con distribuci´on N (7, 5; σ^2 = 6) que mide, en millones de euros, los ingresos mensuales de una empresa.
- La probabilidad de que los ingresos mensuales superen los 2,5 millones de euros es, aproxima- damente: (a) 0 , 9793 (b) 0 , 0207 (c) Todo falso (d) 0 , 9938 (e) 0 , 0062
- ¿Cu´al es la funci´on generatriz de momentos de la variable X? (a) e^7 ,^5 u+6u 2
(b) e^6 u+^
7 , 5 u^2 2
(c) e^7 ,^5 u+^ 6 u 22
(d) e^7 ,^5 u (^2) + 62 u
(e) Todo falso
- La v.a. Y mide los costes mensuales en millones de euros y sigue una distribuci´on N (3; σ^2 = 1). La distribuci´on de la variable beneficios, si se supone que existe independencia entre los in- gresos y los costes, es: (a) N (10, 5 ; σ^2 = 7) (b) N (10, 5 ; σ^2 = 5) (c) N (4, 5 ; σ^2 = 7) (d) N (4, 5 ; σ^2 = 5) (e) Todo falso
- La probabilidad de que los beneficios en un mes cualquiera sean superiores a 7 millones de euros es, aproximadamente: (a) 0 , 9066 (b) 0 , 1314 (c) 0 , 8264 (d) 0 , 1736 (e) Todo falso
Final de un bloque de preguntas
Comienzo de un bloque de preguntas
Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho- rizontal se refieren al enunciado siguiente. El siguiente histograma muestra la distribuci´on de la distancia en yardas alcanzada por N = 20 jugadores profesionales de golf con un determinado tipo de palo.
N=
X=Distancia
nº jugadores
230 240 250 260 270 280
0
1
2
3
4
- El intervalo modal de esta distribuci´on de fre- cuencias es: (a) (235, 240) (b) (245, 250) (c) Esta distribuci´on no tiene moda (d) Esta distribuci´on es trimodal (e) Todo falso
- La mediana de esta distribuci´on deber´ıa estar en alg´un punto del intervalo:
(a) (250, 255] (b) (255, 260] (c) (260, 265] (d) (265, 270] (e) Todo falso
- Si la relaci´on entre yardas y metros es de 1 yar- da = 0, 91 metros y la media aritm´etica de la distancia en yardas es ¯x = 257, 85, entonces la media aritm´etica ¯y de la distancia en metros Y es, aproximadamente:
(a) 234 , 64 (b) 283 , 35 (c) 257 , 85 (d) 258 , 76 (e) Todo falso
Final de un bloque de preguntas
Comienzo de un bloque de preguntas
Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho- rizontal se refieren al enunciado que aparece en la siguiente cuesti´on.
- Un urna contiene 8 bolas, de las cuales 4 son ro- jas y 4 son azules. Se extraen dos bolas consecu- tiva y aleatoriamente y se definen dos variables aleatorias:
X=
1 si la primera bola extra´ıda ha sido roja 0 en otro caso
Y =
1 si la segunda bola extra´ıda ha sido roja 0 en otro caso
La distribuci´on de Y , si la extracci´on ha sido con reemplazamiento, es: (a) Binaria de par´ametro p = (^12) (b) Desconocida (c) Binaria de par´ametro p = (^23) (d) Binaria de par´ametro p = (^14) (e) Todo falso
- La distribuci´on de Y , si la extracci´on ha sido sin reemplazamiento, es: (a) Binaria de par´ametro p = (^12) (b) Desconocida (c) Binaria de par´ametro p = (^23) (d) Binaria de par´ametro p = (^14) (e) Todo falso
- Las variables X e Y son independientes: (a) Siempre (b) Unicamente´ si las extracciones son con reemplazamiento (c) Unicamente si las extracciones son sin´ reemplazamiento (d) No se puede saber porque no tenemos la funci´on de cuant´ıa conjunta (e) Todo falso Final de un bloque de preguntas
Comienzo de un bloque de preguntas
Las dos preguntas siguientes se refieren al enunciado de la siguiente cuesti´on.
- El valor de P (X ≤ 0 , 75 |Y ≤ 1) es: (a) 0, (b) 1 (c) 0, (d) 0, (e) Todo falso
- Sea la v.a. Z = X − Y. El valor de E(Z) es, aproximadamente: (a) − 0 , 93 (b) − 0 , 44 (c) 0 , 93 (d) 0 , 44 (e) Todo falso
Final de un bloque de preguntas
- Sea una v.a. X con la siguiente distribuci´on de probabilidad:
X -2 0 2 3 P (x) 0,25 0,3 0,1 0,
P (Z < 3) siendo Z = |X| es: (a) 1 (b) 0 , 30 (c) 0 , 65 (d) 0 , 70 (e) Todo falso
Comienzo de un bloque de preguntas
Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho- rizontal se refieren al enunciado de la siguiente cues- ti´on.
- La siguiente tabla refleja el salario m´ınimo interprofesional (SMI) medido en euros y el ´ındice de precios de consumo (IPC) en Espa˜na para el periodo 2006-2011.
A˜no SM I IP C 2006 540,90 100 2007 570,60 102, 2008 600,00 106, 2009 624,00 106, 2010 633,30 108, 2011 641,40 112,
En media, suponiendo un crecimiento anual constante, el SMI creci´o anualmente en t´ermi- nos nominales en el periodo 2006-2011 aproxi- madamente: (a) un 3,5 % (b) un 5,5 % (c) un 0,7 % (d) un 2,1 % (e) Todo falso
- En el periodo 2006-2011 el poder adquisitivo del SMI en t´erminos reales: (a) aument´o m´as de un 12 % (b) diminuy´o un 2,15 % (c) aument´o menos de un 6 % (d) aument´o un 18,58 % (e) Todo falso
- En t´erminos reales, el SMI en el a˜no 2011 con respecto al a˜no 2010 aproximadamente: (a) disminuy´o un 1,86 % (b) aument´o un 0,80 % (c) disminuy´o un 10,83 % (d) aument´o un 1,50 % (e) Todo falso Final de un bloque de preguntas
Comienzo de un bloque de preguntas
Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho- rizontal se refieren al enunciado que aparece en la siguiente cuesti´on.
- La longitud en metros (m.) de ciertas barras de metal, X, se distribuye seg´un la funci´on de densidad:
f (x) =
9 (6^ −^2 x)^ si^ x^ ∈^ [0,^ 3] 0 en otro caso
Sabiendo que la media de X es 1, el valor de la varianza es: (a) (^32) (b) 1 (c) (^12)
(d)
1 2 (e) Todo falso
- Dichas barras son consideradas extra-largas si su longitud est´a entre 2 y 4 metros. La pro- babilidad de que una barra sea extra-larga es, aproximadamente: (a) 0, (b) 0 (c) 0, (d) Todo falso (e) 0,
- Para realizar una barandilla es preciso unir 150 de estas barras. Si las seleccionamos de mane- ra independiente, la media y la varianza de la longitud de la barandilla ser´an, respectivamen- te: (a) 150 m. y 150 m.^2 (b) 150 m. y 75 m.^2 (c) 150 m. y 225 m.^2 (d) 150 m. y 183, 71 m.^2 (e) Todo falso
- Con una probabilidad del 95 % la barandilla tendr´a una longitud aproximadamente superior a: (a) 164 m. (b) 136 m. (c) 133 m. (d) 167 m. (e) Todo falso Final de un bloque de preguntas
- Si dos variables estad´ısticas son independientes se puede afirmar que:
(a) pueden tener una relaci´on lineal (b) pueden tener una relaci´on no lineal (c) est´an incorrelacionadas (d) las frecuencias relativas marginales de las dos variables coinciden (e) Todo falso
Comienzo de un bloque de preguntas
Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho- rizontal se refieren al enunciado siguiente. Una empresa tiene 100 empleados, de los cuales 60 trabajan en el departamento de producci´on, 36 en el departamento de ventas y 4 son administrativos. El 50 % de los trabajadores del departamento de pro- ducci´on son mujeres, el 75 % de los trabajadores del departamento de ventas son mujeres y de los 4 admi- nistrativos, 2 son hombres.
- Se elige un trabajador al azar. La probabilidad de que pertenezca al departamento de produc- ci´on o de ventas es: (a) 0 , 216 (b) 0 , 5 (c) 0 , 96 (d) 0 , 75 (e) Todo falso
- Se elige un trabajador al azar. La probabilidad de que sea hombre es: (a) 0 , 55 (b) 0 , 63 (c) 0 , 41 (d) 0 , 75 (e) Todo falso
- Habiendo seleccionado un hombre, la probabi- lidad de que no pertenezca al departamento de ventas es, aproximadamente: (a) 0 , 91 (b) 0 , 51 (c) 0 , 78 (d) 0 , 43 (e) Todo falso
Nota Valores t´ıpicos Publ. Priv. Media 6, Mediana 6, S 0, g 1 -1,01 -0, g 2 1,40 0, q 1 5,80 5, q 3 6,60 6, M´ınimo 4, M´aximo 7,
- En un art´ıculo period´ıstico se sostiene que los alumnos de los centros privados-concertados realizaron mejor la prueba de Selectividad que los alumnos de la red p´ublica. Calcula la media aritm´etica y la mediana para la nota de Selectividad en los centros p´ublicos. A partir de los valores obtenidos, comenta la afirmaci´on anterior. Respuesta: Si denotamos por xpu a la media aritm´etica de la nota de Selectividad en los centros p´ublicos, tenemos que:
xpu =
∑^14
i=
nixi =
Por su parte, denotando como M e(xpu) a la mediana de la nota de Selectividad en los centros p´ublicos, tenemos que:
M e(xpu) = xi, tal que Ni− 1 <
N
y Ni >
N
Como N 2 = 22, N 9 = 21 < 22 y N 10 = 31 > 22, la mediana es M e(xpu) = x 10 = 6,4. Comparando estos valores con los obtenidos en los centros privados, xpri = 6,17 y M e(xpri) = 6,20, res- pectivamente, podemos decir que, aunque la nota media es m´as alta en los centros privados-concertados (xpri = 6, 17 > xpu = 6,1545), en la red p´ublica el 50 % de los centros con mejores notas, sacan al menos un 6,4 = M e(xpu), mejor nota que la obtenida en los centros privados-concertados, en los que el 50 % de los centros con mejores notas obtienen al menos un 6,2 = M e(xpri).
- Calcula la desviaci´on t´ıpica de la nota en los centros p´ublicos. ¿Cu´al de las dos distribuciones es m´as dispersa? ¿Dir´ıas que las medias aritm´eticas son representativas? (Nota: recuerda que los estad´ısticos para los centros privados est´an en la tabla de valores t´ıpicos). Respuesta: Primero calculamos el momento ordinario de orden 2, a 2 (xpu):
a 2 (xpu) =
∑^14
i=
nix^2 i =
La varianza de la variable Xpu, es S x^2 pu = a 2 (xpu) − x^2 pu = 38, 22 − 6 , 15452 = 0,3421. La desviaci´on t´ıpica, Sxpu = 0,5849. A la vista de los resultados en la tabla para los centros privados: Sxpri = 0,58 y xpri = 6,17. Calculando los coeficientes de variaci´on:
g 0 (xpu) =
Sxpu xpu
g 0 (xpri) =
Sxpri xpri
La dispersi´on es muy similar y muy baja en ambos casos, luego las dos notas medias son muy repre- sentativas.
- Completa el gr´afico dibujando el diagrama de caja que representa la distribuci´on de la nota de Se- lectividad para los centros p´ublicos. ¿Cu´al de las dos distribuciones es m´as asim´etrica?, ¿qu´e tipo de asimetr´ıa tienen? Razona tu respuesta.
Pública
Privada−Concertada
Notas de Selectividad. Bizkaia Junio 2012
Respuesta: En el caso de los centros p´ublicos y seg´un la tabla del enunciado los cuartiles son q 1 = 5, 8 y q 3 = 6,6 y la mediana M e(xpu) = 6,4 = q 2. El l´ımite admisible inferior LIpu = q 1 − 1 ,5(q 3 − q 1 ) = 5, 8 − 1 ,5(6, 6 − 5 ,8) = 4,6 y el superior LSpu = q 3 + 1,5(q 3 − q 1 ) = 6,6 + 1,5(6, 6 − 5 ,8) = 7,8. Los valores adyacentes son b 1 (xpu) = 4,8 y b 3 (xpu) = 7,2. A la vista de los valores obtenidos hay un outlier moderado por debajo, el valor 4.2 y ning´un outlier por arriba. En el caso de los centros privados, y seg´un el diagrama de caja del enunciado, los valores adyacentes son aproximadamente b 1 (xpri) = 5,2 y b 3 (xpri) = 7,2. Existen dos valores extremos (outliers) por debajo, 4.6 y 4.8.
Pública
Privada−Concertada
Notas de Selectividad. Bizkaia Junio 2012
Comparando ambas representaciones gr´aficas vemos que es m´as asim´etrica la distribuci´on de las notas en los centros p´ublicos. Esto se observa tambi´en en los coeficientes de asimetr´ıa g 1 (Xpu) < g 1 (Xpri). En ambos casos hay una asimetr´ıa negativa o por la izquierda.
Problema 2. (5 puntos, 20 minutos) Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional cuya funci´on de densidad es: f (x, y) = kx(x + y) para 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 2.
- Comprueba que el valor de la constante k es 35.
- ¿Cu´al es la distribuci´on de los costes totales de esta empresa en miles de euros?
Respuesta: Sea Xi, con i = 1, ..,100, la v.a. que mide el coste de la i-´esima delegaci´on del interior. Sabemos que Xi ∈ exp(a), tal que E(Xi) = 50 y V ar(Xi) = 2500. Sea adem´as Yj , con j = 1, ..,120, la v.a. que mide el coste de la j-´esima delegaci´on de la costa, tal que E(Yj ) = 30 y V ar(Yj ) = 36. Entonces, los costes totales ser´an Z = X 1 + ... + X 100 + Y 1 + ... + Y 120 con E(Z) = E(X 1 ) + ... + E(X 100 ) + E(Y 1 ) + ... + E(Y 120 ) = 8600 y V ar(Z) = V ar(X 1 ) + ... + V ar(X 100 ) + V ar(Y 1 ) + ... + V ar(Y 120 ) = 254320. Adem´as por el TCL, Z ∈ AN (8600, σ^2 = 254320).
- ¿Cu´al es la probabilidad de que los costes totales de esta empresa superen los 8900 miles de euros?
Respuesta:
P (Z > 8900) = P (T >
) = P (T >
- Sabiendo que la funci´on generatriz de la distribuci´on de los costes de cada delegaci´on del interior es α(u) = (^0) ,^002 ,^02 −u para u < 0 ,02, demuestra que la media y varianza de esta distribuci´on son 50 y 2500, respectivamente. Respuesta: Si la funci´on generatriz es α(u) = (^0) ,^002 ,^02 −u para u < 0 ,02, la funci´on cumulativa es μ(u) = lnα(u) = ln 0 , 02 − ln(0, 02 − u) si u < 0 ,02. Sabemos que E(X) = μ′(0) y V ar(X) = μ′′(0). Entonces, como μ′(u) = (^0) , 021 −u se deduce que E(X) = μ′(0) = (^0) ,^102 = 50.
Adem´as, μ′′(u) = (^) (0, 021 −u) 2 de donde V ar(X) = μ′′(0) = (^) (0,02)^12 = 2500.
