Exámenes Estadísticos UAB: Frecuencias, Probabilidades y Distribuciones, Apuntes de Economía

¡Descarga Exámenes Estadísticos UAB: Frecuencias, Probabilidades y Distribuciones y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

ESTADÍSTICA I (UAB)

EXAMEN ESTADISTICA RESUELTO UAB

PROF. 12-

Universitat Autònoma de Barcelona 8 de Juny de 2012 Facultat d’Economia i Empresa

Pregunta 1 [2.5 punts]

Les dades següents, recollides durant 30 dies, corresponen a les ventes diàries de cotxes de dos venedors d'un mateix concessionari. Així, la variable X mesura el nombre de cotxes venuts al dia pel venedor A i la variable Y el nombre de cotxes venuts al dia pel venedor B

X ni Y ni 0 18 0 18 1 10 1 9 2 2 2 3

a) Calcular les freqüències relatives de les dues variables [0.5 punts]

Hem de dividir per 30 (el nombre total de dies considerats) les freqüències absolutes proporcionades

X ni fi Y ni fi 0 18 3/5 0 18 3/ 1 10 1/3 1 9 3/ 2 2 1/15 2 3 1/

b) Quina és la mitjana de les vendes diàries de cotxes de cada venedor? [0.5 punts]

Fent servir les freqüències relatives que acabem de trobar tenim:

c) Si ens diuen que les dues variables són independents, construir la taula de freqüències relatives conjuntes de la variable bidimensional ( X,Y ) [1 punt]

Sabem que si dos variable són independents aleshores es compleix que:

fXY(x,y) = fX(x)\·fY(y)

És a dir, les freqüències relatives conjuntes són igual al producte de les freqüències relatives marginals. De aquesta manera obtenim la següent taula de freqüències relatives conjuntes

X\Y 0 1 2 fi 0 9/25 9/50 3/50 3/ 1 3/15 3/30 1/30 1/ 2 3/75 3/150 1/150 1/ fi 3/5 3/10 1/10 1

d) Durant el mes considerat, quin és el percentatge de dies que el venedor A ha venut més cotxes que el venedor B? [0.5 punts]

Hem de comprovar en quins casos tenim que X > Y. Observem que això passa pels parells de valors (1,0), (2,0), (2,1), les freqüències relatives dels quals són 3/15, 3/75, i 3/150 respectivament. Per tant, el percentatge de dies que el venedor A ha venut més cotxes que B és:

3/15 + 3/75 + 3/150 = 39/150 = 0.26 (26%)

Pregunta 3 [2.5 punts]

Un investigador està estudiant la permeabilitat d'un nou teixit tot mesurant el número de gotes d'aigua que el traspassen cada hora. Després de nombroses observacions l'investigador obté que, de mitjana, 4 gotes traspassen el teixit cada hora.

a) Quin tipus de variable mesura el nombre de gotes que traspassen el teixit cada hora? Amb quin(s) valor(s) del seu(s) paràmetre(s)? [0.5 punts]

Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de gotes d'aigua que traspassen el teixit cada hora. Per tant, com que X compta el nombre d'ocurrències d'un determinat fenomen en un període de temps fixat, tenim que el comportament de X queda ben descrit per una distribució de Poisson amb mitjana 4 (λ=4). Per tant, X~ P(4)

b) Quina és la probabilitat que durant una hora el teixit es mantingui totalment impermeable, és a dir, no traspassi ni una gota [1 punt]

Hem de calcular P( X = 0). A partir de la funció de probabilitat d'una Poisson amb mitjana 4 tenim:

c) Si ens diuen que durant una hora el teixit no s'ha mantingut totalment impermeable, quina és la probabilitat que hagi traspassat només una gota? [1 punt]

Ara hem de calcular P( X = 1 / X > 0)

Pregunta 4 [2.5 punts]

Els pesos d'un grup de 300 estudiants de batxillerat segueixen una distribució Normal de mitjana 69 (quilos).

a) Si ens diuen que un 68,3% d'aquests estudiants pesen entre 66 i 72 quilos, quina és la desviació estàndard? [1 punt]

Sigui X la variable aleatòria que mesura el pes d'aquests estudiants. Tenim per tant que X ~N(69,σ^2 ), on el valor de σ és desconegut. Per trobar aquest valor farem servir la informació que P(66 < X < 72) = 0.683. Desenvolupant aquesta probabilitat i estandarditzant tenim:

Aleshores, buscant en la taula de la N(0,1) el valor que té a la seva esquerra una probabilitat de 0. trobem que aquest valor és 1, és a dir, P( Z < 1) = 0.8413. Trobem per tant que la desviació estàndard és 3 σ = 3

b) Segons estudis mèdics, una persona menor de 18 anys es considera obesa si el seu pes és superior al pes mig de la població més 2 desviacions estàndard. En base a aquesta definició, quina és la proporció d'estudiants obesos en aquest grup d'estudiants? [1 punt]

Segons aquests estudis el valor crític a partir del qual un jove es considera obès és:

mitjana + 2 desviació estàndard = 69 + 2·3 = 69 + 6 = 75

Per tant, el percentatge d'estudiants obesos és:

El percentatge d'estudiants obesos és 2.27%

c) Un estudiant que pesi 78 quilos, quants quilos hauria de perdre per deixar de ser considerat obès? [0. punts]

Clarament, si 75 Kg és el valor crític que determina si un estudiant és obès o no, un estudiant que pesa 78 Kg ha de perdre 3 Kg per deixar de ser considerat obès.