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Estadística Básica

para topografía

Colección manuales uex - 66

Rodrigo

Martínez Quintana

66

MANUALES UEX

ESTADÍSTICA BÁSICA

PARA TOPOGRAFÍA

RODRIGO MARTÍNEZ QUINTANA

Manuales

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ex

Pr´ologo

Es bien conocido que los errores aleatorios est´an presentes en todo proceso de medici´on. En un trabajo topogr´afico, un estudio y tratamiento adecuado de dichos errores es de vital importancia para avalar las mediciones realizadas, as´ı como para determinar el comportamiento de las observaciones indirectas derivadas de ellas. Teniendo esto en mente, en este manual desarrollamos los contenidos matem´aticos b´asicos necesarios para afrontar con ´exito el estudio de los errores aleatorios, que es el objeto de inter´es de la Teor´ıa de errores. Sin embargo, los contenidos seleccionados van a ser expuestos en un contexto m´as general que el que estrictamente define la Teor´ıa de errores, aunque en todo momento ser´an ilustrados con una gran variedad de ejemplos t´ıpicos de dicha teor´ıa. Estos contenidos son los apropiados para una asignatura de estad´ıstica b´asica para Ingenier´ıa T´ecnica en Topograf´ıa as´ı como del futuro Grado de Ingenier´ıa en Geom´atica y Topograf´ıa y est´an programados para impartirse en 60 horas presenciales (45 horas de desarrollo te´orico y 15 horas de desarrollo pr´actico).

Este manual ha sido dividido en 9 temas, agrupados en 4 bloques tem´aticos: M´etodos para la descripci´on y an´alisis de conjuntos de datos, Probabilidad, Teor´ıa de muestra y Estad´ıstica Inferencial. Los dos primeros temas est´an de- dicados a describir y analizar datos. En el Tema 1 exponemos c´omo realizar un estudio estad´ıstico descriptivo apropiado para ordenar, resumir y poder ana- lizar la informaci´on contenida en un conjunto de datos unidimensionales. A continuaci´on, en el Tema 2, desarrollamos las t´ecnicas necesarias para descri- bir y analizar conjuntamente una muestra con datos multidimensionales. En el segundo bloque tem´atico exponemos los conceptos principales de la Teor´ıa de la Probabilidad. Concretamente, en el Tema 3 introducimos el concepto

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de probabilidad como medida de incertidumbre, mientras que dedicamos los Temas 4 y 5 al estudio de variables y vectores aleatorios, respectivamente, que son conceptos matem´aticos que facilitan la interpretaci´on, el manejo y el c´alculo de probabilidades. Para finalizar este bloque tem´atico, en el Tema 6 proponemos algunos modelos de probabilidad te´oricos adecuados para descri- bir el comportamiento probabil´ıstico de algunas situaciones pr´acticas usuales en Teor´ıa de errores y en el campo de la Topograf´ıa. Para que el conjunto de datos seleccionados sea representativo, en el Tema 7 estudiamos distintas t´ecnicas de muestro, as´ı como el comportamiento probabil´ıstico de algunas caracter´ısticas de inter´es asociadas a una muestra. Este estudio se basa en la teor´ıa de la probabilidad y juega un papel fundamental en la estad´ıstica infe- rencial, que es objeto del ´ultimo bloque tem´atico. Dicho bloque consta de dos temas, cada uno de ellos dedicado a una de las t´ecnicas utilizadas para inferir: estimaci´on y test de hip´otesis. As´ı, en el Tema 8, consideramos el problema de la inferencia mediante estimaciones puntuales y por intervalos de confianza de los principales par´ametros que definen el comportamiento probabil´ıstico de un car´acter. En el Tema 9 abordamos los problemas inferenciable haciendo uso de la metodolog´ıa de test de hip´otesis. El manual se completa con unos pre- liminares donde introducimos algunas definiciones y conceptos que justifican la selecci´on de los contenidos para el an´alisis de los errores aleatorios, y con 3 ap´endices que son de ayuda para la explicaci´on de dichos contenidos.

Adem´as de los contenidos te´oricos y pr´acticos, en cada tema adjuntamos las sentencias apropiadas para desarrollar en el software estad´ıstico R los ejemplos ilustrativos utilizados para exponer los contenidos. Asimismo, cada tema es completado con algunas cuestiones y problemas, como ayuda para el trabajo no presencial del alumno.

Finalmente queremos hacer constar que para una mejor lectura y comprensi´on de este manual se requieren conocimientos b´asicos de An´alisis Real y Algebra´ Lineal desarrollados en la titulaci´on de Ingenier´ıa T´ecnica en Topograf´ıa y en futuro Grado en Ingenier´ıa en Geom´atica y Topograf´ıa.

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estadística básica paRa topogRafía

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• multidimensionales 2. M´etodos para la descripci´on y an´alisis de conjuntos de datos
• 2.1. Introducci´on
• 2.2. Tablas de contingencia
• 2.3. Gr´aficos
• 2.4. Medidas caracter´ısticas
  • 2.4.1. Medidas de asociaci´on
  • 2.4.2. Transformaci´on de datos
• 2.5. Pr´acticas de laboratorio
• 2.6. Cuestiones y problemas
• Bloque tem´atico II: Probabilidad
• 3. Introducci´on a la Teor´ıa de la Probabilidad
  • 3.1. Introducci´on
  • 3.2. Sucesos de un experimento aleatorio
  • 3.3. Probabilidad y sus propiedades
  • 3.4. Probabilidad condicionada
    • 3.4.1. Teorema de la probabilidad total
    • 3.4.2. Sucesos independientes
    • 3.4.3. Regla de Bayes
  • 3.5. Pr´acticas de laboratorio
  • 3.6. Cuestiones y problemas
• 4. Variables aleatorias unidimensionales
  • 4.1. Introducci´on
  • 4.2. Variable aleatoria
    • 4.2.1. Funci´on de probabilidad
    • 4.2.2. Funci´on de densidad
    • 4.2.3. Transformaci´on de variables aleatorias
  • 4.3. Medidas caracter´ısticas de una variable aleatoria
    • 4.3.1. Medidas de centralizaci´on
    • 4.3.2. Medidas de posici´on
    • 4.3.3. Medidas de dispersi´on
    • 4.3.4. Medidas de forma
    • 4.3.5. Transformaci´on de variables aleatorias
  • 4.4. Pr´acticas de laboratorio ex
  • 4.5. Cuestiones y problemas
• 5. Variables aleatorias multidimensionales
  • 5.1. Introducci´on
  • 5.2. Vector aleatorio
    • 5.2.1. Funci´on de probabilidad conjunta
    • 5.2.2. Funci´on de densidad conjunta
    • 5.2.3. Funciones de probabilidad y de densidad marginales
  • 5.3. Independencia de variables aleatorias
  • 5.4. Medidas de asociaci´on
  • 5.5. Transformaci´on de vectores aleatorios
  • 5.6. Pr´acticas de laboratorio
  • 5.7. Cuestiones y problemas
  • graf´ıa 6. Principales modelos de probabilidad en el campo de la Topo-
  • 6.1. Introducci´on
  • 6.2. Modelos de probabilidad discretos
    • 6.2.1. Distribuci´on uniforme discreta
    • 6.2.2. Distribuci´on binomial y de Bernoulli
  • 6.3. Modelos de probabilidad continuos
    • 6.3.1. Distribuci´on uniforme continua
    • 6.3.2. Distribuci´on normal
    • 6.3.3. Distribuciones asociadas al modelo normal est´andar
  • 6.4. Modelos de probabilidad multidimensionales
    • 6.4.1. Distribuci´on multinomial
    • 6.4.2. Distribuci´on normal multivariante
  • 6.5. Pr´acticas de laboratorio
  • 6.6. Cuestiones y problemas
• Bloque tem´atico III: Teor´ıa de muestras
• 7. Introducci´on a la Teor´ıa de muestras ex
  • 7.1. Introducci´on
  • 7.2. Muestreo aleatorio simple
    • conocida 7.3. Distribuci´on en el muestreo de la media muestral con varianza
  • 7.4. Distribuci´on en el muestreo de la cuasivarianza muestral
    • desconocida 7.5. Distribuci´on en el muestreo de la media muestral con varianza
    • trales 7.6. Distribuci´on en el muestreo de la diferencia de dos medias mues-
    • 7.6.1. Muestras aleatorias simples independientes
    • 7.6.2. Muestras aleatorias relacionadas
    • muestrales 7.7. Distribuci´on en el muestreo del cociente de dos cuasivarianzas
  • 7.8. Pr´acticas de laboratorio
  • 7.9. Cuestiones y problemas
• Bloque tem´atico IV: Estad´ıstica inferencial
• 8. Introducci´on a la Teor´ıa de Estimaci´on
  • 8.1. Introducci´on
  • 8.2. Estimaci´on puntual de la media y la varianza
  • 8.3. Estimaci´on por intervalo de la media
    • 8.3.1. Con varianza conocida
    • 8.3.2. Con varianza desconocida
  • 8.4. Estimaci´on por intervalo de la varianza
  • 8.5. Estimaci´on por intervalo del cociente de varianzas
  • 8.6. Estimaci´on por intervalo de la diferencia de medias
    • 8.6.1. Muestras aleatorias simples independientes
    • 8.6.2. Muestras aleatorias relacionadas
  • 8.7. Pr´acticas de laboratorio
  • 8.8. Cuestiones y problemas
• 9. Introducci´on a la Teor´ıa sobre Contraste de Hip´otesis ex
  • 9.1. Introducci´on
  • 9.2. Test de hip´otesis para la media
    • 9.2.1. Con varianza conocida
    • 9.2.2. Con varianza desconocida
  • 9.3. Test de hip´otesis para la varianza
  • 9.4. Test de hip´otesis de igualdad de varianzas
  • 9.5. Test de hip´otesis para la diferencia de medias
    • 9.5.1. Muestras aleatorias simples independientes
    • 9.5.2. Muestras aleatorias relacionadas
  • 9.6. Test de hip´otesis de independencia
  • 9.7. Test de hip´otesis sobre la distribuci´on
    • 9.7.1. Caso discreto
    • 9.7.2. Caso continuo
  • 9.8. Pr´acticas de laboratorio
  • 9.9. Cuestiones y problemas
• Bibliograf´ıa b´asica
• Ap´endices
• A. Tablas estad´ısticas
• B. Variaciones y combinaciones
• C. Cifras significativas
• ´Indice alfab´etico
• Lista de s´ımbolos y notaci´on
• Referencias

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distinguimos entre errores instrumentales, causados por las imperfecciones en la construcci´on del instrumento de medida, errores naturales, causados por los cambios de las condiciones medioambientales donde se realiza la medici´on, y errores personales, causados por la limitaci´on de los sentidos humanos as´ı co- mo de las habilidades y destrezas personales. Asimismo, los errores personales que son causados por confusi´on o descuido los denominamos pifias. Un caso t´ıpico de pifia es la lectura incorrecta de una observaci´on.

Por otro lado, independientemente de su origen, clasificamos los errores aten- diendo a su naturaleza en errores sistem´aticos y errores aleatorios. Los errores sistem´aticos no son debidos ni al azar ni a causas no controlables. Pueden surgir del empleo de un m´etodo inadecuado (error personal), un instrumen- to defectuoso (error instrumental) o bien por usarlo en condiciones para las que no estaba previsto su uso (error ambiental). As´ı, en general, los errores sistem´aticos pueden evitarse y eliminarse utilizando m´etodos e instrumentos apropiados. Por ejemplo, emplear una cinta m´etrica met´alica a una temperatu- ra muy alta puede introducir un error sistem´atico si la dilataci´on del material hace que su longitud sea mayor que la nominal. En este caso, sistem´aticamen- te todas las mediciones realizadas con la cinta m´etrica en dichas condiciones son mayores que las realizadas en condiciones normales. El error puede evi- tarse eligiendo un material de coeficiente de dilataci´on bajo o controlando la temperatura a la que realizamos la medici´on.

Si los errores sistem´aticos se caracterizan por ser controlables, los errores alea- torios son debidos al c´umulo de numerosas causas incontrolables e imprevisibles que dan lugar a mediciones diferentes cuando se repite el proceso de medici´on en condiciones id´enticas. As´ı decimos que los errores aleatorios son fruto del azar y no pueden evitarse. Sin embargo, podemos estudiar su comportamiento, una vez eliminados los errores sistem´aticos involucrados en el proceso de medi- ci´on, cuantificando la incertidumbre en el valor de la medici´on. A partir de este estudio construimos un intervalo para el verdadero valor de la magnitud de inter´es. El grado de confianza para que dicho intervalo contenga al verdadero valor depende de la incertidumbre de los errores y de la amplitud de dicho intervalo. Asimismo, el estudio de la incertidumbre en la medici´on es ´util para valorar el error asociado a una magnitud que se obtiene de manera indirecta

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a trav´es de cierta operaciones efectuadas sobre mediciones de magnitudes rea- lizadas directamente. A este error los denominamos error de propagaci´on y a las observaciones as´ı obtenidas observaciones indirectas. Todo esto es objeto de estudio de la Teor´ıa de errores aleatorios. El marco de trabajo adecuado para ello lo describimos en el siguiente apartado.

0.3. Definiciones y conceptos b´asicos

Como hemos comentado, la presencia del error aleatorio en el proceso de me- dici´on implica cierta incertidumbre en el valor de la medici´on obtenida en cada realizaci´on. El estudio de dicha incertidumbre es fundamental para valorar y predecir el resultado de la medici´on. El marco adecuado para este estudio lo proporciona la Probabilidad y la Estad´ıstica. Adem´as, este marco no s´olo es util para estudiar los errores aleatorios involucrados en un proceso de medici´´ on sino para estudiar la incertidumbre presente en otras situaciones pr´acticas de naturaleza distinta. A continuaci´on, proporcionamos las definiciones que nos conducen a establecer el marco de trabajo de la Probabilidad y la Estad´ıstica, en un contexto m´as general que el de los errores aleatorios de un proceso de medici´on.

En t´erminos generales, denominamos poblaci´on al conjunto de elementos (su- jetos, objetos, entidades abstractas,...) de la misma naturaleza que presentan uno o varios caracteres comunes susceptibles de ser medidos o clasificados. Ejemplos de poblaciones pueden ser el conjunto de mediciones de una cierta magnitud, el conjunto de instrumentos de medida disponibles para realizar una medici´on, el conjunto de redes topogr´aficas o el conjunto de v´ertices geod´esicos que intervienen en un trabajo topogr´afico. A los elementos de la poblaci´on los denominamos individuos o unidades experimentales.

Atendiendo a la naturaleza de los caracteres, los clasificamos en cualitativos y cuantitativos. Un car´acter cualitativo indica una cualidad de las unidades experimentales. Estas son clasificadas, atendiendo al car´´ acter, en categor´ıas o modalidades que son exhaustivas y excluyentes, es decir, cada unidad experi- mental es clasificada en una y s´olo en ´unica categor´ıa. Ejemplos de caracteres cualitativos son el tipo de instrumento de medida, con las categor´ıas anal´ogico

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Fijada la poblaci´on y los caracteres observables, denominamos experimento a cualquier procedimiento por medio del cual obtenemos una observaci´on de los caracteres en una unidad experimental. Un experimento es determin´ıstico cuando al repetirse en condiciones an´alogas siempre observamos el mismo re- sultado y por tanto podemos predecir exactamente de antemano el valor que vamos a obtener al realizar el experimento, independientemente de la unidad experimental. Si soltamos al vac´ıo un bol´ıgrafo ´este siempre se cae. En cambio cuando el resultado del experimento no es predecible, en el sentido de que no obtenemos el mismo resultado al repetir el experimento en condiciones an´alo- gas, decimos que es aleatorio. En general, dos observaciones de una misma medida difieren entre s´ı y son impredecibles antes de realizar el experimento, pues en el proceso de medici´on intervienen factores que no podemos controlar. En esta situaci´on, tenemos una incertidumbre sobre el resultado final antes de realizar el experimento, debido a la presencia de los errores aleatorios. La Teor´ıa de la Probabilidad estudia modelos que cuantifican la incertidumbre en un experimento aleatorio. Cuando el n´umero de individuos en la poblaci´on es excesivamente grande como para observarlos a todos, el experimento se repite s´olo un n´umero relativamente peque˜no de veces obteni´endose un conjunto de datos que denominamos muestra. Extraer un conjunto de datos que sea re- presentativo de la poblaci´on es el objetivo de la Teor´ıa de Muestras. Adem´as, bas´andose en la Teor´ıa de la Probabilidad, esta disciplina estudia el compor- tamiento de ciertas caracter´ısticas asociadas a las muestras extra´ıdas en un experimento aleatorio.

Una vez extra´ıda una muestra de una poblaci´on, aplicamos m´etodos estad´ısti- cos para obtener informaci´on sobre la muestra y extrapolarla a toda la pobla- ci´on. El primer paso es describir y analizar el conjunto de datos extra´ıdos, organizando, representando y resumiendo la informaci´on contenida en los mis- mos. A este proceso lo denominamos Estad´ıstica Descriptiva. Una vez descrito y analizado el comportamiento de la muestra procedemos a obtener inferencias cient´ıficas sobre el experimento aleatorio en base a la informaci´on suministra- da por la misma y vali´endonos de la Teor´ıa de la Probabilidad. A este proceso lo denominamos Estad´ıstica Inferencial. En la Figura 1 mostramos el marco apropiado para analizar un experimento aleatorio asociado a un car´acter.

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Población Carácter X

Teoría de muestras x 1 , …, xn

Estadística descriptiva

Estadística inferencial Teoría de la Probabilidad

Figura 1: Marco apropiado para analizar un experimento aleatorio asociado a un car´acter X.

0.4. Ejemplo

A continuaci´on, exponemos brevemente a modo de ejemplo el estudio asocia- do a un proceso de medici´on. Observemos que este estudio es la consecuencia directa de aplicar los m´etodos y t´ecnicas que desarrollamos en los siguientes temas. Fijando ideas, suponemos que estamos interesados en determinar la dis- tancia en metros entre dos puntos. Dado que dicha distancia es desconocida, utilizamos un distanci´ometro con apreciaci´on en mil´ımetros para aproximarla. Si medimos dicha distancia dos veces, una vez eliminados los errores sistem´ati- cos, es muy probable a´un que obtengamos dos mediciones diferentes, debido a la presencia de errores aleatorios. Por tanto, la medici´on de dicha distancia es un experimento aleatorio asociado a un car´acter cuantitativo continuo medido en escala num´erica. Las unidades experimentales son mediciones. Dado que el n´umero de mediciones es infinitas (a priori), con el fin de aproximar el compor- tamiento de las mediciones, registramos 25 observaciones de las mismas. Estas observaciones constituyen nuestra muestra. Notemos que para obtener un con- junto de mediciones representativos tenemos que aplicar t´ecnicas de Muestreo Estad´ıstico. Una vez registrados los datos, realizamos un estudio descriptivo, con el fin de ordenar, representar y resumir la informaci´on de las mediciones observadas. Dicho estudio se concreta en una tabla de frecuencias (tabla de la izquierda del Cuadro 1), un histograma (gr´afico de la izquierda de la Fi- gura 2) y valores de medidas caracter´ısticas (tabla de la derecha del Cuadro 1). Las explicaciones de los mismos son dadas en el Ejemplo 1.3. Solamente, notemos que 36.145, el valor de la media aritm´etica de los 25 mediciones, es