Estadística II: Estimación por Intervalos - Prof. Llorente, Apuntes de Estadística

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Estadística II

4. Estimación por Intervalos

ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D'EMPRESES

Introducción

e = ϑ −ˆ ϑ

P ϑ (^) I ϑ ϑ S α ϑ I ϑ S ( ˆ ≤ ≤ ˆ ) = 1 − ˆ < ˆ

Introducción

Procedimiento para obtener un intervalo para un parámetro

Por ejemplo, la media poblacional:

1. Seleccionar el Estimador del parámetro y su distribución
2. Determinar los valores a y b tales que
3. Estandarizar los valores

( ) (^) 

n

μ,^ σ

2

X N^2 X N

P ( a ≤ X ≤ b ) = 1 − α

α σ

μ

σ

μ

σ

μ  = − 

 

 

 (^) − ≤

− ≤

− 1 n

b

n

X

n

a P

Introducción

α σ

μ σ

μ σ

μ = −























 − ≤

− ≤

−

≈

1

( 0 , 1 )

n

b n

X n

a P

Z N

 

α σ

μ α α = − 

 

 

 ≤+

− − (^1) − 2 ≤ Z 1 − 2 1 n

X P Z

Introducción

ESTIMADOR ± coef CONFIANZA · Error estándar del Estimador

 

  

 ∈ − − + − n

X Z n

X Z

σ σ μ 1 α 2 · ; 1 α 2 ·

n

X Z

σ ± 1 −α 2 ·

ESTIMADOR ± error de estimación

En distribuciones muestrales simétricas :

Interpretación Nivel de Confianza

Simulación: Intervalo de confianza para la media poblacional Media Poblacional 60,05 / 100 muestras / Nivel de confianza 95%

Definición de intervalo de confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA EN

POBLACIONES NORMALES.

B.-La varianza poblacional es desconocida:

( ) (^) ( 1 )

2 , ≈ −

− ≈ ⇒ = t n

n

s

x t n

X N σ^ μ μ

P (− t ( n − 1 ),α / 2 < tx < t ( n − 1 ),α/ 2 )= 1 −α

• tα / 2

α (^) / 2 1 - α α (^) / 2

tα/ 2

P x t

s

n

x t

s

n n n

( − 1 ) α/ 2 μ ( − 1 ) α/ 2  =^1 −α

Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE

MEDIAS POBLACIONALES.

A.-Las varianzas poblacionales conocidas :

2 2 / 2

2 2 / 2 y

y x

x x y y

y x

x

n n

x y z

n n

P x y z

( )

( ) ( ) ( 0 , 1 )

n

n

X-Y μ μ

n

n

X-Y N μ μ ,

y

2 y x

2 x

x (^) y

y

2 y x

2 x

x y Z^ ≈ N

Definición de intervalo de confianza

C.-Las varianzas poblacionales son distintas y no conocidas nx < 30 y n (^) y < 30:

( )

( ) ( ) ( )

y

(^2) y

x

(^2) x

x (^) y y

(^2) y

x

(^2) x x (^) y

n

S n

S

X-Y μ μ n

σ n

X - Y N μ μ ,^ σ t ≈ tv

− − ⇒ = 

 

 

 ≈ − + ( ) ( ) n^1

S n 1

S n

n

S n

S

y

(^2) y y 2 2 2

2 2 2

− + −

=

x

x x

y

x x

x

n

v

P x y t

s n

s n

x y t

s n

s n

x x

y y

x y

x x

y y

γ α 2 μ^ μ γ α  =^ −α

2 2 2

2 2 1

Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN

POBLACIONAL.

( 0 , 1 )

ˆ , N

p q n

p p

Z

n

p q

p N p ≈

α α  = −^ α 

 

 

 − < < + 1

· ˆ

· ˆ (^) / 2 / 2 n

pq p p z n

pq P p z

• zα/ 2

α / 2 1 - α α / 2

zα/ 2

α α  = −^ α 

 

 

 − < < + 1

ˆ·ˆ ˆ

ˆ·ˆ ˆ (^) / 2 / 2 n

pq p p z n

pq P p z

2 χ n − 1

2

χ I

2

χ S

x

Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

POBLACIONAL

Población Normal (^ )^2 2 (^1 )

2 1 ·S = −

− n

n χ σ

χ α σ

χ (^)  = − 

   

 <

− < 1

( 1 ) 2 2

2 2 I S

n s P

α χ

σ χ  = − 

 

 

 (^) − < <

− 1

( 1 ) ( 1 ) 2

2 2 2

2

S I

n s n s P

F ( nx − 1 ; ny − 1 )

F I FS

x

Definición de intervalo de confianza

INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE

VARIANZAS POBLACIONALES

Poblaciones Normales

α σ

σ = − 

 

 

 

 · < < · 2 1

2

2

2

2

2

x

y S x

y

x

y I S

S F S

S P F

2 (^1 ;^1 )

2

2

2 · ≈ (^) nx − ny − x

y

y

x (^) F S

S

σ

σ

α σ

σ = − 













 < · 2 < 1

2

2

2 S x

y

y

x I F S

S P F

Control del Intervalo de Confianza

P x z

n

x z

n

^

α α^ −

n

A z

= (^2) α / 2

n

z A

2

e x z

n

α 2

2

2 2 / 2 e

z n

α^ σ

.

1- I.C. Media Poblacional

(a)Población Normal-Varianza conocida

Fija Amplitud Fija Error Estimación

Control del Intervalo de Confianza

α α = −^ α 

 

 ˆ (^) − (^) / 2 < < ˆ+ / 2 1 n

p p z pq n

P p z pq

2

2 (^4) / 2 A

z pq n = α 2

2 ( 1 ) / 2 e

p p z n^ α

−

.

1- I.C. Proporción Poblacional

2

2 2 (^4) ( 1 ), / 2 A

t S n = n −^ α 2

2 2 ( 1 ), / 2 e

t S n = n −^ α

(b)Población Normal-Varianza desconocida

P x t

s n

x t

s n n n − < < +

 ^

  = ( − 1 ) α/ 2 μ ( − 1 ) α/ 2 1 −α

Fija Amplitud (^) Fija Error Estimación