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Asignatura: Estadística: Análisis de Datos e Inferencia, Profesor: No me acuerdo, Carrera: Comercio, Universidad: UCM
Tipo: Apuntes
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CONCEPTOS BÁSICOS FenómenoFenómeno aleatorioaleatorio::^ fenómenos de resultado incierto ProbabilidadProbabilidad:: medida de la incertidumbre asociada a unfenómeno aleatorioPara cualquier fenómeno aleatorio llamaremos:Para cualquier fenómeno aleatorio, llamaremos:•• EspacioEspacio MuestralMuestral^ (E)(E)^ al^ conjunto^
de^ todos^ los EspacioEspacio^ MuestralMuestral^ (E)(E)^
al^ conjunto^ de^ todos^ los posibles resultados del fenómeno•• SucesoSuceso^ a un subconjunto del Espacio Muestral
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A^ B^ t Llamaremos^ UNIONUNION^ de 2 sucesos A y B, a otro suceso quedenominaremos^ (A^ ^ B)
que ocurre siempre que ocurra alguno de los dos^ es decir siempre que ocurra A
o ocurra alguno de los dos, es decir, siempre que ocurra A, o ocurraB, o ocurran ambos^ E A^
A^ U^ BB Sección Departamental de Estadística e I.O. II^4 Escuela Universitaria de Estudios Empresariales
de 2 sucesos A y B a otrod i A^ B^
ól suceso^ que^ denominaremos
A^ ^ B^ que^ ocurre^
sólo cuando ocurren A y B simultáneamente^ E^ A^ E B^ A^ BA^ ^ BA^ ^ B^ Sección Departamental de Estadística e I.O. II^5 Escuela Universitaria de Estudios Empresariales
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Definición clásica o de LAPLACE:Definición clásica o de LAPLACE: nº de resultados favorables a la realizacion de A P A P A (^) nº de resultados posibles^ Para^ su^ aplicación
es^ necesarioque el espacio muestral sea finito y
que^ el^ espacio^ muestral^ sea^ finito^ y los^ sucesos^ elementalesequiprobables^ (postulado^ deindiferencia) El cálculo se basa en el conocimiento teórico de la estructura
indiferencia)^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales del proceso, no en la observación.
Definición frecuentistaDefinición frecuentista Se basa en la Ley de la Regularidad Estadística ó Ley del Azar, queestablece^ que^ si^ bien^ es^ imposible
predecir^ el^ resultado^ de^ un experimento en una sola realización del mismo, la frecuencia relativa dep dicho resultado tiende a aproximarse a un nº fijo conforme aumentamos elnº de veces que realizamos el experimento. La probabilidad se definecomo^ el^ valor^ límite^ al^ que^
tenderían^ las^ frecuencias^ relativas
si como^ el^ valor^ límite^ al^ que^
tenderían^ las^ frecuencias^ relativas
si pudiéramos realizar un número ilimitado de pruebas del experimento.^ n^
n =^ número de veces que se produce elq^ p A^ A^ n A^ suceso A en las n realizaciones dellim(A)Prob n experimento n 0 ( ) (^1) P A Limitación: no siempre podemosgarantizar que el experimento se El cálculo es similar al enfoque de^ Laplace^ pero^ en^ este^ caso^ nos^ basamos garantizar^ que^ el^ experimento^ se repite en iguales condiciones^ en^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales El^ cálculo^ es^ similar^ al^ enfoque^ de^
Laplace^ pero^ en^ este^ caso^ nos^ basamos
en datos observados, no en la estructura del proceso.
Definición subjetiva (Savage)Definición subjetiva (Savage)^ La probabilidad subjetiva o grado de creencia de un suceso A esel cociente entre lo que el decisor está dispuesto a apostar por lael cociente entre lo que el decisor está dispuesto a apostar por laocurrencia del suceso A y el premio o consecuencia que obtieneen^ caso^ de^ que^ A^ ocurra
(grado^ de^ creencia^ real^ en
el acaecimiento del suceso)acaecimiento del suceso) Y ^ P^ A^^ ^ ^ ^ ^0 (^ )^1 P^ A^ ^0 (^ )^1 P^ A^ ^ X : apuesta Y^ : premio si^ ocurre X A^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
p^ (^ )^ y^ q^ p que espera recibir si gana en el juego. En el peor de los casos estaríadispuesto a recibir lo mismo que apuesta, luego:
(^1) Y X P
-^ Carece de sentido suponer un carácter distinto para apuesta y premioCarece de sentido suponer un carácter distinto para apuesta y premio(P<0). A lo sumo podemos admitir que el sujeto no efectúa ningunaapuesta: Y=0•^ Es evidente que X≠0, dado que es absurdo aceptar un juego donde elpremio es nulo
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La probabilidad es una^ “ medida”
de la posibilidad de La probabilidad es una^ medida
de la posibilidad de ocurrencia de un suceso, que verifica: 1.^1 ^ 2 0 l^ i^ ^
^ ^ P E P^ A ^
^
A^ B y^ p entonces ^ ^ P^ A^ B^ P^ A^ P B^ ^ ^ ^ ^ ^ En la definición axiomática no se establece la forma explícitad l l l b bilid d^ i^ ú i^ tde calcular las probabilidades sino únicamente se proponenlas reglas que la probabilidad debe satisfacer.Las definiciones clásica, frecuentista y subjetiva satisfacen lostres axiomas tres axiomas^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
De las tres condiciones que debe verificar la probabilidad sed d^ fá il^ t^ l^ i^
i^ t^ i d d deducen fácilmente las siguientes propiedades:
^ ^ (^)
1 ^ P^ S^ P S (suceso imposible)^ (el reciproco no es cierto)^ ^
(^0) ^ P ^ ^ ^ ^ ^ ^
4.Si^ ^ ^ A^ B^ P^ A^ P B^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 5 Para cualquier^ suceso^0 1 ^ A^ P^ A 5. Para cualquier^ suceso^0 1 ^ A^ P^ A ^ ^ ^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
Ejemplo 1j^ p
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A partir de la probabilidad condicionada, calculamos la probabilidad de laintersección de dos sucesos o regla del productoRegla del productoRegla del producto^ ^ ^ ^ /^ / P A B P A B P B^ P B^ A P^ A ^ ^ ^ ^ ^ ^ I d^ d^ i^ dI d^ d^ i^ dIndependencia de sucesosIndependencia de sucesosLos sucesos A y B son independientes cuando el conocimiento de queuno de ellos ha ocurrido no modifica la probabilidad de que ocurra el otrouno de ellos ha ocurrido no modifica la probabilidad de que ocurra el otro.
^ ^ ^ ^ ^
Esta definición es equivalente a cualquiera de las dos siguientes
a)^ ^ ^ ^ APBAP^ | b) b)^ ^ ^ ^ BPABP^ |^ ^ ^ BPABP^ |^ Sección Departamental de Estadística e I.O. IIEscuela Universitaria de Estudios Empresariales
TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL YDE BAYESDE BAYES Consideremos un conjunto de sucesos tales que:tales que: S^ S^ S ,^ ,....,^ tales que: S^ S^ S^ ^ ^ ^ ^1 2^ n n - S^ E i^ i^1^ i -^ , S^ S^ i ji^ j ^ ^ i^ j ^ ^ (Sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos)
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