Introducción a la Estadística Descriptiva para Ingeniería Civil, Ejercicios de Estadística Aplicada

¡Descarga Introducción a la Estadística Descriptiva para Ingeniería Civil y más Ejercicios en PDF de Estadística Aplicada solo en Docsity!

Porras & Sánchez

Tercera Edición

APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA

A LA INGENIERÍA CIVIL

APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

Texto guía exclusivo para el estudiante de la asignatura de Estadística

Aplicada A la Ingeniería - 24095 – Grupos: O1, D1, K

Docentes:

Ing. Hernán Porras Díaz, M.Sc, Ph.D.

Ing. Omar Giovanny Sánchez Rivera

Universidad Industrial de Santander

Escuela de Ingeniería Civil

Grupo de Investigación de Geomática, Gestión y optimización de sistemas

Asignatura de Estadística Aplicada a La Ingeniería

Bucaramanga, mayo de 2015

esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad existe serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres.

1. Estadística descriptiva

Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la recolectar, analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripción de las características de este.

La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama.

Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente imagen puede observarse tal situación.

Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal curso.

Estadística descriptiva numérica

1. Media o promedio aritmético

También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide con el de la moda y mediana.

La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable a obtener en uno de los elementos del conjunto analizado.

Definición

La media muestral para un conjunto “n” observaciones denotadas como ݔଵݔ ,ଶ … …. ݔ௡ se define como:

Estadística Descriptiva

Grafica Numérica

Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos

9. Coeficiente de curtosis

Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de una distribución, comparada con la distribución normal

Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente elevada

Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana

Ejemplo 1.

Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva el docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes:

1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1. 1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.

Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística.

1. Media o promedio aritmético

Aplicando la fórmula 1.1. se obtiene:

ͳ.͹ͻ + ͳ.͸Ͳ + ͳ.ͺʹ + ͳ.͸ͳ + ͳ.͹ʹ + ⋯ … … … … …. +ͳ.͹Ͷ + ͳ.͹͸ + ͳ.ͺ͵ ͳ͸

ݔ̅ = ͳ.͹ʹ [݉]

Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la sección de probabilidad.

2. Moda

Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra

= ݋ܯͳ.͹Ͷ [݉]

3. Mediana

Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene:

1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.

Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de la mitad es:

ͳ.͹Ͷ + ͳ.͹Ͷ ʹ

= ͳ.͹Ͷ [݉]

4. Rango

ܦ௠௔𩐀 = ͳ,ͺ͵ [݉]

ܦ௠௜௡ = ͳ.ͷͻ [݉]

ܴ݃݊ܽ = ݋ͳ. ͺ͵ − ͳ.ͷͻ = Ͳ.ʹͶ [݉]

5. Varianza

ሺͳ.͹ͻ − ͳ.͹ʹሻଶ^ + ሺͳ.͸Ͳ − ͳ.͹ʹሻଶ^ + ⋯ … … … + ሺͳ.͹͸ − ͳ.͹ʹሻଶ^ + ሺͳ.ͺ͵ − ͳ.͹ʹሻଶ ͳ͸ − ͳ

ܸܽ ݎ ሺݔሻ = Ͳ.ͲͲͷͻ

6. Desviación Estándar

ሻݔሺݎܸܽ√ = ݏ = √Ͳ.ͲͲͷͻ = Ͳ.Ͳ͹͸͹ [݉]

7. Coeficiente de variación

ͳ.͹ʹ

8. Coeficiente de asimetría

ሺͳ.͹ͻ − ͳ.͹ʹሻଷ^ + ሺͳ.͸Ͳ − ͳ.͹ʹሻଷ^ … …. +ሺͳ.͹͸ − ͳ.͹ʹሻଷ^ + ሺͳ.ͺ͵ − ͳ.͹ʹሻଷ ͳ͸ Ͳ.Ͳ͹͸͹ଷ

Ͳ.ͲͲͳ͵ʹʹ ͳ͸ Ͳ.Ͳ͹͸͹ଷ^

= Ͳ.ͳͺ͵ͳ

9. Coeficiente de curtosis

ሺͳ.͹ͻ − ͳ.͹ʹሻସ^ + ሺͳ.͸Ͳ − ͳ.͹ʹሻସ^ … …. +ሺͳ.͹͸ − ͳ.͹ʹሻସ^ + ሺͳ.ͺ͵ − ͳ.͹ʹሻସ ͳ͸ Ͳ.Ͳ͹͸͹ସ

2. Análisis de frecuencias

Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos según la necesidad del estudio realizado

Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones.

• Para muestras de gran cantidad de datos

ܰ 🀀௡௧௘௥௩௔௟௢௦ ݊√ = ݊; ݉ ݈ܽ ݁݀ ݏ݋ݐ ܽ݀ ݁݀ ݋ݎ݁݉ݑ ݊: ܽݎݐݏ݁ݑ

• Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges)

ܰ 🀀௡௧௘௥௩௔௟௢௦ = ͳ + ͵.͵ ∗ ݃݋ܮ ݊;ሻ ݊ሺ ݉ ݈ܽ ݁݀ ݏ݋ݐ ܽ݀ ݁݀ ݋ݎ݁݉ݑ ݊: ܽݎݐݏ݁ݑ

Se debe recordar que el número de intervalos será una valor entero por tanto este deberá aproximarse según reglas de aproximación.

Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis

Ejemplo:

Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con formas angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibración como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de ráfaga del viento el cual es función de varios parámetros de entre los cuales el más significativo es la velocidad del viento. Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente:

2.08 1.81 2.14 2.09 2.14 1.67 2 1.73 2.35 2.28 1.26 1.42 2.39 1. 1.26 2.17 1.58 2.45 2.29 1.45 2. 1.1 1.65 2.33 1.56 1.24 1.68 2. 2.28 2.04 2.45 2.17 1.87 2.46 2.

Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el paso del huracán Sandy

Solución:

Para comenzar se calcula el número de intervalos de clase para el respectivo análisis en este caso se utiliza el radical del número de datos en la muestra.

ܰ 🀀௡௧௘௥௩௔௟௢௦ ݊√ = = √͵ͷ = ͷ.ͻʹ ≈ ͸

Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango:

ܴ݃݊ܽ ܦ = ݋ (^) ௠௔𩐀 ܦ −௠௜௡ = ʹ.Ͷ͸Ͳ − ͳ.ͳͲͲ = ͳ.͵͸Ͳ

🀀௡௧௘௥௩௔௟௢௦

ͳ.͵͸Ͳ ͸

El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de análisis de frecuencia que se muestra

Intervalo de clase

Intervalo Frecuencia Absoluta

Frecuencia Absoluta Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa Acumulada

Inicio Fin

1 1.100 1.327 5 5 0.143 0. 2 1.327 1.553 2 7 0.057 0. 3 1.553 1.780 6 13 0.171 0. 4 1.780 2.007 3 16 0.086 0. 5 2.007 2.233 8 24 0.229 0. 6 2.233 2.460 11 35 0.314 1. Suma 35 1.

La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el intervalo de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deberá ser el mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un error.

La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el número de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno.

Los histogramas se muestran a continuación.

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

Frecuencia Aboluta

Intervalo De Clase

Histograma de Frecuencia Absoluta

3. Diagrama de tallos y hojas.

Un diagrama de tallos y hojas permite obtener una distribución de frecuencias y una representación gráfica de la dispersión de una variable analizada. Se utiliza cuando se cuenta con una muestra de tamaño moderado, los pasos para la elaboración de un diagrama de tallos y hojas son:

1. Seleccionar los dígitos que son convenientes para el tallo, se recomienda que el diagrama cuente con al menos 5 tallos para facilitar la visualización del comportamiento de los datos.
2. Elaborar una lista de los valores del tallo en una columna vertical.
3. Clasificar las hojas de acuerdo al tallo que correspondan.

Para los conjuntos de datos con una alta dispersión se recomienda el uso de un software.

Ejemplo:

En la construcción de una edificación de vivienda se estudia la estatura de un conjunto de 30 trabajadores con el objetivo de analizar las tallas de la ropa de trabajo. Los datos obtenidos para la estatura en metros luego de una medición cuidadosa son los siguientes.

Estatura [m] 1.85 1.49 1.70 1.79 1.69 1.79 1.63 1.73 1.61 1. 1.68 1.65 1.60 1.65 1.72 1.72 1.60 1.91 1.78 1. 1.68 1.60 1.78 1.83 1.74 1.73 1.69 1.75 1.67 1.

Elaborar un diagrama de un diagrama de tallos y hojas para la estatura de los trabajadores

Solución:

Son tres cifras significativas con las que se realizó la medición, para el tallo se define las dos primeras cifras significativas y se clasifican la hojas según corresponda. Se calculan los valores máximo y mínimo para elaborar la lista de los tallos.

ܦ௠௜௡ = ͳ.Ͷͻ [݉]

ܦ௠௔𩐀 = ͳ.ͻͳ [݉]

Tallo Hojas Frecuencia 14 9 1 15 8 5 2 16 9 3 1 8 8 5 0 5 0 8 0 9 7 13 17 0 9 9 3 2 2 8 8 4 3 5 11 18 5 3 2 19 1 1 Total 30

Probabilidad

El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado.

En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en inglés y francés riesgo o peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera cruzada.

En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas ramas del conocimiento.

De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades.

El término de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso aprueben la asignatura”, entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores.

Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo está orientado a formar apostadores en potencia, lo cual sería erróneo dado que la teoría de la probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de esto es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la probabilidad de que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con altas velocidades que puede resultar fatal para una estructura.

4.1 Espacio Muestral

Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de un experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los resultados obtenidos,

Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de los resultados, pero no siempre se da tal situación se define entonces un experimento cualquier acción o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre.

Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo tanto el número de ramas de salen son dos que corresponden al número de posibles resultados, para el caso del lanzamiento del dado el número de ramas son seis, por tanto el número de ramas que salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya.

݋ ݈݈݁ܵ,͵ − ݋ ݈݈݁ܵ,ʹ − ݋ ݈݈݁ܵ,ͳ − ݋ ݈݈݁ܵ,͸ − ܽݎܽܥ ,ͷ − ܽݎܽܥ ,Ͷ − ܽݎܽܥ ,͵ − ܽݎܽܥ ,ʹ − ܽݎܽܥ ,ͳ − ܽݎܽܥ{ = 𻠀 ͸ − ݋ ݈݈݁ܵ,ͷ − ݋ ݈݈݁ܵ,Ͷ − }

2.2. Evento.

En el estudio de la probabilidad de cierto parámetro de interés generalmente se está interesado en un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales cumplen ciertas características.

__________________________________________________________________________

Definición

Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral "𻠀", existen dos clases de eventos:

Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un único elemento es decir un evento de un único resultado.

Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con más de un elemento es decir un evento con varios resultados posibles.

__________________________________________________________________________

Ejemplo:

Considere el evento de obtener un múltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto correspondiente.

Solución:

𻠀 = {ʹ,Ͷ,͸}

4.3. Relaciones de la teoría de conjuntos

4.3.1. Intersección: Sean dos eventos “A” y “B” , La intersección de “A” y “B” se lee “A intersección B” y se denota como "ܤ ת ܣ" da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos tanto en “A” como en “B” en la gráfica se observa la región sombreada que pertenece tanto a “A” como a “B”

4.3.2. Unión: Sean dos eventos “A” y “B” , La unión de “A” y “B” se lee ”A unión B” que se denota como "ܤ ׫ ܣ" da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos ya sea en “A” o en “B” por tanto la unión incluye resultados para los que ocurren tanto “A” como “B” así como los resultados para los cuales ocurren exactamente uno, esto puede observarse gráficamente como sigue:

Del diagrama se puede observar que:

{ = ܤ ת ܣ͸} { = ܤ ׫ ܣʹ,͵,Ͷ,͸} ܣ′^ = {ͳ,͵,ͷ}

4.4 Definición de probabilidad

__________________________________________________________________________

Definición de probabilidad

Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los "ܰ" resultados contenidos en el espacio muestral "𻠀", sea "ܣ" un evento con "ሻܣሺܰ" resultados posibles la probabilidad de ocurrencia de "ܣ" se define como:

La probabilidad de A ܲ" "ሻܣሺ, puede ser expresada como una fracción, como un porcentaje o como un número decimal.

__________________________________________________________________________

Ejercicio 4.

Considere el experimento de lanzar un dado y el evento "ܣ" de obtener un número múltiplo de dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento "ܣ".

Solución:

ݎ݁݊݁ݐ ܾܱ:ܣ ݋ݐ݊݁ݒܧ ݊ ݊ݑ ݎܽ݌ ݋ݎ݁݉ݑ

{ = ܣʹ,Ͷ,͸}

ͳ ʹ

ͳ ʹ

= Ͳ.ͷ = ͷͲ%

Ejercicio 4.

Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea ܣ௜ = ݋݀ܽ݃ݎ݋ݐ݋ ݅ ݋ݐܿ݁ݕ݋ݎ݌{ }, para ݅ = ͳ,ʹ,͵ y suponga que ܲ ܣሺଵሻ = Ͳ.ͳ͸ͷ, ܲ ܣሺଶሻ = Ͳ.ʹͲͲ, ܲ ܣሺଷሻ = Ͳ.͵ͳͷ, ܲ ܣሺଵ ܣ תଶሻ = Ͳ.Ͳ͵Ͳ, ܲ ܣሺଵ ܣ תଷሻ = Ͳ.Ͳ͵ͷ, ܲ ܣሺଶ ܣ תଷሻ = Ͳ.ͲͶͲ, ܲ ܣሺଵ ܣ תଶ ܣ תଷሻ = Ͳ.Ͳͳ, Calcular:

a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3.

Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno. ܲ ሺ𻠀ሻ = ͳ

Solución:

Para la resolución del problema planteado es necesario hacer uso del conocido Diagrama de Venn que para el caso analizado se observa en la siguiente figura.

Las letras corresponden a variables con las cuales se plantearan las ecuaciones que permitan dar solución al problema propuesto, las ecuaciones son formuladas de acuerdo a las condiciones suministradas por el enunciado.

࡭ሺࡼ૚ሻ = ૙. ૚૟૞ → ܰ + ܮ + ܭ ܲ + = Ͳ. ͳ͸ͷ

࡭ሺࡼ૛ሻ = ૙. ૛૙૙ → ܲ + ܯ + ܮ ܳ + = Ͳ. ʹͲͲ