Estimación. Intervalos de confianza.
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APUNTES
DE
BIOESTADÍSTICA APLICADA
EN
CIENCIAS DE LA SALUD
Capítulo 6
Inferencia estadística. Estimación. Intervalos de
confianza.
Antonio Segura Fragoso
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Calculo de Intervalos de Confianza para la Estimación de Medias - Prof. Segura Fragoso, Apuntes de Estadística
El concepto de muestreo y el cálculo de intervalos de confianza para estimar una media poblacional, utilizando el ejemplo de la medición del colesterol en una población de ancianos. Se presentan las fórmulas para calcular el ic en muestras grandes y pequeñas, y se dan ejemplos de cálculo.
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 22
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APUNTES
DE
BIOESTADÍSTICA APLICADA
EN
CIENCIAS DE LA SALUD
Capítulo 6
Inferencia estadística. Estimación. Intervalos de
confianza.
Antonio Segura Fragoso
CAPÍTULO 6
ESTIMACIÓN. INTERVALOS DE CONFIANZA.
Población y muestra
El conocimiento exacto de las características de una variable (media, varianza, desviación estándar) en una población N lo suficientemente grande, es imposible por razones físicas (no se puede acceder a toda una población), económicas, etc. La alternativa es la determinación aproximada utilizando muestras generalmente aleatorias (elegidas al azar). Los valores de la variable en la población (media poblacional, varianza poblacional, desviación estándar poblacional) se denominan parámetros y los que observamos en la muestra se denominan estadísticos (media muestral, varianza muestral, desviación estándar muestral).
El procedimiento utilizado en estadística para conocer de manera aproximada los parámetros poblacionales a partir de los estadísticos muestrales se denomina ESTIMACIÓN.
En la Figura siguiente se ilustra el concepto de estimación con el ejemplo de un estudio para determinar el Índice de Barthel (IB) de los ancianos de Talavera. El IB es una escala validada, de amplio uso en Ciencias de la Salud. Mediante una puntuación que puede ir de cero a 100 se mide el grado de independencia de los ancianos para poder realizar las Actividades Básicas de la Vida Diaria (vestirse, lavarse, salir a la calle, etc…).
Población diana
Ancianos de Talavera N = 5. ¿Cuál es su promedio de Índice de Barthel?
Muestra n= IB = 60
El procedimiento estadístico para conocer de manera aproximada los parámetros poblacionales a partir de los estadísticos muestrales se denomina ESTIMACIÓN
IB = 60
Poblaci Poblacióón y muestra. Estimacin y muestra. Estimacióónn
La estimación puede ser de dos tipos:
- Estimación puntual : consiste en dar un único valor aproximado del parámetro poblacional desconocido, sin especificar cómo de buena es esta aproximación.
- Estimación por intervalo : consiste en dar un intervalo de valores dentro del cual se encontrará el parámetro desconocido poblacional con una gran seguridad de que esto sea cierto (confianza), pero con un cierto riesgo de error. Este intervalo se llama Intervalo de Confianza.
Estimación
la población se representa por la línea negra. Como las muestras están extraídas al azar, en cada una de ellas obtendríamos un valor diferente para el Índice de Barthel muestral. En la escala de abajo de la figura se ve que algunas muestras tendrían IB por debajo o por encima de 60. Muchas de ellas lo tendrían próximo a 60, pero otras de 55, de 50, etc.. E incluso algunas de ellas, como la representada por un rombo de color verde podría tener un IB muy bajo o muy alto. Por ejemplo, habría alguna de las muestras que estaría formada por 250 ancianos encamados con IB de 10 o 20. Al realizar la investigación solo se saca una única muestra al azar. Y evidentemente, no sabemos cuál de ellas va a ser. Depende de cuál salga por azar, el resultado puede variar. Por eso es arriesgado atribuir a la población, sin más, el valor observado en la muestra. El uso de muestras posibilita y facilita la investigación pero genera un cierto grado de incertidumbre que hay que saber manejar de forma apropiada. La estimación por intervalo de confianza, ayuda al investigador a manejar esta incertidumbre, aumentando las probabilidades de acertar en el verdadero valor poblacional y asumiendo una probabilidad de error pequeña y calculada.
Estimación por Intervalo de Confianza
El conjunto de las (muchas) medias muestrales posibles, tiene la propiedad de que la mayor parte de ellas van a estar muy próximas a la media verdadera de la población que está representada por la línea negra(ver Figura siguiente).
Población diana
Ancianos de Talavera N = 5. ¿Cuál es su promedio de Índice de Barthel?
Este conjunto de medias muestrales tiene una propiedad: La mayor parte de ellas están próximas al valor real en la Población
IB = 60
EstimaciEstimacióón por intervalon por intervalo
50 55 60 65 70
Podemos construir alrededor de la media observada en la muestra un intervalo de confianza que con una gran probabilidad (95%) contendrá el valor real de la población.
Esto nos dará mucha seguridad (confianza) de que sea cual sea la muestra que nos haya salido, el valor de la población estará dentro de él
Esta propiedad nos permitirá construir alrededor de la media que hayamos observado en la muestra, un Intervalo de Confianza que contendrá el verdadero valor de la población, con una gran probabilidad (95%). Este intervalo está representado por las dos líneas verticales azules. Esto nos dará una gran seguridad o confianza de que, sea cual sea la muestra que por azar hayamos obtenido y utilizado en el estudio, el verdadero valor de la media de la población estará dentro de ese intervalo. Siempre tendremos que asumir también un pequeño riesgo de error que es el 5%.
Incluso aunque la muestra que por azar ha salido (rombo negro de la Figura siguiente) tuviera una
media relativamente alejada del verdadero valor poblacional (línea negra) éste caería dentro del Intervalo de Confianza al 95% (líneas azules).
Población diana
Ancianos de Talavera N = 5. ¿Cuál es su promedio de Índice de Barthel? IB = 60
EstimaciEstimacióón por intervalon por intervalo
50 55 60 65 70
Supongamos que nos hubiera salido esta otra muestra. El intervalo de confianza, sería entre 58 y 68, deja dentro el valor poblacional, hubiéramos acertado….
Solo si, por azar, nos hubiera salido una muestra cuya media esté muy alejada del valor de la media poblacional (rombo negro de la Figura siguiente), entonces cometeríamos un error ya nosotros pensaríamos que el valor poblacional está dentro del intervalo de confianza al 95%, aunque en realidad quedaría fuera de éste. Esta situación solo ocurriría en un 5% de las muestras posibles.
Población diana
Ancianos de Talavera N = 5. ¿Cuál es su promedio de Índice de Barthel? IB = 60
EstimaciEstimacióón por intervalon por intervalo
50 55 60 65 70
Solo nos equivocaríamos el 5% de las veces, cuando nos saliera una muestra muy alejada de la población. Pero esto es muy poco probable (5% de las muestras)
Fundamentos estadísticos del Intervalo de Confianza.
Esta propiedad se aprecia en la Figura siguiente.
Error estError estáándar de la mediandar de la media
40 50 60 70 80
Población diana
Ancianos de Talavera N = 5.
Media Barthel = 60
Muestra estudiada que salió por azar n=30 ancianos
M
Conjunto de todas las medias de las posibles muestras diferentes de tamaño n=
M M^ M M
M M M
M (^) M M
M M
Media = 58 1
( )^2 −
−
= ∑^
n
x x DE s i
Media = 60 EE^ n EE = s
M
M
Índice de Barthel 20 30 90 100
En esta figura se ve a la izquierda la población diana de los 5.000 ancianos de Talavera, y su IB = 60, que no conocemos ni podremos conocer nunca (a no ser que estudiáramos a todos ellos). Para intentar “estimar” este IB de la población, diseñamos una investigación y sacamos al azar una muestra de n = 30 ancianos, que es la que estudiamos, y está esquematizada en el recuadro de arriba. En esta muestra real observamos una media de IB = 58. Además, este conjunto de datos tendrá una DE (no importa ahora su valor). Pero sabemos que la muestra real de arriba, es solo la que ha salido por azar, y es una de las muchas (millones) hipotéticas que podrían haber salido. Todas estas muestras posibles están representadas en el recuadro de abajo. Cada muestra tiene una media diferente. Una de ellas (la que está en azul) es la que nos salió a nosotros. Pues bien, el Teorema Central del Límite dice que la media de todas esas medias posibles, es exactamente la media poblacional. Y la DE de todas esas medias posibles, es el error estándar de la media EE, que podemos calcular fácilmente:
tamañodela muestra
DEdelamuestraestudiada
n
EE
σ
Como vemos por la fórmula, este EE es mucho más pequeño que la DE de la muestra real, ya que es la DE dividido por n. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que utilicemos en la investigación, más pequeño será el EE.
Esta propiedad de las medias muestrales teóricas tiene una gran importancia ya que posibilita el empleo de muestras porque nos asegura que la mayoría de ellas van a estar muy próximas a la media verdadera poblacional (podríamos decir, el 95% de ellas), y por tanto, tenemos una gran probabilidad de que la muestra que salga por azar en la investigación sea próxima a la poblacional, y su intervalo de confianza contenga la media poblacional, es decir, acertemos en la estimación.
Fórmulas para calcular los Intervalos de Confianza
Caso de variables cuantitativas
Los cálculos difieren según que el tamaño de la muestra sea grande (n > 30) o pequeño (n ≤30). Nota: el concepto “muestra grande o pequeña” puede variar según los libros de estadística que se consulten. Con frecuencia este límite se pone en n= 30. En este curso utilizaremos el límite n = 30.
Caso de variables cuantitativas con muestra grande (n > 30)
La fórmula para calcular el Intervalo de Confianza al (1 - α)% para la media de una variable cuantitativa observada en una muestra grande (n > 30) se basa en la distribución normal, y es la siguiente, ya conocida:
n
s
IC ( 1 − α )= m ± z (α) EE = m ± z ( α)
Donde: ( 1 − α )= confianza en la estimación (habitualmente 95%) α = riesgo de error, (habitualmente 5%)
m = media observada en la muestra
z = desvío estandarizado correspondiente a α en la distribución normal reducida. Cuando α =
5%, z = 1,96, que es lo habitual
EE = error estándar de la media
s = desviación estándar de la muestra
n = tamaño de la muestra
Explicaremos su forma de cálculo a partir de un ejemplo : Supongamos que en una muestra de 1.000 adultos de Talavera se ha observado un promedio de
colesterol m = 227 mg/dl con una desviación estándar s = 52 mg/dl. Calcular el Intervalo de
Confianza de la media al 95%.
Datos: ( 1 − α )= confianza en la estimación = 95% α = riesgo de error = 5%
m = media observada en la muestra = 227
z = desvío estandarizado correspondiente a α en la distribución normal reducida = 1,
s = desviación estándar de la muestra = 52
n = tamaño de la muestra = 1000
Por tanto,
n
s
IC m z α
Significado: La estimación puntual de la media poblacional es 227 mg/dl y con una seguridad o confianza del 95% la media poblacional estará incluida en el intervalo entre 223,8 y 230,2 (el riesgo de que esto
Estimación. Intervalos de confianza. (^) 10
t = valor de t correspondiente a α en la distribución t con g.d.l. = n-1.
EE = error estándar de la media
s = desviación estándar de la muestra
n = tamaño de la muestra
Explicaremos su forma de cálculo a partir del mismo ejemplo anterior, pero trabajando con una muestra mucho más pequeña:
Supongamos que en una muestra de 25 adultos de Talavera se ha observado un promedio de
colesterol m = 227 mg/dl con una desviación estándar s = 52 mg/dl. Calcular el Intervalo de
Confianza de la media al 95%.
Datos que nos dan: ( 1 − α )= confianza en la estimación = 95% α = riesgo de error = 5%
m = media observada en la muestra = 227
t = valor de t correspondiente a α en la distribución t de Student con g.d.l.= n-1 = 24; t = 2,
s = desviación estándar de la muestra = 52
n = tamaño de la muestra = 25
Por tanto,
n
s
IC m t α
Significado: La estimación puntual de la media poblacional es 227 mg/dl y con una seguridad o confianza del 95% la media poblacional estará incluida en el intervalo entre 205,53 y 248,46 (el riesgo de que esto no sea cierto y el verdadero valor poblacional esté fuera del intervalo es del 5 %). Nótese que este IC es mucho más ancho (y por tanto hay menor precisión) que el obtenido al trabajar con una muestra grande que era 223,8 y 230,2. El significado exacto del intervalo de confianza es el siguiente: si se realizaran un gran número de nuevos estudios en las mismas condiciones y en todos ellos se calcularan los IC 95%, 95 de cada 100 (o 19 de cada 20) de estos intervalos incluirían el verdadero valor de la media poblacional).
Ejemplo con otros niveles de confianza:
Igual que explicábamos en el caso de muestras grandes, las modificaciones en el nivel de confianza cambian los valores de t, y el cambio en el tamaño muestral cambia los grados de libertad. En la Tabla siguiente se dan los valores de z para distintos niveles de confianza, y se calculan diversos intervalos, cambiando los niveles de confianza y el tamaño muestral.
Media 227 DE 52
Confianza Error t g.d.l. L. Inferior L. Superior Amplitud IC
1-alfa alfa 95% 5% 2,06 25 206,0 248,0 42, 90% 10% 1,708 25 209,6 244,4 34, 99% 1% 2,787 25 198,6 255,4 56, 95% 5% 2,086 20 203,3 250,7 47, 95% 5% 2,228 10 192,1 261,9 69, 95% 5% 2 60 213,7 240,3 26,
IC
Se observa que, para un mismo tamaño muestral, aumentar el nivel de confianza 1-α implica aumentar la amplitud del intervalo. Al ser más ancho es más impreciso, pero la probabilidad de error α es menor: Para un mismo nivel de confianza (95% por ejemplo), al disminuir el tamaño muestral (y por tanto los g.d.l.) se pierde precisión en la estimación (el IC se hace más ancho), aún manteniéndose la misma probabilidad de error α. Por el contrario, al aumentar el tamaño muestral, aumenta la precisión en la estimación.
Caso de variables cualitativas
En el caso de variables cualitativas que siguen una distribución binomial (por ejemplo, proporción de fumadores, porcentaje de diabéticos, etc..), hay que comprobar si es posible o no realizar la aproximación a la normal. Recordemos que la condición para que la aproximación se pueda hacer es:
np y nq deben ser ≥ 5
Si esta condición se cumple, podremos utilizar la aproximación a la normal. Entonces usaremos la fórmula ya conocida del IC, con el estadístico z. Este cálculo, que es aproximado, nos puede llevar a veces a encontrar IC con el límite inferior menor que cero (negativos) lo cual es imposible, ya que un porcentaje puede ser cero, pero nunca puede ser menor que cero.
Cuando esta condición no se cumple, hay que calcular los IC usando un método exacto basado en la ecuación binomial, Este cálculo es engorroso para ser realizado a mano y en las prácticas con ordenador lo haremos utilizando programas on-line en Internet. Este IC basado en la ecuación binomial es exacto, puede ser asimétrico y nunca tiene un límite inferior menor que cero. Los que se calculan mediante la aproximación a la normal, son aproximados, son simétricos y en ocasiones pueden dar un límite inferior menor que cero (lo cual es absurdo ya que una proporción no puede ser menor que cero e indica que la aproximación se ha usado de forma incorrecta).
Cálculo del IC en variables cualitativas usando la aproximación a la normal:
La fórmula para calcular el Intervalo de Confianza al (1 - α)% para la proporción (%) de una variable cualitativa es la siguiente:
n
p p
IC p z EE p z
− α = ± α = ± α
Donde: ( 1 − α )= confianza en la estimación (habitualmente 95%) α = riesgo de error, (habitualmente 5%)
p = proporción observada en la muestra
z = desvío estandarizado correspondiente a α en la distribución normal reducida. Cuando α =
5%, z = 1,96, que es lo habitual
EE = error estándar de la proporción=
n
p ( 1 − p )
n = tamaño de la muestra
implica aumentar la amplitud del intervalo. Al ser más ancho es más impreciso, pero la probabilidad de error α es menor: Para un mismo nivel de confianza (95% por ejemplo), al disminuir el tamaño muestral se pierde precisión en la estimación (el IC se hace más ancho), aún manteniéndose la misma probabilidad de error α. Por el contrario, al aumentar el tamaño muestral, aumenta la precisión en la estimación. Para un mismo nivel de confianza y tamaño muestral, cuando P se hace más próximo al 50%, el IC se hace más impreciso ya que en la fórmula se computa P*Q que es máximo (0,25) cuando P vale 0,5.
Otro ejemplo con muestra pequeña:
Supongamos ahora que la muestra es de n = 22 mujeres y que el 20% toman anticonceptivos orales. Calcular el intervalo de confianza al 95% de este porcentaje.
Comprobemos las condiciones para la aproximación a la normal: np = 22 x 0,2 = 4, nq = 600 x 0,8 = 14,
no es posible la aproximación porque np es menor que 5.
El cálculo exacto mediante la ecuación binomial proporciona el siguiente IC 95%:
Límite inferior: 5,2 % Límite superior: 45,2 %
Este IC exacto es asimétrico (20-5,2=14,8; 45,2-20=25,2) y no incluye el cero.
El cálculo aproximado utilizando la normal proporciona el siguiente IC 95%:
Límite inferior: -1,2 % Límite superior: 41,2 %
Este IC aproximado por la normal es simétrico (20-(-1,2)=21,2; 41,2-20=21,2) y el límite inferior es negativo, lo cual es absurdo.
Utilización de los Intervalos de Confianza en la presentación de resultados de investigación
Cuando se presentan los resultados de trabajos de investigación, bien sea en artículos científicos, en comunicaciones a congresos en forma oral o en póster, tesis doctorales, etc, se deben utilizar los intervalos de confianza. Éstos proporcionan información sobre la precisión de las estimaciones realizadas. Por ejemplo, en las tablas siguientes se muestran los resultados de dos estudios publicados.
Ejemplo con proporciones:
Significado:
El 32,6% de las personas de clase social I_II tiene GHQ-12 > 2 puntos (estimación puntual) y con una seguridad o confianza del 95% la proporción poblacional estará incluida en el intervalo entre 30,5 y 34,7 (el riesgo de que esto no sea cierto y el verdadero valor poblacional esté fuera del intervalo es del 5 %).
Otro ejemplo con medias :
Es decir, para este estudio sería conveniente incluir un mínimo de 97 pacientes diabéticos.
¿Qué ocurriría con el tamaño muestral si los investigadores cambiaran sus deseos sobre la precisión de la estimación?. Vemos unos ejemplos de cálculo en la tabla siguiente:
Precisión Tamaño Amplitud IC ± Muestral 1 865 2 217 3 97 4 55 5 35
Cuanta más precisión desearan los investigadores (IC más estrecho), mayor tamaño muestral sería necesario.
Caso de estimar una variable cualitativa (porcentaje)
Estudio: ¿Qué % de estos pacientes diabéticos tienen un correcto control de sus cifras de hemoglobina glucosilada en las consultas de Enfermería de AP?.
Vimos que la fórmula del IC para proporciones es la siguiente
n
p p
IC p z EE p z
− α = ± α = ± α
Supongamos que los investigadores esperan que el porcentaje de pacientes controlados estará alrededor del 40%. ¿De dónde sacan esta suposición?. De su propia experiencia clínica y del estudio concienzudo de la bibliografía (evidencia). Ahora ellos deben decidir la precisión de la estimación, es decir, la amplitud del IC(95%) que desean obtener. Por ejemplo, quieren un IC de ± 4 %. Por tanto, resumiendo los datos: Porcentaje esperado = 40% Amplitud deseada del IC(95%) = ± 4
Ya se puede calcular el tamaño de la muestra:
n
p p
n
p p
;^2
n
p p
1 , 962 40 ×^60 = 42
n
n
n 577 pacientes
Es decir, para este estudio sería conveniente incluir un mínimo de 577 pacientes diabéticos.
¿Qué ocurriría con el tamaño muestral si los investigadores cambiaran sus deseos sobre la precisión
de la estimación?. Vemos unos ejemplos de cálculo en la tabla siguiente:
Precisión Tamaño Amplitud IC ± Muestral 1 9220 2 2305 3 1025 4 577 5 369 6 257 7 189
Cuanta más precisión desearan los investigadores (IC más estrecho), mayor tamaño muestral sería necesario.
¿Cuál sería el IC 95% si se disminuyera el tamaño muestral a 40 personas? ¿Cuál sería el IC 95% si se disminuyera el tamaño muestral a 20 personas?
Interpreta estos resultados.
Soluciones: EE = 2,6% IC al 95% = Li: 16,86 ; Ls: 27, IC al 99% = Li: 15,25 ; Ls: 28, IC al 95% con n= 40 = Li: 5,13 ; Ls: 38, IC al 95% con n= 20 (exacto usando la binomial) = Li: 6,40 ; Ls: 46,
Ejercicio 5: Uno de los objetivos del estudio TALARISK es estimar los niveles de
colesterol. Se han observado los resultados de la Tabla 1 relativos a la media de colesterol
HDL que presentan los hombres y mujeres diabéticos y no diabéticos. ¿Sería ésta una
forma correcta de presentar estos resultados?. Realizar una nueva tabla con los cálculos
apropiados para mejorar la presentación de estos resultados. (Se ofrece información
complementaria útil en la Tabla 2).
Tabla 1
Tabla 2
Solución: No es correcto, en la Tabla 1 faltarían los Intervalos de Confianza de las estimaciones de las medias de colesterol.
Cálculo de los intervalos de confianza al 95%: Para la media Hombre NO diabético = 52 IC 95% = Li: 49,64 ; Ls: 54, Para la media Hombre diabético = 51 IC 95% = Li: 42,82 ; Ls: 59, Para la media Hombre Total = 52 IC 95% = Li: 49,72 ; Ls: 54, Para la media Mujer NO diabética = 64 IC 95% = Li: 61,23 ; Ls: 66, Para la media Mujer diabética = 55 IC 95% = Li: 46,34 ; Ls: 63, Para la media Mujer Total = 63 IC 95% = Li: 60,35 ; Ls: 65, Para la media Total NO diabético = 59 IC 95% = Li: 56,96 ; Ls: 61, Para la media Total diabético = 53 IC 95% = Li: 47,34 ; Ls: 58, Para la media Total Total = 58 IC 95% = Li: 56,08 ; Ls: 59,
Ejercicio 6: Los investigadores desean presentar la proporción de diabéticos que hay en la
muestra de hombres y mujeres que se ha estudiado en el estudio TALARISK. Completar, a partir
de esta tabla, la información necesaria para presentar ese resultado de manera correcta.
Solución: En la Tabla faltarían los Intervalos de Confianza.
Cálculo de los intervalos de confianza al 95%: Para la proporción de Hombres con Diabetes = 16/112 =14,28% IC 95% = Li: 7,80 ; Ls: 20, Para la proporción de Mujeres con Diabetes = 16/143 = 11,18% IC 95% = Li: 6,02 ; Ls: 16, Para la proporción Total con Diabetes = 32/255 = 11,18% IC 95% = Li: 8,48 ; Ls: 16,
Ejercicio 7: En el estudio se han observado las siguientes medias de IMC con sus intervalos de confianza al 95%.
Límite inferior Límite superior <=54 años 27,67 26,60 28, 55-64 años 28,58 27,48 29, 65-74 años 30,01 29,10 30, 75 0 más años 29,04 27,30 30,
Total 28,8347 28,2596 29,
Índice de Masa Corporal
Media
IC 95%
Calcular el error estándar de la media para los sujetos de 65 a 74 años, sabiendo que el número de sujetos de esta edad es de 79.
Solución:
Media – Li = z*EE; EE =
z
Media - Li
; z para (1-alfa)=95% =1,
EE = 0 , 4642
Ejercicio 8 .- La media de edad de una muestra de 70 personas es de 62 años, con una desviación estándar de 10. a) Calcular el intervalo de confianza para la media al 95 % (IC 95%). b) Calcular el IC 95% si se aumenta el tamaño muestral a 500 personas. Comentar los resultados. d) Qué tamaño muestral sería necesario para estimar la edad con un IC 95% de ± 1 año?.
Soluciones: a) Li = 59,66; Ls = 64, b) Li = 61,12; Ls = 62,87. El IC 95% se ha estrechado, aumentando la precisión de la estimación.