Estadística Descriptiva: Medidas de Tendencia Central y Dispersión - Prof. Salafranca, Apuntes de Psicología

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Estadística Descriptiva

TEMA 3: MEDIDAS

ESTADÍSTICAS

3.0-PROPIEDADES DE YULE

Propiedades de Yule : Propiedades deseables de una medida de tendencia central. 1) Definida objetivamente a partir de los datos de la serie. 2) Que dependa de todas las observaciones. 3) De significado sencillo y fácil de entender. 4) De cálculo rápido y fácil. 5) Poco sensible a las fluctuaciones del muestreo(valor parecido al de la población) 6) Adecuado a cálculos algebraicos posteriores.

La Mediana cuando X viene en una tabla de frecuencias agrupadas en intervalos: I i = (e i- , e i

] F

i-

< 0,5 < F

i ó Ejemplo: i i i 1 i 1 a f 0´5 F Me e       (^) i i i 1 i 1 a n

N

n Me e 

  Intervalo ni Ni (0,2] 5 5 (2,5] 10 15 (5,10] 15 30 15  n/2 = 30/2 = 15  30 Intervalo Mediano: (5,10] Me = 5 + ((15 - 15)/15) * 5 = 5

3.1-MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

n/ n = Número total de observaciones Intervalo mediano

3.1-MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Propiedades de la Mediana : (1) Cumple las condiciones 1, 3, 4, 5 de Yule. (2) Distancia absoluta o media al valor a. d absoluta (a) = d abs (Me)  d abs (a) , a  R 

n i i i x a f

• (^) Media Aritmética : La media aritmética o media de la variable estadística X es: x = (x 1 + … + x n ) / n x = (x 1

• n 1 +…+ x k
• n k ) / n x = x 1
• f 1 +…+ x k
• f k Propiedades de la Media Aritmética: (1) Cumple las Propiedades 1, 2, 3, 4, 6 de Yule. (2) (3) Distancia Cuadrática(a) = (4) y = ax + b a, b  R x : x 1 ,…, xk y : y 1 = ax 1 + b ,..., yk = axk + b (5) Z = aX + bY z = ax + b*y X, Y, a, b  R

^ ^ 

   n i 1 xi x f i

^ ^ 

   n i 1 i 2 x (^) i a f

3.1-MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

k = modalidades diferentes Relación entre Media Aritmética, Mediana y Moda: 3 ( x - Me )  ( x - Mo )

• (^) Media Geométrica : La Media Geométrica (G) de una variable estadística X, positiva, se define como:
• (^) Media Armónica: La Media Armónica (H) de una variable estadística X, positiva, se define como: Media Cuadrática: La Media Cuadrática (Q) de una variable estadística X, positiva, se define como: n nk k n 2 2 n 1 1 G  x x x     k i 1 i i n x 1 n H n x n Q k i 1 i 2  i   

3.1-MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Comparación de las diversas Medias: H  G  X  Q

• (^) Varianza : La Varianza de X, se define como: S 2 =  2 = var(X) =
• (^) Desviación Típica: La desviación Típica de X, se define como: S =  = +  s 2  0 Se vuelve a la misma unidad de la variable original.
• (^) Cuasivarianza: La Cuasivarianza de X, se define como: Cuasivarianza Típica : Sc = +  S 2 c ^ ^     k i 1 i 2 i x x f   n 1 x x Sc k i 1 2 i 2     

3.2-CARACTERÍSTICAS DE DISPERSIÓN

Relación entre estas Dispersiones: nS 2 = (n-1)S 2 c**

3.2-CARACTERÍSTICAS DE DISPERSIÓN

Coeficiente de Variación de Pearson El Coeficiente de Variación de Pearson de la variable estadística X, se define como:

• (^) |x| es muy pequeña
• Si x = 0 no se usaría el CVx
• CVx no cambia si utilizamos escalas distintas.
• (^) Para averiguar o comparar donde hay más o menos variación de varias variables estadísticas podemos utilizar cual es su CV x , ya que las escalas pueden ser diferentes( no tiene unidad de Medida, es adimensional). x S CVx 

3.2-CARACTERÍSTICAS DE DISPERSIÓN

Cálculo de los cuantiles X 

• X no agrupada en Intervalos: 1)  = F i

X

 **= ( x i

• x i+**

2) F

i-

<  < F

i x  = x i

• (^) X agrupada en Intervalos: F i-

   F

i (e i- , e i

]  X

a i i i 1 α i 1 a f α F x e         

3.2-CARACTERÍSTICAS DE DISPERSIÓN

Recorrido Intercuartílico

• (^) El Intervalo Intercuartílico de X, se define como : [ Q 1

, Q

3

]

( 50 % de las observaciones más centradas)

• (^) El rango Intercuartílico de X, se define como : IQR = Q 3

- Q

1

• (^) El rango o recorrido de X, se define como : Rg(X) = Max x i - Min x i

3.2-CARACTERÍSTICAS DE DISPERSIÓN

Indice de Diversidad El Indice de Diversidad de X trata la dispersión en variables nominales y se define como: Donde H es: log(n) H H H J max       k i 1 i i H f log(f ) n = Número total de observaciones Teoría de la Información (SHANNON-1948) Propiedades (1) (2) (3) (4) (5) (6) H  0 H  log(n) H log(n) Diversidad Máxima     

Min Max Diversidad

0 J 1

J  1  Diversidad_Máxima_en _X J  0  Diversidad_Mínima_en _X

3.3-CARACTERÍSTICAS DE FORMA

Coeficientes de Asimetría

• (^) Coeficiente de Simetría de PEARSON de X: Si: As = 0 Situación de Simetría As > 0 Situación de Simetría a la Derecha AS < 0 Situación de Asimetría a la Izquierda Medida Adimensional(Sin Medida) Medida Adimensional(Sin Medida) S x Mo As  

3.3-CARACTERÍSTICAS DE FORMA

Coeficiente de Curtosis El Coeficiente de Curtosis de Fisher de la Variable Estadística X se define como: Interpretación: = 0 > 0 < 0 Mesocúrtica Leptocúrtica Platicúrtica          k i 1 i 4 2 4 i x x f 3 S 1 γ

3.4-CARACTERÍSTICAS DE CONCENTRACIÓN

Medidas de Concentración Las Medidas de Concentración ponen de relieve el mayor o menor grado de igualdad en el reparto de la suma total de los valores de la variable. Suelen ser variables de tipo económico: Producción, Salarios, Ventas, ...