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Tema 1. ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA
M. J. Rubio
Un poco de Historia
Una de las m´as bellas leyendas de las mil y una noches cuenta que el califa Har´un al Rasid sal´ıa disfrazado de mercader de su palacio para conocer la opini´on de los habitantes de Bagdad. Tambi´en el escritor estadounidense Mark Twain, muchos a˜nos despu´es, hace del pr´ıncipe Eduardo un mendigo, que de este modo llegar a conocer c´omo viv´ıan y pensaban sus s´ubditos. El estudio estad´ıstico m´as antiguo que se conoce se realiz´o en China cuando el emperador Yao encarg´o la confecci´on de un censo del imperio. Esto suceda a finales del tercer milenio antes de Cristo. Tambi´en se tienen noticias de que en el antiguo Egipto se realizaron estad´ısticas y trabajos censales de tipo agr´ıcola. Otro censo famoso, seg´un relataba el historiador T´acito, fue el que recog´ıa las propiedades y los ej´ercitos del imperio de Roma en tiempos del emperador Octavio Augusto. No obstante, hemos de esperar alg´un tiempo hasta que aparezcan los trabajos de John Graunt, un comerciante de mercer´ıa ingl´es, considerado como el precursor de la actual estad´ıstica. Graunt, entre los a˜nos 1604 y 1661, realiz´o un estudio sobre los nacimientos y defunciones de Londres y, a partir de los datos obtenidos, extrajo consecuencias formulando leyes demogr´aficas y comportamientos sociol´ogicos. Treinta a˜nos m´as tarde publica el astr´onomo Halley un estudio sobre las tasas de mortalidad, sent´andose las bases de los estudios sobre esperanza de vida. Hoy, en el siglo XXI, los m´etodos han cambiado de manera radical y en la actualidad la importancia de la estad´ıstica es enorme: los m´etodos estad´ısticos son fundamentales para estimar, planificar, predecir y decidir en problemas relacionados con la pol´ıtica, la sociolog´ıa, la investigaci´on, la industria, la econom´ıa y una larga lista de actividades.
- Conceptos b´asicos
La Estad´ıstica se puede definir como la ciencia que tiene por objeto dar m´eto- dos para el tratamiento de los datos de observaci´on y su aplicaci´on para la toma de decisiones. Tambi´en se dice que es “la ciencia que estudia el comportamiento de los fen´omenos de masas”. Es decir, la ciencia encargada de la
- Observaci´on y an´alisis de los datos.
- Interpretaci´on y obtenci´on de conclusiones y previsiones. La rama de la Estad´ıstica que se ocupa de la organizaci´on, s´ıntesis y descripci´on de los datos es la Estad´ıstica descriptiva mientras que la rama que utiliza los datos de la muestra para inferir algo acerca de una poblaci´on, se denomina Estad´ıstica inferencial. A continuaci´on introduciremos las nociones generales b´asicas que utilizaremos:
Definici´on 1 Universo, Colectivo o s´ımplemente Poblaci´on es el conjunto o colecci´on de elementos que son objeto de estudio.
Definici´on 2 Se dice unidad estad´ıstica o individuo a cada uno de los elementos de la poblaci´on.
Definici´on 3 Se denomina tama˜no de la poblaci´on al n´umero de elementos que la componen y se acostumbra a distinguir entre poblaci´on finita e infinita.
Definici´on 4 Una muestra es un subconjunto de elementos de la poblaci´on.
A veces el estudio estad´ıstico no se puede realizar observando todos los elementos de la poblaci´on. Pueden ser cuestiones de tipo econ´omico, de tiempo o por ser la poblaci´on muy grande. Esto hace que sea preferible un muestreo. La muestra no puede ser cualquier subconjunto, sino que debe ser representativo de toda la poblaci´on. Ello se estudia en la llamada “Teor´ıa de Muestras”.
Definici´on 5 Los caracteres son las cualidades de los individuos de la poblaci´on que son objeto de estudio. Se clasifican en dos, seg´un sean medibles o no: Cuantitativos o variables (m^2 de vivienda, edad): son aquellos caracteres sus- ceptibles de ser cuantificados, es decir, que se pueden describir mediante n´umeros. Cualitativos o atributos (color de ojos, nacionalidad): son aquellos que por su naturaleza no se pueden cuantificar y por lo tanto se describen mediante palabras.
Definici´on 6 Los diferentes valores que puede tomar un caracter se denominan mo- dalidades. Estas deben estar bien definidas de tal manera que cada individuo perte-´ nezca a una ´unica modalidad.
Definici´on 7 A los valores num´ericos de las distintas modalidades que toma un carac- ter cuantitativo se llama Variable estad´ıstica. Distinguimos dos tipos de variables: Variable discreta: (n◦^ de hijos, n◦^ de acciones vendidas un d´ıa en la Bolsa) es aquella que s´olo puede tomar valores determinados o aislados. Es decir, aquella para la
2.2. Distribuciones y tablas de frecuencias
Una vez recogidos los datos de la muestra, se efectua una primera clasificaci´on, llamada distribuci´on de frecuencias, donde aparecen las modalidades observadas junto a su frecuencia. La presentaci´on se hace en forma de tabla, donde se agrupan y ordenan los datos. Las distribuciones de frecuencias se clasifican en tres tipos atendiendo al n´umero de observaciones y al n´umero de valores distintos que toma la variable: i) Cuando hay muy pocas observaciones y, en consecuencia, un n´umero reducido de valores distintos que toma la variable. ii) Cuando el n´umero de observaciones es grande, pero el n´umero de valores distintos que toma la variable es peque˜no. iii) Cuando el n´umero de observaciones es grande y el n´umero de valores distintos que toma la variable es tambi´en grande. En los dos primeros casos se actua de igual forma, es decir, para construir la tabla estad´ıstica correspondiente basta con poner en una primera columna los pocos valores distintos de la variable, y en la segunda, las frecuencias que estemos interesados en mostrar. Si los valores est´an ordenados de menor a mayor, se disponen como en la tabla siguiente:
xi ni fi Ni Fi x 1 n 1 f 1 N 1 F 1 x 2 n 2 f 2 N 2 F 2 .. .
xk nk fk Nk Fk
Ejemplo 1 Se ha lanzado un dado al aire 50 veces, obteni´endose los siguientes resul- tados:
6 2 3 2 4 6 1 5 3 1 6 3 4 1 3 5 4 2 6 2 2 1 6 5 6 1 3 1 4 3 3 2 5 4 4 2 5 3 3 6 1 1 3 2 1 3 6 4 5 5
Construir la tabla de frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumulas.
xi ni fi Ni Fi 1 9 9 / 50 9 9 / 50 2 8 8 / 50 17 17 / 50 3 11 11 / 50 28 28 / 50 4 7 7 / 50 35 35 / 50 5 7 7 / 50 42 42 / 50 6 8 8 / 50 50 50 /50 = 1
En el tercer caso, cuando el n´umero de observaciones es grande as´ı como el de valores distintos de la variable, evidentemente, no es aconsejable realizar una tabla como la anterior. Por tanto, lo que se hace es agrupar los valores de la variable en intervalos, que pueden ser de amplitud constante o no, y calcular las frecuencias en cada intervalo. En estos casos las frecuencias no medir´an el n´umero o porcentaje de veces que se repite un valor sino un intervalo. Tomar el intervalo como unidad de estudio, en lugar de cada valor de la variable, supone una simplificaci´on pero tambi´en se pierde informaci´on. Por tanto, es importante elegir un n´umero adecuado de intervalos que equilibre estos dos aspectos. Cada intervalo o clase queda especificado por sus extremos. En general para el i- ´esimo intervalo, se denota por (Li) al extremo superior y por (Li− 1 ) al extremo inferior. Se llama amplitud del intervalo y se denota por (ai) a la distancia entre los extremos del interval: ai = Li − Li− 1 La uni´on de todos los intervalos ha de recubrir a todos los valores de la variable (axhaustivo) pero sin solaparse (excluyente). Para facilitar el manejo matem´atico de los intervalos, es preciso considerar un valor como representante de cada intervalo al que se denomina marca de clase y se denota por (xi). En general se toma como tal, el punto medio del intervalo. En el caso de que los intervalos tengan distinta amplitud, un valor a tener en cuenta es la densidad de frecuencia absoluta (hi) que es el n´umero de observaciones del
i-´esimo intervalo por unidad de longitud: hi =
ni ai Para consruir la tabla estad´ıstica se colocan ordenadamente los intervalos,las marcas de clase y las frecuencias correspondientes, como se muestra en la siguiente tabla:
[Li− 1 , Li) xi ni fi Ni Fi [L 0 , L 1 ) x 1 n 1 f 1 N 1 F 1 [L 1 , L 2 ) x 2 n 2 f 2 N 2 F 2 .. .
[Lk− 1 , Lk] xk nk fk Nk Fk
Ejemplo 2 En una central el´ectrica se ha medido cada hora la tensi´on de la corriente en voltios para regular su salida, obteni´endose los siguientes resultados en un periodo de 30 horas:
226 221 228 216 219 219 227 225 220 220 226 215 221 224 222 218 227 230 222 212 220 215 219 232 219 217 220 211 220 223
Construir la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas, agrupando previamente los valores en intervalos de amplitud 5 voltios y como primer intervalo el 210-215.
Intervalos ni Nia Nid 210 - 215 2 2 30 215 - 220 9 11 28 220 - 225 11 22 19 225 - 230 6 28 8 230 - 235 2 30 2
En particular, si los intervalos son de igual amplitud, las alturas de los rect´angulos ser´an iguales a las frecuencias respectivas, ya que al ser las bases de los rect´angu˜los iguales, las ´areas s´olo depender´an de las alturas. Pol´ıgono de frecuencias. Se obtiene uniendo los extremos de las barras en el diagrama de barras o los puntos medios superiores de los rect´angulos en el histograma Pol´ıgono de frecuencias acumuladas. Igual que el pol´ıgono de frecuencias pero utilizando las correspondientes frecuencias acumuladas.
Ejercicio 9 Representar el diagrama de barras, pol´ıgono de frecuencias, diagrama de barras acumulativo y gr´afico de sectores con los datos del ejemplo1.
Ejercicio 10 Construir el histograma y el pol´ıgono de frecuencias absolutas del ejem- plo 2
Ejercicio 11 Realizar el histograma de la siguiente distribuci´on:
Valores Frecuencias 2 - 4 25 4 - 6 36 6 - 9 48 9 - 13 61
- Medidas de Posici´on
Las medidas de posici´on central o promedios, son valores alrededor de los cuales se agrupan los valores de la variable. Estos valores pueden ser mas o menos representativos y nos permiten comparar distintas muestras. Las medidas de posici´on central m´as utilizadas son la media aritm´etica, la mediana y la moda.
3.1. Media aritm´etica
Consideramos una variable X que toma los valores distintos x 1 , x 2 , ...xk con fre- cuencias n 1 , n 2 , ..., nk respectivamente haciendo un total de N datos. La media aritm´etica se define como la suma de todos los valores de la distribuci´on, dividida por el n´umero total de observaciones. Se denota x:
x =
x 1 n 1 + x 2 n 2 + · · · + xknk N
∑^ k
i=
xini
N
∑^ k
i=
xifi
Es claro que s´olo es v´alida para caracteres cuantitativos. La media es un n´umero que se encuentra siempre entre los valores extremos de la variable y se considera el centro de gravedad de las observaciones, en el sentido de que la suma de las diferencias de las observaciones respecto de la media es cero. Por otro lado, tiene como inconveniente la influencia que, sobre ella, ejercen de los valores extremos de la distribuci´on. Para evitar esto, a veces, se utiliza la trimedia o media recortada al 5 %.
Ejercicio 12 Calcula la media de la distribuci´on dada en el ejemplo 1.
Ejercicio 13 Calcula la media en el ejercicio 11.
Observaci´on. Si en una distribuci´on de frecuencias se clasifican las observaciones en q subgrupos mutuamente excluyentes, la media artim´etica de todo el conjunto podemos calcularla en funci´on de las medias aritm´eticas parciales, de la siguiente forma:
x =
x 1 N 1 + x 2 N 2 + · · · + xqNq N
siendo N = N 1 + N 2 + · · · + Nq.
Ejercicio 14 Cuatro grupos de estudiantes formados por 15, 20, 10 y 18 personas re- gistran una media de pesos de 75, 70, 72 y 80 kg. respectivamente. Halla el peso medio de todos los estudiantes.
Comportamiento de la media respecto a las transformaciones lineales Si x es la media de la variable X, entonces ax + b es la media aritm´etica de la variable aX + b.
Ejercicio 15 En una empresa los salarios correspondientes a cinco categor´ıas diferentes son los son los siguientes: 800, 1200, 1600, 2000, 2400. Calcula la media de los mismos.
3.2. Moda
La moda es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. Puede no ser ´unica, incluso no existir. Puede usarse incluso con variables cualitativas y viene a solucionar el problema que tiene la media cuando no coincide con ning´un valor de la variable o cuando interesa destacar la frecuencia de los valores de la misma. Ejemplo. Calcula la moda de los siguientes datos: { 2, 2, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 10} Ejemplo. Calcula la moda de los siguientes datos: { 1, 2, 3, 5} Ejemplo. Calcula la moda de los siguientes datos: { 1, 1, 4, 5, 7, 8, 8, 9}
Li− 1 Mo Li
hi+
hi
hi− 1 C
B
A
D
E
F
G
3.4. Cuantiles
Los cuantiles son medidas no centrales, que dividen a la poblaci´on en partes y nos permiten conocer la posici´on de un valor de la variable respecto de los dem´as. Los cuantiles de orden q son q − 1 valores (Q 1 /q, Q 2 /q, ..., Qq− 1 /q) que dividen la distribuci´on en q partes con el mismo n´umero de observaciones. En general un cuantil divide a la poblaci´on en dos partes de tal manera que una proporci´on de la poblaci´on es menor que ´el y el resto mayor. Distinguimos tres tipos de cuantiles: Cuartiles: son 3 y dividen a la poblaci´on en 4 partes iguales. El primer cuartil Q 1 es el que deja a su izquierda la cuarta parte de la poblaci´on que es menor que ´el y el resto mayor; el segundo cuartil Q 2 coincide con la mediana y el tercero Q 3 deja a su izquierda las tres cuartas partes de la poblaci´on que son menores que ´el.
Deciles: son 9 y dividen a la poblaci´on en 10 partes iguales. Se llama d-´esimo decil Dd al valor tal que 10d % de las observaciones son menores o iguales que ´el y el resto mayores (d = 1, 2 , ..., 9): D 1 , D 2 , ..., D 5 = Me, ..., D 9 Percentiles o Centiles: son 99 y dividen a la poblaci´on en 100 partes iguales. Llamamos percentil k-´esimo Pk al valor tal que k % de las observaciones son menores o iguales que ´el y el resto mayores (k = 1, 2 , ..., 99): P 1 , P 2 , ..., P 10 = D 1 , ..., P 25 = Q 1 , ..., P 50 = Me, ..., P 99 En el caso de valores agrupados en intervalos, para calcular el percentil k-´esimo
se elige el intervalo que contiene al valor N
k 100
que buscamos y se calcula
Pk = Li− 1 +
N 100 k − Ni− 1 ni
ai
Li− 1 Pk Li
N 100 k
Ni
Ni− 1 A B C
E
D
x
Ejercicio 19 Calcula algunos cuantiles para el ejemplo 2.
- Medidas de dispersi´on
Una medida de posici´on central reduce la informaci´on de la poblaci´on a un s´olo dato. Sin embargo, no siempre caracteriza perfectamente la distribuci´on. Ser´a m´as o menos representativa dependiendo de los valores de la variable y de dicha medida. Las medidas de dispersi´on se utilizan para determinar lo agrupada o dispersa que est´a una poblaci´on y por tanto si la medida de posici´on central calculada, es represen- tativa. En lo que sigue consideraremos la variable X que toma los valores distintos x 1 , x 2 , ...xk con frecuencias respectivas n 1 , n 2 , ..., nk haciendo un total de N datos.
Ejemplo 3 La edad de dos grupos de individuos representados por las distribuciones unitarias X e Y se dan en la siguiente tabla
xi yi Individuo 1 14 a˜nos 2 a˜nos Individuo 2 16 a˜nos 4 a˜nos Individuo 3 18 a˜nos 5 a˜nos Individuo 4 20 a˜nos 39 a˜nos Individuo 5 22 a˜nos 40 a˜nos Suma de edades 90 a˜nos 90 a˜nos Media aritm´etica x = 18 a˜nos y = 18 a˜nos
Evidentemente los dos grupos son muy diferentes entre s´ı; uno corresponde a un grupo de j´ovenes, mientras que el otro podr´ıa ser una familia con 3 hijos. Medidas de posici´on como la media de edad, mediana, moda o cuantiles, no aportan suficiente informaci´on para conocer adecuadamente la distribuci´on.
4.1. Rango
El rango o recorrido es la medida de dispersi´on m´as simple y es la diferencia entre el mayor y menor valor de la variable. En general, las medidas centrales ser´an tanto m´as representativas cuanto m´as pe- que˜no sea el recorrido.
Ejercicio 20 Calcula el rango en los ejemplos 1, 2 y 3.
En ocasiones, con objeto de evitar la influencia de los valores extremos de la variable, se utilizan otros rangos que corresponden a los distintos cuantiles: Rango o intercuart´ılico: Diferencia entre el tercer y primer cuartil. Rango o interdec´ılico: Diferencia entre el decil 9 y el primer decil. Rango o intercent´ılico: Diferencia entre el percentil 99 y el primero.
Ejercicio 21 Calcula los rangos intercuart´ılicos en los ejemplos 1 y 2.
se calcula su raiz cuadrada. As´ı, se define la desviaci´on t´ıpica como la raiz cuadrada de la varianza.
σ =
σ^2 =
N
∑^ k
i=
(xi − x)^2 ni =
N
∑^ k
i=
x^2 i ni − x^2
Como se desprede de su definici´on, la varianza y desviaci´on t´ıpica son n´umeros positivos. Si σ = 0 significa que las observaciones son iguales a la media. Luego, la representatividad de la media ser´a mayor cuanto m´as peque˜na sea la desviaci´on t´ıpica.
Ejercicio 24 Calcula la desviaci´on t´ıpica de las dos distribuciones X e Y del ejemplo 3
Para distribuciones cuya forma se aproxima a la distribuci´on normal, se puede considerar que en el intervalo (x − σ, x + σ) se encuentra entre el 60 % y el 75 % de las observaciones y hasta el 95 % en el intervalo (x − 2 σ, x + 2σ)
Ambos par´ametros (varianza y desviaci´on t´ıpica) son independientes del cambio de origen, pero no de escala, es decir, si σ^2 es la varianza de la variable X, entonces a^2 σ^2 es la varianza de la variable aX + b.
4.3.1. Cuasivarianza y cuasidesviaci´on t´ıpica
En ciertas ocasiones se acostumbra a utilizar m´as la cuasivarianza y cuasidesviaci´on t´ıpica. La cuasivarianza es:
S^2 =
N − 1
∑^ k
i=
(xi − x)^2 ni y se verifica que N σ^2 = (N − 1)S^2
La cuasidesviaci´on t´ıpica se define como la ra´ız cuadrada de la cuasivarianza: S =
S^2
4.3.2. Variable tipificada
Llamaremos variable tipificada o estandarizada a aquella que tiene de media 0 y de desviaci´on t´ıpica 1. Utilizando la media y la desviaci´on t´ıpica de una variable X dada, podemos consi- derar una nueva variable:
Z =
X − x σ
, es decir, zi =
xi − x σ
Esta nueva variable Z tipificada, es adimensional (independiente de las unidades utilizadas) y mide la desviaci´on de la variable X respecto de su media en t´erminos de su desviaci´on t´ıpica. Por ello, resulta muy ´util para comparar distribuciones.
Ejercicio 25 Un estudiante obtubo 84 puntos en el examen final de Estad´stica, en el que la nota media fue 76 y la desviaci´on t´ıpica 10. En el examen final de F´ısica obtuvo 90 puntos, siendo la media 82 y la desviaci´on t´ıpica 16. Aunque en las dos asignaturas estuvo muy por encima de la media, ¿en cu´al sobresali´o m´as?
4.4. Coeficiente de variaci´on
Coeficiente de variaci´on de Pearson es el cociente entre la desviaci´on t´ıpica y la media: CV =
σ |x| Este coeficiente pierde representatividad cuando la media se acerca a cero. Mide la dispersi´on relativa de la poblaci´on y es independiente de la unidad de medida o cambio de escala; por tanto, permite establecer comparaci´on entre las dispersiones de muestras que vengan expresadas en distintas unidades. En ocasiones, para poder trabajar con porcentajes, este coeficiente es multiplicado por 100. En general, se define el coeficiente de variaci´on media respecto un promedio p como sigue:
CV M (p) =
DM (p) |p|
An´alogamente a lo dicho en la desviaci´on media, se suele elegir como par´ametro p la media o la mediana.
Ejercicio 26 Calcula el coeficiente de variaci´on de Pearson de las dos distribuciones X e Y del ejemplo 3. ¿Qu´e puede decirse de la representatividad de la media en cada uno de los dos grupo?
Ejercicio 27 Se ha aplicado un mismo test a dos grupos de alumnos A y B. Los re- sultados obtenidos han sido respectivamente xA = 38, σA = 7 y xB = 38, σB = 7. ¿Qu´e grupo tiene mayor dispersi´on?
- Medidas de forma
Estas medidas nos dan una idea de la forma de la distribuci´on sin necesidad de realizar su representaci´on gr´afica (diagrama de barras o histograma). Dichas medidas comparan aspectos de la representaci´on gr´afica de la variable (si- metr´ıa y apuntamiento) con la curva normal o campana de Gauss que nos sirve como modelo.
Figura 1: Campana de Gauss, variable no agrupada y agrupada en intervalos respecti- vamente
- Coeficiente de asimetr´ıa de Fisher
AF =
m 3 σ^3
siendo m 3 =
N
∑^ k
i=
(xi − x)^3 ni
AF > 0 Asimetr´ıa a derecha o positiva AF = 0 Puede ser Simetr´ıa AF < 0 Asimetr´ıa a izquierda o negativa
Ejercicio 29 Utilizar el coeficiente de Fisher para determinar el sesgo en los ejemplos 1 y 2.
Notar que toda distribuci´on sim´etrica tiene nulo el coeficiente de asimetr´ıa, pero el rec´ıproco no es cierto, es decir, existen distribuciones asim´etricas para las que el ´ındice de asimetr´ıa, es nulo.
5.2. Medidas de apuntamiento o curtosis
El apuntamiento o curtosis mide el grado de acumulaci´on de frecuencias en torno a la zona central. Es decir, si la gr´afica de la distribuci´on es m´as o menos apuntada o aplastada que la de la distribuci´on normal (Campana de Gauss) con igual media y varianza. Coeficiente de curtosis
g 2 =
m 4 σ^4
siendo m 4 =
N
∑^ k
i=
(xi − x)^4 ni
g 2 > 3 M´as apuntamiento que la normal : leptoc´urtica g 2 = 3 Igual apuntamiento que la normal : mesoc´urtica g 2 < 3 Menos apuntamiento que la normal : platic´urtica
A veces se define K = g 2 − 3 para comparar con 0.
Ejercicio 30 Utilizar este coeficiente para determinar la curtosis en los ejercicios 1 y
Relaci´on de ejercicios
Responde a las siguientes preguntas:
a) Sobre la base de una encuesta se lleg´o a la conclusi´on que el 10 % de los espa˜noles que viajaron al extranjero durante el a˜no 2005 prefirieron no con- tratar ning´un seguro de viaje. ¿Se lleg´o a esa conclusi´on a partir de una muestra o de una poblaci´on? b) El 15 % de las matriculaciones realizadas en Espa˜na durante los ´ultimos cinco a˜nos fueron de una determinada marca comercial. ¿Se lleg´o a esa conclusi´on a partir de una muestra o de una poblaci´on?
- Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos, indica si son cualitativos o cuantitativos y describe las distintas modalidades.
a) Superficie de los cincos continentes b) N´umero de miembros de una familia c) Estado civil de una persona d) Marcas de ordenadores utilizados por 100 estudiantes de Ingenier´ıa e) Precio medio por metro cuadrado de la vivienda en cuatro ciudades espa˜nolas: Madrid, Barcelona, Santander, Logro˜no.
- Las calificaciones obtenidas por 80 alumnos de una clase en la asignatura de matem´aticas ha sido las siguientes:
Notas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Alumnos 4 5 6 9 12 15 10 8 5 4 2
Se pide
a) Frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. b) Porcentaje de alumnos suspensos. c) Porcentaje de alumnos con calificaci´on de notable. d) N´umero de alumnos aprobados. e) Diagrama de barras y pol´ıgono de frecuencias.
- Los siguientes datos corresponden al n´umero de pasajeros de 28 autobuses cuando salen de la terminal del centro de una ciudad con destino a realizar un City Tour. Los autobuses tienen 49 asientos cada uno y los pasajeros adicionales deben viajar de pie.
52 50 38 42 48 55 52 51 36 47 52 53 57 56 35 36 58 49 46 50 49 52 38 41 55 48 59 49
a) Sintetiza los datos en una tabla, agrup´andolos en intervalos de amplitud 5.
- Los siguientes valores corresponden al tiempo que esperan para ser atendidos 15 clientes de una compa˜n´ıa a´erea (en minutos):
20 , 25 , 22 , 20 , 25 , 20 , 21 , 22 , 22 , 24 , 23 , 20 , 23 , 20 , 23
Obtener:
a) El tiempo medio de espera. b) El tiempo m´aximo que esper´o el 50 % de los clientes. c) El tiempo m´as frecuente de espera.
- Los viajes en avi´on realizados por los gerentes comerciales de 50 cadenas hoteleras distribuidas por Europa durante un mes se recogen en la siguiente tabla:
Li− 1 − Li ni [40, 100) 10 [100, 200) 20 [200, 500) 15 [500, 1000] 5
Realiza el histograma y calcula la mediana y la moda.
- Cien peque˜nos agentes de viaje se agrupan de acuerdo con su n´umero de clientes en la siguiente distribuci´on:
Li− 1 − Li [0, 2] (2, 3] (3, 5] (5, 7] (7, 10] (10, 15] ni 20 30 20 15 10 5
Calcula la mediana y la moda.
- Dada la siguiente tabla de frecuenias
xi ni Ni Porcentaje 1 6 2 11 12, 3 9 4 27 5 10 25 6 7,
Completa la tabla y halla el tercer cuartil, el s´eptimo decil y el percentil 99.
- Una variable X tiene por pol´ıgono acumulativo de frecuencias absolutas el dado en la figura. Se pide:
a) Realiza una tabla estad´ıstica con los distintos intervalos, frecuencias absolutas y relativas y frecuencias acumuladas.
b) Percentil en el que est´a el valor 182.
- Medido el coeficiente intelectual de un grupo de 100 alumnos se han obtenido los siguientes resultados
C. I. 61 − 69 69 − 77 77 − 85 85 − 93 93 − 101 101 − 109 109 − 117 117 − 125
N 0 alum. 2 10 12 20 25 18 9 4
Se pide calcular.
a) La media, la mediana y la moda. b) Percentil correspondiente al coeficiente 90. Idem con 105. c) ¿Qu´e tanto por ciento del total representan los alumnos con coeficiente inte- lectual comprendido en el intervalo (90, 105)?
- Se ha medido el n´umero de pulsaciones que tienen los jugadores de las plantillas de dos equipos de f´utbol antes de un entrenamiento. Los resultados obtenidos se reflejan en la tabla siguiente:
N 0 de pulsaciones 45 − 49 49 − 53 53 − 57 57 − 61 61 − 65 165 − 69 N 0 de jugadores 3 3 8 10 12 8
Se pide calcular:
a) La media, la mediana y la moda. b) Valor correspondiente al percentil 24 y percentil 79.
