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Contrastes de hipótesis
Ejercicio nº 1.-
En un determinado instituto aseguran que las notas obtenidas por sus alumnos en las pruebas de acceso a la Universidad tienen una media igual o superior a 7 puntos. Pero la media obtenida en una muestra aleatoria de 80 alumnos en los últimos exámenes fue de 6,89 puntos. Si sabemos que la varianza es igual a 4,84, ¿podemos considerar, con un nivel de significación del 1%, que la afirmación hecha por el instituto es cierta?
Ejercicio nº 2.-
En una determinada región, el número semanal de accidentes de tráfico producido durante el año pasado siguió una distribución normal de media 3,2 y desviación típica 1,3. Se ha llevado a cabo una campaña de prevención contra los accidentes de tráfico y la media semanal de accidentes en las 40 semanas siguientes ha sido de 3,05. Admitiendo que la desviación típica no ha variado, ¿podemos afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la campaña no ha tenido éxito (es decir, que el número de accidentes no ha disminuido con respecto al año anterior)?
Ejercicio nº 3.-
Un fabricante garantiza a un laboratorio farmacéutico que sus máquinas producen comprimidos con un diámetro de 25 mm. Una muestra de 100 comprimidos dio como media de los diámetros 25,18 mm. Suponiendo que el diámetro de los comprimidos es una variable aleatoria con distribución normal, de desviación típica 0,89 mm, se desea contrastar, con un nivel de significación del 5%, si el diámetro medio que afirma el fabricante es correcto. Para ello:
a) Plantea la hipótesis nula y la hipótesis alternativa del contraste.
b) Realiza el contraste al nivel de significación indicado.
Ejercicio nº 4.-
Un laboratorio ha preparado un elevado número de dosis de cierta vacuna. Se conoce que el peso de dichas dosis se distribuye normalmente, con desviación típica de 0,10 mg. El peso medio de las dosis ha de ser de 0,70 mg. Se requiere la máxima precisión en el peso de las dosis. Por ello, se elige una muestra de 200 dosis y se comprueba su peso medio, que resulta ser de 0,66 mg. Realiza un contraste de hipótesis, con un nivel de significación de 0,05, para decidir si se debe retirar las dosis producidas, o bien la diferencia de peso medio es debida al azar.
Ejercicio nº 5.-
El concejal de cultura de una determinada localidad afirma que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvenes entre 15 y 30 años, residentes en dicha localidad, es, como mucho, de 8 horas semanales. Tomando una muestra aleatoria de 100 jóvenes entre 15 y 30 años, se obtuvo que la media de horas semanales que dedicaban a leer era de 8,3, con una desviación típica igual a 1. Con un nivel de significación del 5%, ¿podemos aceptar la afirmación del concejal?
Ejercicio nº 6.-
Se afirma que, en una determinada localidad, el 20% de las familias tienen dos o más hijos. Tomando una muestra aleatoria de 120 familias, había dos o más hijos en 22 de ellas. A un nivel de significación de 0,1, ¿podemos rechazar la afirmación?
Ejercicio nº 7.-
El 15% de los empleados de una gran empresa se declara fumador. Después de llevar a cabo una campaña contra el tabaco durante un año, se quiso comprobar si ésta había sido efectiva. Se hizo una encuesta a 85 empleados elegidos al azar, obteniéndose que 11 de ellos seguían fumando. A un nivel de significación del 0,01, ¿podemos considerar que la proporción de fumadores no ha variado después de la campaña?
Ejercicio nº 8.-
Hemos realizado 300 lanzamientos con un dado, que sospechamos que está trucado, y hemos obtenido un seis en 71 ocasiones. Con un nivel de significación del 1%, contrasta la hipótesis de que la probabilidad de obtener seis no es mayor de 1/6.
Ejercicio nº 9.-
Hace un año, 3 de cada 10 familias de una determinada población realizaba sus compras habituales en hipermercados. En una encuesta realizada este año entre 105 familias de la localidad escogidas al azar, 34 de ellas afirman que compran habitualmente en hipermercados. Con un nivel de significación del 5%, contrasta la hipótesis de que el porcentaje no ha aumentado (es decir, que permanece igual o menor que el del año anterior).
Ejercicio nº 10.-
En las elecciones a la alcaldía de cierta localidad, que se celebraron hace un año, el partido que ganó obtuvo el 57% de los votos. Recientemente se ha realizado una encuesta, escogiendo al azar a 160 vecinos (mayores de 18 años), 88 de los cuales afirmaban que seguían a favor del alcalde. ¿Podemos considerar, a un nivel de significación de 0,01, que el alcalde no obtendría menor número de votos si se repitieran ahora las elecciones?
Ejercicio nº 11.-
Un laboratorio afirma haber encontrado un medicamento que reduce considerablemente los síntomas de cierta enfermedad en el 95% de los casos. Tras probarlo en una muestra aleatoria de 125 enfermos, 116 de ellos notaron mejoría. Realizado un contraste de hipótesis para ver si la afirmación del laboratorio era cierta,
en un nivel de significación del 1%, hemos aceptado que p 0,95. Explica, en el contexto del problema, en qué consisten cada uno de los errores del tipo I y II.
Ejercicio nº 12.-
En un contraste de hipótesis para comprobar si la media de edad de los asistentes a una exposición era de 20 años, hemos seleccionado una muestra aleatoria de 100 asistentes, obteniendo una media de 20,5 años. La zona de aceptación obtenida ha sido el intervalo (19,59; 20,41) y sabemos que la desviación típica es
2,1. Por tanto, hemos rechazado la hipótesis.
¿Cómo se llama la probabilidad de habernos equivocado es la decisión, es decir, de haber rechazado la hipótesis, cuando en realidad era cierta? ¿Influye el tamaño de la muestra en la probabilidad de cometer este tipo de error?
Ejercicio nº 13.-
La nota media en unas oposiciones celebradas el año pasado fue de 4,35 con una desviación típica de 2, puntos. Este año se han vuelto a convocar unas oposiciones similares. Con un nivel de significación de 0,01, y suponiendo que la desviación típica sigue siendo la misma, queremos contrastar la hipótesis de que la media no ha variado. Para ello, vamos a extraer una muestra aleatoria de 100 exámenes. Así, la zona de aceptación será el intervalo (3,71; 4,99). Si al final la media real fuera de 3 puntos y hubiéramos aceptado H 0 (siendo falsa), ¿qué tipo de error habríamos cometido? ¿Cómo influye el tamaño de la muestra en la probabilidad de cometer este tipo de error?
Soluciones Contrastes de hipótesis
Ejercicio nº 1.-
En un determinado instituto aseguran que las notas obtenidas por sus alumnos en las pruebas de acceso a la Universidad tienen una media igual o superior a 7 puntos. Pero la media obtenida en una muestra aleatoria de 80 alumnos en los últimos exámenes fue de 6,89 puntos. Si sabemos que la varianza es igual a 4,84, ¿podemos considerar, con un nivel de significación del 1%, que la afirmación hecha por el instituto es cierta?
Solución:
1 er^ paso: hipótesis:
Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : 7
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : < 7
2 o^ paso: zona de aceptación:
La zona de aceptación sería el intervalo:
Para un nivel de significación del 1%, tenemos que z 2,33.
Por otra parte, como la varianza es ^2 4,84, entonces, la desviación típica será
Así, el intervalo de aceptación será:
3 er^ paso: verificación:
4 o^ paso: decisión:
Como la media muestral queda dentro de la zona de aceptación, aceptamos H 0 ; es decir, aceptamos que la media es igual o superior a 7 puntos.
Ejercicio nº 2.-
En una determinada región, el número semanal de accidentes de tráfico producido durante el año pasado siguió una distribución normal de media 3,2 y desviación típica 1,3. Se ha llevado a cabo una campaña de prevención contra los accidentes de tráfico y la media semanal de accidentes en las 40 semanas siguientes ha sido de 3,05. Admitiendo que la desviación típica no ha variado, ¿podemos afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la campaña no ha tenido éxito (es decir, que el número de accidentes no ha disminuido con respecto al año anterior)?
n
z
, ; esdecir, 6 , 43 ; .
La mediamuestralobtenidaes x 6 , 89.
Solución:
1 er^ paso: hipótesis:
Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : 3,
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : < 3,
2 o^ paso: zona de aceptación:
La zona de aceptación sería el intervalo:
Para un nivel de significación del 5%, tenemos que z 1,645. Por tanto, el intervalo queda:
3 er^ paso: verificación:
4 o^ paso: decisión:
Como la media muestral obtenida queda dentro de la zona de aceptación, aceptamos H 0 ; es decir, no podemos considerar que el número de accidentes haya disminuido.
Ejercicio nº 3.-
Un fabricante garantiza a un laboratorio farmacéutico que sus máquinas producen comprimidos con un diámetro de 25 mm. Una muestra de 100 comprimidos dio como media de los diámetros 25,18 mm. Suponiendo que el diámetro de los comprimidos es una variable aleatoria con distribución normal, de desviación típica 0,89 mm, se desea contrastar, con un nivel de significación del 5%, si el diámetro medio que afirma el fabricante es correcto. Para ello:
a) Plantea la hipótesis nula y la hipótesis alternativa del contraste.
b) Realiza el contraste al nivel de significación indicado.
Solución:
a) Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : 25 mm
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : 25 mm
b) Si H 0 fuera cierta, puesto que el tamaño de la muestra es n 100 30 (y además, es una distribución normal;
luego no sería necesario que n 30), las medias muestrales se
n
z
^
, ; esdecir, 2 , 86 ; 40
La mediamuestralobtenidaes x 3 , 05.
3 er^ paso: verificación:
4 o^ paso: decisión:
Como la media muestral obtenida queda fuera del intervalo de aceptación, rechazamos H 0 ; es decir, no podemos dar por válido que el peso medio sea de 0,70 mg. Se deben retirar las dosis producidas.
Ejercicio nº 5.-
El concejal de cultura de una determinada localidad afirma que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvenes entre 15 y 30 años, residentes en dicha localidad, es, como mucho, de 8 horas semanales. Tomando una muestra aleatoria de 100 jóvenes entre 15 y 30 años, se obtuvo que la media de horas semanales que dedicaban a leer era de 8,3, con una desviación típica igual a 1. Con un nivel de significación del 5%, ¿podemos aceptar la afirmación del concejal?
Solución:
1 er^ paso: hipótesis:
Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : 8
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : > 8
2 o^ paso: zona de aceptación:
La zona de aceptación sería el intervalo:
Para un nivel de significación del 5%, tenemos que z 1,645. Por tanto, el intervalo es:
3 er^ paso: verificación:
4 o^ paso: decisión:
Como la media muestral obtenida queda fuera del intervalo de aceptación, rechazamos H 0 ; es decir, rechazamos que la afirmación del concejal sea cierta
Ejercicio nº 6.-
Se afirma que, en una determinada localidad, el 20% de las familias tienen dos o más hijos. Tomando una muestra aleatoria de 120 familias, había dos o más hijos en 22 de ellas. A un nivel de significación de 0,1, ¿podemos rechazar la afirmación?
Hemosobtenido unamediamuestral x 0 , 66 mg.
n
; 0 z ·
; esdecir, ; 8 , 16 .
La mediamuestralobtenidaes x 8 , 3.
Solución:
1 er^ paso: hipótesis:
Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : p 0,
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : p 0,
2 o^ paso: zona de aceptación:
El intervalo de aceptación sería:
Para un nivel de significación de 0,1, tenemos que z /2 1,645. El intervalo será:
3 er^ paso: verificación:
4 o^ paso: decisión:
Como la proporción muestral queda dentro de la zona de aceptación, aceptamos H 0 ; es decir, no podemos rechazar que el porcentaje sea del 20%.
Ejercicio nº 7.-
El 15% de los empleados de una gran empresa se declara fumador. Después de llevar a cabo una campaña contra el tabaco durante un año, se quiso comprobar si ésta había sido efectiva. Se hizo una encuesta a 85 empleados elegidos al azar, obteniéndose que 11 de ellos seguían fumando. A un nivel de significación del 0,01, ¿podemos considerar que la proporción de fumadores no ha variado después de la campaña?
Solución:
1 er^ paso: hipótesis:
Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : p 0,
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : p 0,
2 o^ paso: zona de aceptación:
El intervalo de aceptación sería:
n
pq p z n
pq p (^) 0 z / 2 ·^00 , 0 / 2 ·^00
; esdecir, 0 , 14 ; 0 , 26 .
La proporciónobtenidaenlamuestraes pr
4 o^ paso: decisión:
Como la proporción muestral no está dentro de la zona de aceptación, rechazamos H 0 ; es decir, admitimos que la probabilidad de obtener un seis con ese dado es mayor de 1/6.
Ejercicio nº 9.-
Hace un año, 3 de cada 10 familias de una determinada población realizaba sus compras habituales en hipermercados. En una encuesta realizada este año entre 105 familias de la localidad escogidas al azar, 34 de ellas afirman que compran habitualmente en hipermercados. Con un nivel de significación del 5%, contrasta la hipótesis de que el porcentaje no ha aumentado (es decir, que permanece igual o menor que el del año anterior).
Solución:
1 er^ paso: hipótesis:
Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : p 0,
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : p > 0,
2 o^ paso: zona de aceptación:
El intervalo de aceptación sería:
Para un nivel de significación del 5%, tenemos que z /2 1,645. El intervalo será:
3 er^ paso: verificación:
4 o^ paso: decisión:
Como la proporción muestral queda dentro de la zona de aceptación, no podemos rechazar H 0 ; es decir, aceptamos que no ha aumentado.
Ejercicio nº 10.-
En las elecciones a la alcaldía de cierta localidad, que se celebraron hace un año, el partido que ganó obtuvo el 57% de los votos. Recientemente se ha realizado una encuesta, escogiendo al azar a 160 vecinos (mayores de 18 años), 88 de los cuales afirmaban que seguían a favor del alcalde. ¿Podemos considerar, a un nivel de significación de 0,01, que el alcalde no obtendría menor número de votos si se repitieran ahora las elecciones?
La proporciónobtenidaenlamuestraes pr
n
pq , p (^) 0 z / 2 ·^00
; esdecir, ; 0 , 37 .
La proporciónobtenidaenlamuestraes pr
Solución:
1 er^ paso: hipótesis:
Queremos contrastar la hipótesis nula:
H 0 : p 0,
frente a la hipótesis alternativa:
H 1 : p < 0,
2 o^ paso: zona de aceptación:
El intervalo de aceptación será:
Para un nivel de significación de 0,01, tenemos que z /2 2,33. Por tanto, el intervalo será:
3 er^ paso: verificación:
4 o^ paso: decisión:
Como la proporción muestral está dentro de la zona de aceptación, no podemos rechazar H 0 ; aceptamos que la proporción sería igual o mayor que 0,57.
Ejercicio nº 11.-
Un laboratorio afirma haber encontrado un medicamento que reduce considerablemente los síntomas de cierta enfermedad en el 95% de los casos. Tras probarlo en una muestra aleatoria de 125 enfermos, 116 de ellos notaron mejoría. Realizado un contraste de hipótesis para ver si la afirmación del laboratorio era cierta,
en un nivel de significación del 1%, hemos aceptado que p 0,95. Explica, en el contexto del problema, en qué consisten cada uno de los errores del tipo I y II.
Solución:
El error de tipo I consiste en rechazar H 0 , siendo cierta. La probabilidad de cometerlo es . En este caso concreto, lo hubiéramos cometido si hubiéramos obtenido una muestra que nos hubiera llevado a rechazar H 0 , siendo cierta.
El error de tipo II consiste en aceptar H 0 , siendo falsa. En este caso concreto consistirá en aceptar que el porcentaje era del 95%, siendo falso.
Ejercicio nº 12.-
En un contraste de hipótesis para comprobar si la media de edad de los asistentes a una exposición era de 20 años, hemos seleccionado una muestra aleatoria de 100 asistentes, obteniendo una media de 20,5 años.
La zona de aceptación obtenida ha sido el intervalo (19,59; 20,41) y sabemos que la desviación típica es 2,1. Por tanto, hemos rechazado la hipótesis.
0 ^ / 2 ·^00 ;
n
pq p z
; ; esdecir, 0 , 48 ; .
La proporciónobtenidaenlamuestraes pr
