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DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA
Estadística II
Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Marketing e Investigación de Mercados Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho
Relación de Ejercicios del Bloque I: Muestreo y estimación
1) Se va a realizar un estudio de muestreo para estimar el gasto medio por alumno en las universidades españolas, a partir del siguiente listado alfabético por Comunidades Autónomas en el que se indica si son privadas o de la Iglesia: Andalucía 1 Universidad de Almería 2 Universidad de Cádiz 3 Universidad de Córdoba 4 Universidad de Granada 5 Universidad de Huelva 6 Univ. Internacional de And. 7 Universidad de Jaén 8 Universidad de Málaga 9 Universidad Pablo de Olavide 10 Universidad de Sevilla Aragón 11 Universidad de Zaragoza 12 Universidad San Jorge () Canarias 13 Universidad de La Laguna 14 Univ. de LPGC Cantabria 15 Universidad de Cantabria 16 UIMP Castilla la Mancha 17 Univ. de Castilla La Mancha Castilla y León 18 Universidad de Burgos 19 Univ. Católica de Ávila (+) 20 Eur. Miguel de Cervantes () 21 IE Universidad (*) 22 Universidad de León 23 Pontificia de Salamanca (+) 24 Universidad de Salamanca 25 Universidad de Valladolid
Cataluña 26 Universitat Abat Oliba CEU 27 Autónoma de Barcelona 28 Universitat de Barcelona 29 Universitat de Girona 30 Univ. Intern. de Catalunya() 31 Universitat de Lleida 32 Oberta de Catalunya () 33 Politécnica de Catalunya 34 Universitat Pompeu Fabra 35 Universitat Ramon Llull () 36 Universitat Rovira i Virgili 37 Universitat de Vic () Comunidad de Madrid 38 Univ. Alfonso X El Sabio () 39 Universidad de Alcalá 40 Univ. Antonio de Nebrija () 41 Univ. Autónoma de Madrid 42 Univ. Camilo José Cela () 43 Univ. Carlos III 44 Univ. Complutense 45 Univ. a Distancia de Madrid 46 Univ. Europea de Madrid () 47 Univ. Francisco de Vitoria() 48 UNED 49 Univ. Politécnica de Madrid 50 Pontificia de Comillas (+) 51 Universidad Rey Juan Carlos 52 Univ. de San Pablo-CEU () Comunidad Foral de Navarra 53 Universidad de Navarra (+) 54 Univ. Pública de Navarra
Comunitat Valenciana 55 Universidad de Alicante 56 Universitat Jaume I 57 Univ. Miguel Hernández 58 Politècnica de València 59 Universitat de València 60 Cardenal Herrera-CEU () 61 Univ. "S. Vicente Mártir" (+) Extremadura 62 Universidad de Extremadura Galicia 63 Universidade da Coruña 64 De Santiago de Compostela 65 Universidad de Vigo Islas Balears 66 Univ. de Les Illes Balears La Rioja 67 Universidad de La Rioja País Vasco 68 Mondragon Unibertsitatea () 69 Universidad de Deusto (+) 70 Universidad del País Vasco Principado de Asturias 71 Universidad de Oviedo Región de Murcia 72 Politécnica de Cartagena 73 Católica de San Antonio (+) 74 Universidad de Murcia () Universidad privada (+) Universidad de la Iglesia*
a) Para llevar a cabo un muestreo aleatorio simple se generan los siguientes números aleatorios: 2, 25, 47, 13, 72, 28, 61, 22, 11, 18. ¿Qué universidades formarán parte de la muestra? b) Suponga que se opta por un muestreo sistemático en el que se van a seleccionar 1 de cada 7 universidades. Si aleatoriamente se elige el 5 como elemento de arranque, ¿qué centros conformarán la muestra? c) Teniendo en cuenta que el gasto por alumno difiere entre universidades públicas, privadas y de la Iglesia, ¿qué otro tipo de muestreo aleatorio resultaría más adecuado? Suponiendo una afijación proporcional, ¿cuántos cuestionarios corresponderían a cada grupo de universidades? (Solución: c) 8 públicas, 3 privadas y 1 de la Iglesia).
2) Si admitimos que los días desde que se emite una factura hasta que esta se paga se distribuyen normalmente con media 16 y desviación estándar 5, ¿cuál sería la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 16 facturas la media fuera inferior a 18 días? (Solución: 0,9452)
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3) La renta anual de las familias de un determinado país, expresada en miles de €, se distribuye normalmente, con media 55 y desviación típica 2. Calcule: a) La probabilidad de que, seleccionada una muestra aleatoria simple de 16 familias, la renta media anual esté comprendida entre 54.000 y 55.000 €. b) La probabilidad de que la suma de la rentas de las 16 familias supere los 900.000 €. (Solución: a) 0,4772; b) 0,0062).
4) Las notas de los alumnos en un examen son una variable aleatoria X con distribución normal de media
- Determine la probabilidad de que la media muestral de las notas de 4 alumnos seleccionados aleatoriamente, cuya cuasivarianza muestral es igual a 4, sea superior a 7. (Solución: 0,05).
5) Se sabe que el 8% de los cartuchos de tinta producidos por una conocida marca de la rama informática son defectuosos. Calcule la probabilidad de que entre 150 cartuchos seleccionados al azar: a) Haya más del 10% defectuoso. b) Haya menos de 6 defectuosos. c) La proporción muestral de cartuchos defectuosos sea superior a la poblacional. (Solución: a) 0,1841; b) 0,0351; c) 0,5).
6) Sea X 1 , X 2 , X 3 una muestra aleatoria simple de una población normal de media μ y desviación típica
- Dados los siguientes estimadores de μ : ( ) 3
μˆ 1 1 ^ X 1^ X 2 X 3 2 1 2 4 3
μˆ 1 X X X 3 1 2 2
μˆ ^1 X X
a) Estudie la insesgadez de estos estimadores. b) ¿Cuál de estos estimadores es más eficiente en términos relativos? c) Calcule el error cuadrático medio de cada estimador y elija el preferido bajo este critero. (Solución: a) ˆ 1 y ˆ 3 insesgados; sesgo 12 (μ ˆ )^ 2 ;^ b)^ El^ primero^ (insesgado^ y^ Var^ (^ ˆ^1 )^ ^16 ,^333 );
c) (^) ECM 245 12
ECM 16333 ECM (^207572)
2 ( ˆ 1 ) , ; (ˆ 2 ) , ; (ˆ 3 ) , ).
7) En una población se estudia una variable que sigue una distribución Uniforme U[a=0,b]. Se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño n=3 y se proponen el siguiente estimador para el parámetro b:
b ˆ^ ^2 X X X
a) Estudie la insegadez del estimador, proporcionando el sesgo en caso de que exista. b) Calcule el error cuadrático medio. Indique la utilidad del error cuadrático medio.
(Solución: a) b ˆ es insesgado; b)
2 ( )ˆ 9 ECM b ^ b ).
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12) Un torno fabrica tornillos cuya longitud oscila aleatoriamente entre dos valores, a y b. Suponiendo que la longitud de los mismos se ajusta a una variable aleatoria uniforme, estime los parámetros a y b haciendo uso del método de los momentos y a partir de los siguientes datos muestrales: 10,20 10,22 10,10 10, (Solución: a ˆ (^) MM 10 , 08 ; b ˆ MM 10 , 25 ).
13) Sea X una población con distribución Exponencial. Estime el parámetro β mediante el método de máxima verosimilitud.
(Solución: ˆ MV^ X).
14) Un proceso industrial produce paquetes de azúcar. El peso de estos paquetes sigue una distribución normal con desviación típica 15 gramos. Se selecciona una muestra aleatoria de 25 paquetes y se obtiene un peso medio de 1.000 gramos. a) Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para el peso medio de todos los paquetes de azúcar producidos en el proceso. b) Calcule el correspondiente error de estimación. c) ¿Qué tamaño de muestra sería necesario si queremos mantener el nivel de confianza pero reducir el error de estimación hasta los 5 gramos?
(Solución: a) (994,12, 1005,88); b) 5 , 88 ; c) 35 ).
15) El retraso de los vuelos de una determinada compañía aérea sigue una distribución normal. Esta compañía asegura que el retraso medio de sus vuelos es de 10 minutos, con una desviación estándar de 5 minutos. Para contrastar esta información, se selecciona una muestra aleatoria de 35 vuelos, obteniéndose un retraso medio de 22 minutos y una desviación estándar de 7 minutos. En base a esta información: a) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el retraso medio de los vuelos suponiendo que la varianza poblacional aportada por la compañía es correcta. b) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el retraso medio de los vuelos suponiendo que la varianza poblacional es desconocida. c) Extraiga conclusiones a la luz de los resultados obtenidos. (Solución: a) (20,3434, 23,6565); b) (19,563, 24,4370)).
16) La producción diaria de una empresa sigue una distribución normal con varianza igual a 7.600. Se piensa que la dispersión de la producción es demasiado elevada, por lo que se introduce una modificación en el proceso de producción con el fin de reducirla. Para evaluar la eficacia de esta medida, se ha tomado una muestra aleatoria de la producción de 26 días, obteniéndose una producción media de 930 y una cuasivarianza de 3.224. Obtenga un intervalo de confianza del 98% para la nueva varianza y extraiga conclusiones. (Solución: (1.817,7718, 7.002,6064)).
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17) Una empresa selecciona de forma aleatoria a 12 agentes de ventas que han realizado un curso de formación diseñado para incrementar su productividad. Las ventas medias de estos agentes a lo largo del pasado mes ascendieron a 32.000 €, con una desviación típica de 2.800 €. Durante el mismo período, las ventas medias de una muestra aleatoria de 15 agentes que no habían asistido al citado curso fueron de 20.360 €, y la desviación típica de 2.000 €. Suponiendo que las dos poblaciones son normales e independientes y tienen la misma varianza, obtenga un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias y valore la utilidad del curso de formación. (Solución: (9.659,3124, 13.620,6876)).
18) Un fabricante X de aire acondicionado desea conocer su cuota de mercado en dos provincias españolas A y B. Con este fin, encarga a una empresa un sondeo que le permita estimar dichos valores (PA y PB). Se pide: a) Halle el tamaño mínimo que deben tener las muestras seleccionadas en cada provincia, para obtener intervalos de confianza al 95% con un error máximo de 2 %. b) Construya intervalos de confianza al 95% para las proporciones de clientes de cada una de las provincias, sabiendo que según los sondeos, 300 hogares de la provincia A y 400 de B afirmaron que poseían aparatos del fabricante X. c) Obtenga el intervalo de confianza al 99% para la diferencia de cuotas de mercado. Nota: en todo el ejercicio se trabaja con los tamaños muestrales obtenidos en el primer apartado. (Solución: a) 2.401; b) (0,1117, 0,1381); (0,1517, 0,1815); c) (-0,0679, -0,0155)).
19) Una empresa de ámbito nacional va a realizar una investigación acerca del número de horas diarias que sus 500 empleados trabajan con el ordenador. Esta variable sigue una distribución normal. Se toma una muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtiene una media de 5’5 horas y una desviación estándar corregida de 1 hora. Con esta información: a) Estime un intervalo de confianza del 95% para el número medio de horas diarias que los empleados trabajan con el ordenador. b) Si el margen de error permitido hubiera sido de 1 hora ¿qué nivel de confianza se tendría en la estimación? c) Por estudios similares, se sabe que la varianza del tiempo de trabajo con el ordenador es de 1’ horas 2. ¿Qué tamaño muestral es necesario para estimar la media si se fija un error de media hora y un nivel de confianza del 95%? (Solución: a) (4,8864, 6,1136); b) 99,86%; c) 23).
20) Para dar respuesta a la demanda ciudadana y paliar los problemas de tráfico, el Ayuntamiento de un determinado municipio se plantea la posibilidad de construir un aparcamiento subterráneo en un barrio con 3.000 habitantes. Previamente, decide llevar a cabo un estudio de mercado mediante muestreo aleatorio simple entre los residentes de dicha zona.
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Ejercicios Complementarios
22) Un ascensor tiene como límite de carga 320 kg. Los pesos de los posibles usuarios del mismo se distribuyen normalmente con media 75 kg y desviación típica 18 kg. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de cuatro personas elegidas de forma aleatoria e independiente supere dicho límite? b) ¿Cuál es el peso máximo que debería poder soportar el ascensor si se quiere que sólo en el 1% de las ocasiones la suma de los cuatro pesos supere ese peso máximo? (Solución: a) 0,2877; b) 383,88)
23) Suponga que la proporción de artículos defectuosos producidos en una fábrica es de 0,1. ¿Cuál es el número más pequeño de tales artículos que habría que seleccionar si queremos que la proporción de artículos defectuosos en la muestra sea inferior a 0,13 con una probabilidad de 0,99? (Solución: 543).
24) Dos empresas multinacionales A y B difieren en el porcentaje de trabajadores de género femenino, de manera que la primera cuenta con un 40% de mujeres y la segunda sólo con un 27%. Seleccionados aleatoriamente dos grupos de 150 y 100 trabajadores, respectivamente, para recibir un curso de formación ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de mujeres en la empresa A supere a la de B en más de 0,20 puntos? (Solución: 0,121)
25) De una población normal N ( , )se selecciona una muestra aleatoria de tamaño 2 y se utiliza como
estimador de la media el siguiente estadístico. ¿Es insesgado? Si no lo es, determine el sesgo. 1 7 X 2 X^5 7 μˆ^4
(Solución: sesgo= 7
26) Para estimar μ en una población Normal con desviación típica 1, se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 3 y, se considera el siguiente estimador para μ:
1 1 2 2 X 3 X^1 8 X^3 8 T ^1
Tomando como criterio el Error Cuadrático Medio, elija el óptimo entre T 1 y otro estimador (T 2 ) cuyo error cuadrático medio es 8
. Razone su respuesta.
(Solución: (^) ( (^) 1 ) ; T 2 óptimoporque ECM ( T 2 ) ECM ( T 1 ) 32 ECM T ^13 ).
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27) Dada una variable aleatoria X con media μ y varianza σ^2 se proponen los siguientes estimadores para la media:
1 2 1 2 μˆ 1 μˆ 1 ( ... ) (^) n X (^) n X X Xn
a) Estudie la insesgadez de estos estimadores. b) Defina el error cuadrático medio de un estimador, calcúlelo para cada uno de los estimadores propuestos y elija el preferido bajo este criterio.
(Solución: a) esinsesgado n Sesgo 1 ( ˆ 1 ) ; ˆ 2 ; b) (^) n ECM n
n
ECM
2 2 2
2 1 ( ˆ ) ; (ˆ )^ ; elegimos ˆ 2^ ).
28) Se extrae una muestra de 4 observaciones para estimar el parámetro β de una población exponencial
y se define el siguiente estimador: 1 1 1 2 1 3 4
T X X X X.
a) Obtenga el error cuadrático medio de dicho estimador y explique si, según este criterio, sería más adecuado que la media muestral.
b) Compruebe si el estimador T 1 es eficiente (NOTA: La cota de Cramér-Rao es
2 n
(Solución: a) 1 2 18 ECM ( T )^5 ; sería preferible la media muestral dado que^ ECM X 4 ^2 ( ) ; b) No, porque la varianza no alcanza la Cota de Cramer-Rao).
29) Para estudiar el consumo de gasolina de un nuevo modelo de coche, se selecciona una muestra aleatoria de 20 vehículos y se obtiene un consumo medio cada 100 Km recorridos de 9,74 litros y una desviación típica de 0,8 litros. Calcule un intervalo de confianza del 90% para el consumo de gasolina medio de los automóviles de ese modelo, suponiendo que la distribución de la población es normal. (Solución: (9,4227, 10,0573)).
30) A partir de dos muestras aleatorias simples de establecimientos comerciales de Málaga y Sevilla se obtiene la siguiente información acerca de las ventas mensuales de un producto a lo largo del pasado año (en miles de euros). Provincia Media Varianza Tamaño muestral Málaga 3.500 1.100 102 Sevilla 4.200 1.400 100 a) Obtenga el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de ventas medias entre ambas provincias. ¿En qué provincia se obtienen mayores ventas por término medio? b) Obtenga el intervalo de confianza para la varianza poblacional de las ventas en Málaga, con un nivel de confianza del 95%. (Solución: a) (-709,85, -690,15); b) (866,01, 1.511,72); los supuestos de partida son que las dos poblaciones son normales, independientes y de igual varianza).
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35) Se pretende conocer la renta anual de un colectivo de 100 familias. Para ello se extrae una muestra aleatoria simple con los siguientes resultados expresados en miles de euros:
13,2 15,4 20,2 7,05 18,12 16 19 12,5 11 8,
Suponiendo normalidad, estime con una confianza del 95%: a) La media poblacional por puntos y mediante un intervalo de confianza. Cuantifique el correspondiente error de estimación. b) Determine el tamaño muestral para estimar la media con un error de 0,3 unidades supuesta una varianza poblacional de 2. (Solución: a) Por puntos: 14,117; intervalo: (11,5276, 16,7064); error de estimación: ±2,5894; b) 47).
36) Un colegio en el que están matriculados 800 alumnos se plantea ofrecer servicio de comedor para el próximo curso, pero sólo estaría dispuesto a hacerlo si una cuarta parte de sus alumnos solicitara dicho servicio. Para estudiar el proyecto, se selecciona una muestra aleatoria de 50 estudiantes, de los cuales 20 indican que utilizarían el comedor escolar. Con estos datos: a) Construya un intervalo de confianza del 95% para estimar la proporción de alumnos del colegio interesados en el comedor. Según el resultado obtenido, ¿se ofertará dicho servicio? b) Calcule el correspondiente error de estimación. c) Si se quisiera estimar dicha proporción con un error máximo de 0,05 y un nivel de confianza del 98% ¿cuántos alumnos deberían seleccionarse en la muestra? (Solución: a) (0,2672, 0,5328); sí; b) ± 0,1328; c) 324).
37) Una compañía decide analizar los hábitos de ahorro semestrales de sus 360 empleados, para lo cual lleva a cabo un estudio de muestreo estratificado con asignación proporcional. De los 40 empleados seleccionados al azar, 20 son obreros, 10 administrativos y otros 10 ejecutivos, para los que se obtienen los siguientes resultados.
Obreros Administrativos Ejecutivos Media 100 € 140 € 320 € Cuasivarianza 16.000 € 2 49.000 € 2 400.000 € 2
Suponiendo normalidad, estime el ahorro medio de todos los empleados por puntos y mediante un intervalo del 95% de confianza, indicando el error de estimación.
(Solución: Por puntos: 165; por intervalo: (63,6807, 266,3193); error: ±101,3193).
