Estadistica para dummies 2, Diapositivas de Estadística

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Probabilidad

Estadística

Carlos Gaviria & Carlos Márquez?

?Universidad de San Buenaventura, Departamento de Ciencias Básicas

10 de Septiembre de 2020

Probabilidad Condicional

Definición. Independencia. Sea (Ω, S, P) un espacio de probabilidad. Dos eventos A ∈ S y B ∈ S son independientes si y solo si:

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Teorema. Sean (Ω, S, P) un espacio de probabilidad y A, B ∈ S. Si A y B son independientes entonces P(A|B) = P(A) siempre que P(B) > 0 y P(B|A) = P(B) siempre que P(A) > 0.

Teorema.

Sean (Ω, S, P) un espacio de probabilidad y A, B ∈ S. Si A y B son independientes, entonces A ′

y B

′ son independientes, A

′ y B son independientes y A y B

′ son independientes.

Probabilidad Condicional

Ejemplo 2. Los componentes enviados a un distribuidor son revisados en cuanto a defectos por dos inspec- tores diferentes (cada componente es revisado por ambos inspectores). El primero detecta 90 % de todos los defectuosos que están presentes y el segundo hace lo mismo. Por lo menos un ins- pector no detecta un defecto en 20 % de todos los componentes defectuosos. Sean A : Evento formado por componentes defectuosos que son detectados por el primer inspector, B : Evento formado por componentes defectuosos que son detectados por el segundo inspector. Se tiene que P(A) = 90 %, P(B) = 90 % y P(A ′ ∪ B ′ ) = 20 %, luego P(A ∩ B) = 80 %. De esta manera, la probabilidad de que un componente defectuoso sea detectado solamente por el primer inspector está dada por P(A ∩ B ′ ) = 10 %. Además, la probabilidad de que un componente defectuoso sea detectado por exactamente uno de los dos inspectores es P(A ∩ B

′ ) + P(A

′ ∩ B) = 20 %. Por último, la probabilidad de que dos componentes defectuosos en un lote no sean detectados por ambos inspectores, suponiendo que las inspecciones de los componentes son independientes una de la otra, está dada por:

P((A

′ ∩ B

′ ) ∩ (A

′ ∩ B

′ )) = P(A

′ ∩ B

′ )P(A

′ ∩ B

′ ) = 0 × 0 = 0.

Probabilidad Condicional

Definición. Independencia. Sea (Ω, S, P) un espacio de probabilidad. los eventos A 1 ∈ S, A 2 ∈ S, · · · , An ∈ S son inde- pendientes si y solo si para todo conjunto de índices i 1 , i 2 , · · · , ik sobre el conjunto de índices i = 1 , 2 , · · · , n se verifica:

P(Ai 1 ∩ Ai 2 ∩ · · · Aik ) = P(Ai 1 )P(Ai 2 ) · · · P(Aik ).

Probabilidad Condicional

Ejemplo 3. Considere el experimento aleatorio que consiste en determinar si un calificador de un punto de un examen de opciones múltiples se equivoca o no se equivoca. Sea A : Evento formado por resultados de Ω tales que el calificador se equivoca. Se sabe que la probabilidad de que un califi- cador se equivoque al marcar cualquier pregunta particular de un examen de opciones múltiples es de 0.1. Suponga que existen diez preguntas y éstas se marcan en forma independiente.

Ejercicio. (^1) Calcule la probabilidad de que no se cometan errores. (^2) Calcule la probabilidad de que por lo menos se cometa un error. (^3) Ahora, si existen n preguntas y la probabilidad de un error de marcado es p en lugar de 0.1, entonces calcule la probabilidad de que no se cometan errores.