Estadistica para dummies 4, Diapositivas de Estática

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Estadística

Carlos Gaviria & Carlos Márquez?

?Universidad de San Buenaventura, Departamento de Ciencias Básicas

20 de agosto de 2020

Relaciones y Funciones

Definición. Par Ordenado. Sean a y b dos objetos dados. El par ordenado formado por a y b que se denota por (a, b) es el conjunto definido a continuación:

(a, b) = {{a}, {a, b}}

Ejemplo 1. Se tiene que: (^1) {{ 1 }, { 1 , 3 }} = ( 1 , 3 ) (^2) {{ 3 }, { 1 , 3 }} = ( 3 , 1 ) (^3) {{x}} = {{x}, {x}} = {{x}, {x, x}} = (x, x) (^4) {{?}, {∗, ?}} = (?, ∗)

Relaciones y Funciones

Ejemplo 3. Sean A = N y B = { 0 }. Como el conjunto de los números naturales N es infinito entonces los conjuntos N × { 0 } y { 0 } × N también son infinitos, por lo tanto, ambos conjuntos deben escribirse por comprensión. (^1) N × { 0 } = {(x, 0 ) : x ∈ N}. (^2) { 0 } × N = {( 0 , y) : y ∈ N}.

Relaciones y Funciones

Ejemplo 4. Sean A = [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} y B = [c, d] = {x ∈ R : c ≤ x ≤ d}, dos intervalos en el conjunto de los números reales R, entonces:

[a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R × R : a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d}.

Geométricamente los conjuntos [a, b] y [c, d] representan segmentos de recta y el conjunto [a, b] × [c, d] representa un rectángulo o caja en el plano.

Figura 1: Segmento de recta y Rectángulo en el plano.

Relaciones y Funciones

Definición. Gráfica Sea G un conjunto. El conjunto G es una gráfica si y solo si es un conjunto de pares ordenados. En símbolos: G es una gráfica ⇔ [∀g][g ∈ G ⇒ [∃x][∃y](g = (x, y))]

Ejemplo 6. (^1) El conjunto G 1 = {(#, ), (y, ), (, )} es una gráfica. (^2) El conjunto G 2 = {(Manuela, Camilo)} es una gráfica. (^3) El conjunto G 3 = {(x, y) ∈ N × N : y es el cuadrado de x}.

Relaciones y Funciones

Definición. Proyecciones. Sea G una gráfica. La primera proyección de la gráfica G que se denota por Pr 1 (G) es el conjunto de primeras componentes de G y la segunda proyección de G, que se denota por Pr 2 (G), es el conjunto de segundas componentes de G.

Ejemplo 7. Con relación al ejemplo 1 se tiene que: (^1) Pr 1 (G 1 ) = {#, y, } y Pr 2 (G 1 ) = {, , }. (^2) Pr 1 (G 2 ) = {Manuela} y Pr 2 (G 2 ) = {Camilo}. (^3) Pr 1 (G 3 ) = N y Pr 2 (G 3 ) = {y : y tiene raíz exacta en N}.

Relaciones y Funciones

Observación. Sean A y B conjuntos arbitrarios. (^1) Comúnmente, por abuso del lenguaje, se dice que una relación de A en B es el conjunto R de la tripleta (R, A, B). (^2) Se dice R es la gráfica de la relación (R, A, B). (^3) El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida de la relación (R, A, B) y el conjunto B recibe el nombre de conjunto de llegada de la relación (R, A, B). (^4) El dominio de la relación (R, A, B) es el conjunto Pr 1 (R) y el rango de la relación (R, A, B) es el conjunto Pr 2 (R). Por abuso del lenguaje se escribe:

Dom(R) = Pr 1 (R), Ran(R) = Pr 2 (R) (^5) Si (x, y) ∈ R entonces se escribe xRy y se lee x está relacionado con y mediante la relación (R, A, B). También es usual escribir y = R(x) siempre que se verifique que (x, y) ∈ R.

Relaciones y Funciones

Ejemplo 8. Sean A = {Maria, Mónica, Manuela, Camila, Carolina} y B = {Felipe, Miguel}. Considere la gráfica definida por: R es el conjunto formado por (x, y) ∈ A × B tales que x es novia de y y x comienza por la letra C, esto es, R es la gráfica: R = {(Camila, Felipe), (Camila, Miguel), (Carolina, Miguel), (Carolina, Felipe)}. Se tiene que: (^1) Pr 1 (R) = {Camila, Carolina} y Pr 2 (R) = {Felipe, Miguel}. (^2) Pr 1 (R) ⊆ A y Pr 2 (R) ⊆ B. (^3) La tripleta (R, A, B) es una relación de A en B. (^4) El conjunto de partida de la relación (R, A, B) es A y el conjunto de llegada es B. (^5) Dom(R) = {Camila, Carolina} y Ran(R) = {Felipe, Miguel}.

Relaciones y Funciones

Definición. Función. Sean A y B conjuntos cualquiera. Una función de A en B es una tripleta f = (F, A, B) tal que: (^1) F es una gráfica tal que Pr 1 (F) ⊆ A y Pr 2 (F) ⊆ B. (^2) Para todo x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ F. (^3) Para todo x ∈ A, para todo y, z ∈ B; si (x, y) ∈ F y (x, z) ∈ F entonces y = z.

Relaciones y Funciones

Observación A partir de la definición de función se tiene que: (^1) La definición de función puede verse como sigue: sean A y B conjuntos cualquiera, una función de A en B es una tripleta f = (F, A, B) tal que: 1 La tripleta f = (F, A, B), es una relación de A en B. 2 Todo elemento del conjunto A, como mínimo tiene una imagen bajo F en el conjunto B. 3 Todo elemento del conjunto A, tiene máximo una imagen bajo F en el conjunto B. (^2) El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida, conjunto de preimágenes o dominio de la función f y se denota por Dom(f ) = A. (^3) El conjunto B recibe el nombre de conjunto de llegada, conjunto de imágenes o condominio y se denota por Cod(f ) = B. (^4) El rango de la función f que se denota por Ran(f ), es el conjunto formado por todos los ele- mentos del conjunto B que tiene preimagen, esto es, el rango de la función f es el conjunto Ran(f ) = {y ∈ B : [∃x ∈ A][(x, y) ∈ F]}. (^5) Claramente Ran(f ) ⊆ Cod(f ). (^6) Si f es una función de A en B, suele abreviarse por f : A → B. (^7) Si f es una función de A en B y (x, y) ∈ F, entonces se escribe f (x) = y.

Relaciones y Funciones.

Ejemplo 11. Comúnmente se toman como verdaderas las siguientes proposiciones: (^1) y = x^2 es una función. (^2) x^2 + y^2 = 1 es una relación, no es una función. Sin embargo, siendo estrictos con la definición de función, tanto y = x^2 como x^2 + y^2 = 1 no son funciones , simplemente son expresiones algebraicas. A continuación se aclara esta última idea.

Relaciones y Funciones. Ejemplo 11.

(^1) Considere los conjuntos A = N, B = N y la gráfica F dada por:

F = {(x, y) ∈ N × N : y = x^2 + 1 }.

1 Claramente F ⊆ A × B. 2 Si x ∈ N entonces x^2 ∈ N y se tiene que x^2 + 1 ∈ N; por lo tanto todo número natural tiene imagen en el conjunto de los números naturales bajo F. 3 La imagen de x ∈ N es única. Por 1, 2 y 3, la tripleta f = (F, N, N) es una función de N en N.

Figura 2: Gráfica de f , donde F = {(x, y) ∈ N × N : y = x^2 + 1 }.

Relaciones y Funciones. Ejemplo 11.

(^3) Considere los conjuntos A = Q, B = N y la gráfica H dada por:

H = {(x, y) ∈ Q × N : y = x^2 + 1 }.

Se tiene que: 1 Claramente H ⊆ A × B. 2 Si x ∈ Q entonces x^2 ∈ Q y Q 6 = N, por lo tanto, no todo número racional tiene imagen en N. Por ejemplo, la imagen de 12 según y = x^2 + 1 es 54 y 54 ∈/ N 3 Se tiene que la imagen de x ∈ Q es única, en caso de existir. Como la condición 2 de la definición no se satisface, entonces la tripleta g = (H, Q, N) no es una función de Q en N. Con esto se verifica nuevamente que la regla de asignación y = x^2 + 1 sin un dominio y un condominio adecuados, no es función, simplemente es una expresión algebraica.

Relaciones y Funciones. Ejemplo 11.

(^4) Considere los conjuntos A = R, B = R y la gráfica F dada por:

F = {(x, y) ∈ R × R : y = x^2 + 1 }.

1 Claramente F ⊆ A × B. 2 Si x ∈ R entonces x^2 ∈ R y x^2 + 1 ∈ R, por lo tanto, todo número real tiene imagen en R. 3 Se tiene que la imagen de x ∈ R es única. Por 1, 2 y 3 se tiene que f = (F, R, R) es una función de R en R.

Figura 4: Gráfica de f , donde G = {(x, y) ∈ R × R : y = x^2 + 1 }.