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TEMA 2: PROBABILIDAD
2.1 Espacios muestrales y eventos
Un experimento es cualquier acción o proceso cuyo resultado está sujeto a la incertidumbre. Aunque la palabra experimento en general sugiere una situación de prueba cuidadosamente controlada en un laboratorio, se le utiliza aquí en un sentido mucho más amplio.
- El espacio muestral de un experimento denotado por Ω, es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.
El experimento más simple al que se aplica la probabilidad es uno con dos posibles resultados. Tal experimento consiste en examinar un fusible para ver si está defectuoso. El espacio muestral de este experimento se abrevia como Ω= { N, D }, donde N representa no defectuoso, D representa defectuoso y las llaves se utilizan para encerrar los elementos de un conjunto.
Si se examinan tres fusibles en secuencia y se anota el resultado de cada examen, entonces un resultado del experimento es cualquier secuencia de letras N y D de longitud 3, por lo tanto:
Ω= {NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}
EVENTOS
En el estudio de la probabilidad, interesan no solo los resultados individuales de Ω sino también varias recopilaciones de resultados Ω.
- Un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el espacio muestral Ω. Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado y compuesto si consiste en más de un resultado.
Cuando se realiza un experimento, se dice que ocurre un evento particular A si el resultado experimental obtenido está contenido en A. en general, ocurrirá exactamente un evento simple, pero muchos eventos compuesto ocurrirán al mismo tiempo.
Considérese un experimento en el cual uno de los tres vehículos que toman una salida de una autopista particular vira a la izquierda (L) o a la derecha ® al final de la rampa de salida. Los ocho posibles resultados que constituye el espacio muestral son LLL, RLL, LRL, LLR, LRR, RLR, RRL y RRR. Así pues, existen ocho eventos simples, entre los cuales están E (^) 1= {LLL} y E5= {LRR}. Algunos eventos compuestos incluyen:
A= {RLL, LRL, LLR} = el evento en que exactamente uno de los tres vehículos vire a la derecha
B= {LLL, RLL, LRL, LLR} = el evento en que cuando mucho uno de los dos vehículos vire a la derecha
C= {LLL, RRR} = el evento en que los tres vehículos viren en la misma dirección.
Supongamos que cuando se realiza el experimento, el resultado es LLL. Entonces ha ocurrido el evento simple E 1 y por lo tanto también comprende los eventos B y C (pero no el A )
ALGUNAS RELACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS
Un evento es simplemente un conjunto, así que las relaciones y resultados de la teoría elemental de conjuntos puede ser utilizados para estudiar eventos.
- El complemento de un evento A, denotado como A’, es el conjunto de todos los resultados de Ω que no están contenidos en A.
- La unión de los eventos A y B, denotados por A u B y leídos “A o B”, es el evento que consiste en todos los resultados que están en A o en B o en ambos eventos, es decir, todos los resultados en por lo menos uno de los eventos.
- La intersección de dos eventos A y B, denotada por A∩B y leída “A y B”, es el evento que consiste en todos los resultados que están tanto en A como en B.
- Que “conjunto vacío” denote el evento nulo (el evento sin resultado). Cuando A∩B = conjunto vacío, se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes o disjuntos.
- Dado un experimento aleatorio, el conjunto de todos los eventos, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω se denomina algebra de eventos y se denota con la letra A (caligráfica).
TIPOS DE EVENTOS
- A y B son diferentes si hay un resultado posible que haga que se dé un evento y otro no. Ejemplo: A= {2, 4, 6} y B= {1, 2}
- (^) A y B son iguales si no son diferentes. Ejemplo: A= {2, 4, 6} y B= {2, 4, 6}
- A y B son contrarios o complementarios si cuando uno se da, el otro no se da y cuando uno no se da el otro si se da. Ejemplo: A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5}
- A y B son mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles si no se pueden dar los dos a la vez, es decir, si cuando uno se da el otro no se da. Ejemplo: A= {2, 4, 6} y B= {1, 3}
mismo tiempo, entonces la probabilidad de que por lo menos uno ocurra es la suma de las probabilidades de los eventos individuales.
Considere lanzar una tachuela al aire. Cuando se detiene en el suelo, o su pinta estará hacia arriba (el resultado U) o hacia abajo (el resultado D). El espacio muestral de este evento es por consiguiente Ω= {U, D}. Los axiomas especificas P(Ω) = 1, por lo que la asignación de probabilidad se completará determinando P(U) y P(D). Como U y D están desarticulados y su unión Ω, la siguiente proposición implica que
1= P(Ω)= P(U) +P(D)
Se desprende que P(D)= 1 – P(U). Una posible asignación de probabilidades es P(U)= 0.5, P(D)= 0.5, mientras que otra posible asignación es P(U)= 0.75, P(D)= 0.25. de hecho, si p presenta cualquier número fijo entre 0 y 1, P(U)= p , P(D)= 1 – p es una asignación compatible con los axiomas.
(siguiendo con la imagen) Sin embargo, otra asignación de probabilidad legitima (de acuerdo con los axiomas) del mismo tipo “geométrico” se obtiene reemplazando 0. por cualquier otro número p entre 0 y 1 (y 0.01 por 1 – p ).
INTERPRETACIÓN DE PROBABILIDAD
Los ejemplos anteriores muestran que los axiomas no determinan por completo una asignación de probabilidad a eventos. Los axiomas sirven solo para excluir las asignaciones incompatibles con las nociones intuitivas de la probabilidad. En el experimento de lanzar al aire tachuelas, se sugirieron dos asignaciones particulares. La asignación apropiada o correcta depende de la naturaleza de la tachuela y también de la interpretación de probabilidad. La interpretación que más frecuente se utiliza y más fácil de entender está basada en la noción de frecuencias relativas.
Considérese un experimento que pueda ser realizado repetidamente de una manera idéntica e independiente y sea A un evento que consiste en un conjunto fijo de resultados del experimento. Si el experimento se realiza n veces, en alguna de las réplicas el evento A ocurrirá y en otros, A no ocurrirá. Que n (A) denote el número de réplicas en las cuales A sí ocurre. Entonces la relación n(A)ln se conoce como la frecuencia relativa de ocurrencia del evento A en la secuencia de n replicas. La evidencia empírica basada en los resultados de muchas de estas secuencias de experimentos repetibles, indica que a medida que n se hace más grande, la frecuencia relativa n(A)ln se estabiliza como se ilustra en la figura , es decir, conforme n se hace arbitrariamente grande, la frecuencia relativa tiende a un valor límite al que se hace referencia como frecuencia relativa límite del evento A. la interpretación objetiva de probabilidad identifica esta frecuencia relativa límite con P(A).
En general, la proposición anterior útil cuando el evento de interés puede ser expresado “por lo menos.. .” puesto que en ese caso puede ser más fácil trabajar con el complemento “menos que.. .” (en algunos problemas es más fácil trabajar con “más que” “que con cuando”). Cuando se tenga dificultad al calcular P(A) directamente, habrá que pensar en determinar P(A’).
- Para cualquier evento A, P(A) ≤ 1
Es decir, p 1 = p 5 = 0.1, p 2 = p 4 = 0.2, p 3 = 0.4. la probabilidad de que uno de los tres carros intermedios se seleccione (un evento compuesto) es entonces p 2 + p 3 + p 4 = 0.8.
RESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES
En muchos experimentos compuestos de N resultados, es razonable asignar probabilidades iguales a los N eventos simples. Estos incluyen ejemplos tan obvios como lanzar al aire una moneda o un dado imparciales una o dos veces o seleccionar una o varias cartas de un mazo bien barajado de 52 cartas. Con p = P(E i ), por cada i,
Es decir, si existen N resultados igualmente probables, la probabilidad de cada uno es 1/N. ahora considérese un evento A, con N(A) como el número de resultados contenidos en A. Entonces
Por lo tanto, cuando los resultados son igualmente probables, el cálculo de probabilidades se reduce a contar: determinar tanto el número de resultados N(A) en A como el número de resultados N en Ω y formar su relación.
Ejemplo:
Cuando dos dados se lanzan por separado, existen N = 36 resultados. Si ambos dados son imparciales, los 36 resultados son igualmente probables, por lo tanto, P(E (^) i) = 1/36. Entonces el evento A= {suma de dos números = 7} consta de seis resultados (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) y (6, 1), por lo tanto
2.3 Combinatoria
Dado un experimento aleatorio, hacer un recuento de cuantos resultados diferentes forman parte de un determinado evento resulta, a veces, fácil. Por ejemplo, si lanzamos un dado al cielo y nos interesa adivinar A= “sale un numero par”, está claro que este evento está formado por tres resultados diferentes A= {2, 4, 6}, y solo por estos tres.
En algunos cosos este recuento no resulta sencillo. Imaginemos por ejemplo que cogemos 4 estudiantes al azar de una clase de 80 alumnos y nos preguntamos por el evento A = “hay tres chicas y un chico”. Está claro que las posibilidades son muchas y hacer una lista exhaustiva, como en el caso del dado, resulta inviable.
- Se conoce como combinatoria el conjunto de técnicas que permiten el recuento de los diferentes resultados que forman un evento o el espacio muestral.
El factor más importante a tener en cuenta a la hora de hacer un recuento es si importa el orden en el cual enumeramos los diferentes “objetos” que forman parte de un resultado o si, por el contrario, el orden no importa. Por ejemplo, si queremos estudiar cuantas “combinaciones” diferentes podemos escribir en una apuesta de “La primitiva”, está claro que el orden con el que escribimos los dígitos no importa: la “combinación” {2 5 15 20 33 45} es la misma que {15 2 45 33 5 20}. Por el contrario, si pensamos en el sorteo de navidad, este orden sí que es importante ya que, aunque contengan los mismos números su orden es importante.
La técnica combinatoria que estudia los casos en el que el orden importa se llama “ recuento de permutación ”, mientras que el “ recuento de combinaciones ” se ocupa de los casos en el que el orden no importa. En el caso de las permutaciones veremos cómo contar cuantas listas (ordenadas) diferentes podemos construir a partir de una determinada colección de objetos; en el caso de las combinaciones veremos cómo contar cuantos grupos (sin ordenar) diferentes podemos construir. En los dos casos tendremos que tener en cuenta si un mismo objeto puede aparecer más de una vez en las listas o en los grupos. Si es así hablaremos de permutaciones con reposición en el primer caso y de combinaciones con reposición en el segundo.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
- Un subconjunto ordenado se llama permutación. El número de permutaciones de tamaño k que se puede formar con los n individuos u objetos en un grupo será denotado por P (^) k,n. un subconjunto no ordenado se llama combinación. Una forma de denotar el número de combinaciones es C (^) k,n , pero en su lugar se utilizará una notación que es bastante común en los libros de probabilidad.
En número de permutaciones se determina utilizando la primera regla de conteo para k - tuplas ( k = r). Supóngase, por ejemplo, que un colegio de ingeniería tiene siete departamentos, denotados por a, b, c, d, e, f y g. cada departamento tiene un representante en el consejo de estudiantes del colegio. De estos siete representantes, uno tiene que ser elegido como presidente, otro como vicepresidente y un tercero como secretario. ¿Cuántas maneras existen para seleccionar los tres oficiales? Es decir ¿cuántas permutaciones de tamaño 3 pueden ser formadas por los 7 representantes? Para responder a esta pregunta, habrá que pensar en formar una tripleta (3-tupla) en la cual el primer elemento es el presidente, el segundo el vicepresidente y el tercero es el secretario. Una tripleta es (a, g, b), otra es (b, g, a) y otra es (d, f, b). Ahora bien, el
