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CAPITULO I – Generalidades y antecedentes históricos
Estadística es la ciencia que estudia las “regularidades” que se observan en una serie de
fenómenos que pueden expresarse a través de la información numérica.
Viene del Latín status RAMAS: Estadística descriptiva = Recogida de datos históricos. Es un método deductivo
Calculo de probabilidades = Razonamiento matemático. Es un método deductivo Inferencia estadística = Trabaja a partir del cálculo de probabilidades. Método
inductivo
ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
Definición del objetivo Encuesta censal = Toda la población Recogida de datos poblacionales Encuesta muestral =Parte de la
población
Descripción y estimación de los parámetros poblacionales
1.2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - Historia Herodoto (485-425 a de JC) relata que ya en Egipto (3050 a de JC) se elaboró un
censo de población y riqueza
Se tienen noticias de que lo mismo hicieron los chinos
Grecia y Roma efectuaron recuentos periódicos sobre riqueza con fines tributarios
Edad Media = No se tienen noticias sobre operaciones estadísticas mas que sobre los
bienes de la Iglesia
s. XVI = Nace la escuela mercantilista francesa con Colbert, Bufón y Condorcet
De ella nacen la escuela Inglesa con Graunt, Petty, Halley, Davenant y King y la
Alemana con Seckendorf, Coring y Achenwall
s. XVII (mediados) = Graunt Destaca por sus estudios demográficos
s XVII (finales) = Petty efectúa estudios sobre demografía, Renta y Tráfico
Mercantil
s. XVIII y XIX = Se produce un gran crecimiento de la estadística descriptiva y se
elaboran los primeros censos oficiales (1790 USA)
1.3 EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Es la rama de las matemáticas que se basa en el razonamiento deductivo
S. XVI = Cardano (1501 – 1576) y Galileo (1564 – 1642) son pioneros en esta rama
S. XVII = Pascal (1623 – 1622) y Pierre de FermaT (1601 – 1665) comienzan con la
formalización del cálculo de probabilidades sobre los juegos de azar propuesto por un jugador (Meré)
= Huygens recopila los trabajos de los anteriores y aparece la sistematización del Cálculo de probabilidades (1669)
S. XVIII y XIX = Movidos por el intento de la contrastación empírica sobre
astronomía y Física, destacaron Jacobo y Damiel Bernouilli, Abraham de Moivre, Laplace, Gauss, Poisson y Chebychev
S. XX = Autores clásicos de la escuela rusa son Markov, Liapounoff y Kolmogoroff
De la escuela francesa destacaron Borel, Levy, Lebesgue y Fréchet
1.4 LA INFERENCIA ESTADÍSTICA
Arranca EN el s. XVIII con Laplace y Gauss
Tres corrientes = La escuela Inglesa
Inferencia Bayesiana Teoría de la decisión
La escuela Inglesa destaca por sus estudios biológicos = Pearson, Gosset, Fisher y
Neyman
Influencia Bayesiana = Nace a partir del sacerdote Thomas Bayes (Teorema de
Bayes) Le siguen Ramsey, Bruno de Finetti y Savage con la Probabilidad subjetiva
Teoría de la Decisión = De Wald, aprovecha la influencia Bayesiana y aporta el
concepto de Función de pérdida
Sociedad de Econometría = Fundada por Irwing Fisher, junto con Roos y Frish en
1930 aplican los conocimientos de inferencia estadística sobre física, astronomía y ciencias naturales a la Economía.
Muestra Todo subconjunto representativo de la población Lo válido para la muestra se convierte en general para la población Censal = Todos los elementos de la población Estudio muestral = Parte o subconjunto de la población Atributo Característica no medible numéricamente Da lugar a modalidades Escala nominal = Clasifica las modalidades del tributo Escala ordinal = Clasifica por gradación u ordenación las modalidades del atributo Ejemplo: 1 = Muy malo 2 = Malo 3 = Regular
4 = Bueno 2 Malo (Bueno no es igual a 2 veces Malo)
5 = Muy bueno Variables Características de la muestra / población susceptibles de tomar valores numéricos Se les aplican las escalas de Intervalo Razón o Proporción Escala de intervalos Permiten una unidad de medida y un origen (0) arbitrario Podemos calcular la distancia entre 2 observaciones cualesquiera No permiten operaciones matemáticas De Razón o proporción
Además de las característica de la escala de intervalos, incorporan un origen no
arbitrario (0 absoluto)
Permiten las operaciones aritméticas Unidimensionales = Una única variable (Edad de un grupo de niños) Bidimensionales = Dos variables (Edad y Sexo) Pluridimensionales = Más de dos variables Discretas = Toman un número finito o infinito numerable de valores Continuas = Toman un número infinito no numerable de valores
ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
1ª Etapa.- Definición de objetivos Identificación de las características cualitativas y cuantitativas del estudio Definición de la población Marco = Soporte de los datos y su accesibilidad Decisión sobre Censo o Muestra, su tamaño y el presupuesto Ámbito y forma de recogida de datos 2ª Etapa.- Recogida de datos estadísticos Diseño del cuestionario Diseño muestral según el marco disponible
Diseño del Material Auxiliar Recogida de datos Tratamiento de datos 3ª Etapa.- Estimación y Descripción Análisis descriptivo primario Estimación de errores (Muestrales y No muestrales) Análisis especial multivariables 1ª ETAPA – No hay nada que decir está bien claro lo que hay que hacer 2ª ETAPA.- RECOGIDA DE DATOS ESTADÍSTICOS Diseño del cuestionario Claridad en el lenguaje = evitar términos técnicos, usar un lenguaje sencillo Precisión en las preguntas = Concretas y cortas para obtener respuestas precisas No influir en la respuesta = Evitar preguntas que contengan juicios de valor Evitar preguntas indiscretas = Aquellas que impliquen la intimidad del entrevistado Cuidar el orden = Primero, las sencillas, al final las delicadas y complejas Tipos de preguntas Abiertas = La respuesta es totalmente libre Cerradas = la respuesta se especifica y el entrevistado debe escoger una opción Dicotómicas = Dos alternativas de respuesta Múltiples = Varias respuestas predefinidas Directas e Indirectas Diseño Muestral Muestreo Aleatorio Simple (MAS) De N elementos se seleccionan n de forma aleatoria (sin reemplazamiento) Muestreo estratificado (Se emplea mucho en la práctica) Consiste en dividir la población en grupos homogéneos internamente Debe existir gran diferencia entre los estratos Permite hacer estimaciones sobre cada estrato (subpoblación) Muestreo por conglomerados Agrupaciones de población de naturaleza heterogénea dentro de ellos Muestreo sistemático Sistemático por que lo único aleatorio es el arranque El inconveniente es que hay que numerar toda la población Ejemplo: 1º N = 100 n = 5 (estratos) N/n = 20 2º Se obtiene un número aleatorio entre 1 y 20 (supongamos 12 = n 1 ) 3º Se obtiene n sumando 20 + n 1 (20 + n 1 = 32 = n 2 ) n 3 = 20 + n 2 (20 + 32 = 52) n 4 = 20 + n 3 (20 + 52 = 72) n 5 = 20 + n 4 (20 + 72 = 92) Muestreo polietápico (Se aplica en la práctica cuando se hacen estudios sociales) Es básicamente una mezcla de distintos tipos de muestreo, principalmente el MAS y el estratificado) Ejemplo: En una manzana de casas escoger N personas al azar pero necesariamente 50% hombre y 50% mujeres (Muestreo por cuotas) Abarata mucho la recogida de datos No tiene rigor científico No se pueden estimar errores muestrales ni establecer intervalos de confianza
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS UNIDIMENSIONALES
Las llamamos unidimensionales por sólo observamos una característica Tipos: Datos no agrupados Datos agrupados en intervalos de clase
DATOS NO AGRUPADOS Se observan los valores de la característica (X) Si la variable admite ordenación éstos se ordenan de menor a mayor Si hay valores repetidos se agrupan (si x se repite n veces entonces n*x) Tipos: Unitarios = Los que no tienen valores repetidos Ejemplo: Las rentas anuales de 5 familias son 200 u.m.,150 u.m., 300 u.m., 250 u.m. y 175 u.m.
No unitarios = Los que tienen valores repetidos El conjunto de R datos distintos ordenados de menor a mayor acompañados de sus respectivas frecuencias absolutas La característica x toma pocos valores pero se repiten gran número de veces. Ejemplo: En una comunidad de vecinos hemos preguntado a 20 de ellos por el número de personas que trabaja en cada familia, sus respuestas han sido: 1, 3, 0, 1, 0, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 2
Frecuencia total N = n = 20 Frecuencia relativa f = n / N “ f 0 = n 0 / N = 4/20=0,2 “ f 1 = n 1 / N = 10/20 = 0,
- La suma de las frecuencias relativas = 1 Frecuencia absoluta acumulada ascendente Ni un determinado valor ordenado de menor a mayor xi al numero de datos que son menores o iguales a él Se representa:
Ni = nj
Frecuencia absoluta acumulada descendente Ni un determinado valor ordenado de menor a mayor xi al numero de datos que son mayores o iguales a él Se representa N con la hacia abajo Frecuencias relativas ascendentes y descententes
Tabulación de datos
Tabla X 150 175 200 150 300
Tabla X x n 0 4 1 10 2 4 3 1 4 1
Valores posibles
Veces que se repite cada Valor de x
n
J = 1
i
j = 1
R
Fi = fj Fi = fj
Ejemplo xi ni fi Ni Ni Fi Fi 150 1 1/5 1 (sólo hay 1 valor igual o menor) 5 1/5** 4/5*** 175 1 1/5 2 (hay 2 valores ig. o men. a él) 4 2/5** 3/5*** 200 1 1/5 3 (hay 3 valores -------“ ------) 3 3/5** 2/5*** 250 1 1/5 4 (hay 3 valores -------“ ------) 2 4/5** 1/5*** 300 1 1/5 5 (hay 3 valores -------“ ------) 1 1** 0***
- El contrario que N hay 5 valores mayores o iguales a él ** y *** deben sumar siempre 1
Otro ejemplo xi ni fi Ni Ni Fi Fi 0 4 4/20 4* 16** 1/5*** 4/5**** 1 10 10/20 14* 6** 2/5*** 3/5**** 2 4 4/20 18 * 2** 3/5*** 2/5**** 3 1 1/20 19 * 1** 4/5*** 1/5**** 4 1 1/20 20 * 0** 1*** 0**** N = 20
- y ** deben sumar siempre N *** y *** deben sumar siempre 1
Todo lo anterior si se trata de variables o características de naturaleza cuantitativa, si se tratara de atributos que toman distintas modalidades cualitativas, no tiene sentido calcular las frecuencias a cumuladas Ejemplo: A 100 personas se les ha preguntado su estado civil (x = casado, viudo, soltero, otro) xi ni fi Casado 50 50/ Viudo 15 15/ Soltero 25 25/ Otro 10 10/ N = 100
DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE CLASE Se realiza cuando el número de valores que puede tomar la característica X es muy elevado por lo que es necesario agruparlos en intervalos Sólo tienen sentido en el caso de variables cuantitativas Conceptos: Recorrido o Rango R = xr – xi = max xi - min xi Amplitud del intervalo Clases: Constante c = R / k siendo k el número de clase o agrupamientos Variable Marcas de clase = El valor medio entre 2 datos x 1 = (L 0 + L 1 )/2 “ siendo L 0 = x 1 , L 1 = L 0 + c, c = R / k (amplitud)
j = i+ 1
La F = N
Ejemplo: Una sociedad adquiere troncos de madera y decide clasificarlos en tramos de m^3 por unidad resultado de esta operación ha sido recogido en la Siguiente tabla agrupada de frecuencias:
Metros cúbicos (en m^3 ) Marca de clase (en mi) Frecuencias absolutas [0 , 0,25] 0,125] 1. (0,25 , 0,50] 0,375 187 (0,50 , 1] 0,75 50 (1, 2] 1,5 18 (2, 5] 3,5 10
Las amplitudes de los intervalos son: c 1 = 0,25 - 0 = 0,25 c 2 = 0,50 - 0,25 = 0,25 c 3 = 1 - 0,50 = 0, c 4 = 2 – 1 = 1 c 5 = 5 – 2 = 3
Tabla de frecuencias: (Li – 1 , Li] xi ni fi N N F F [0, 0,25] 0,125 1.235 1.235 /1.500 1.235 265 1.235/1.500 265/1. (0,25,0,50] 0,375 1.87 1871/1.500 1.422 78 1.422/1.500 78/1. (0,50, 1] 0,75 50 50/1.500 1.472 28 1.472/1.500 28/1. (1, 2] 1,5 18 18/1.500 1.490 10 1.490/1.500 10/1. (2, 5] 3,5 10 10/1.500 1.500 0 1 0 N = 1500 fi = 1
REPRESENTACIONES GRÁFICAS Distribución de frecuencias de datos cualitativos Las representaciones gráficas tienen la ventaja del impacto visual nos proporciona de forma instantánea una visión global del reparto de los datos observados Las figuras más empleadas para los datos cualitativos son: diagrama de rectángulos diagrama de sectores o de pastel Ambas se dibujan bajo el principio de proporcionalidad entre las áreas de los rectángulos o sectores y las frecuencias absolutas de cada modalidad del atributo. Pictogramas consisten en reflejar las frecuencias de cada modalidad a través de dibujos artísticos cuyo tamaño también guarda proporcionalidad con las frecuencias absolutas cartogramas cartogramas son una representación por medio de un mapa que se utiliza cuando las modalidades están contenidas en áreas geográficas.
Si la distribución de frecuencias es unitaria su representación gráfica carece de interés Si los datos son frecuencias no unitarias, podemos construir los siguientes gráficos o Diagrama de rectángulos, todos los rectángulos tienen la misma base y sus áreas son proporcionales a las frecuencias absolutas ni Ejemplo:
ni
50
40
30
20
10
Casado Viudo Divorciado Otros Mi
o Diagrama de sectores, el área de cada sector es proporcional a la frecuencia de cada modalidad
Viudos Solteros
Otros
Casados
o Pictogramas, el tamaño de las figuras es proporcional a la frecuencia de cada modalidad
Casados Solteros Viudos Otros
Distribución de frecuencias de datos cuantitativos Diagramas de barras Se representan como un eje cartesiano en el que en las abscisas figuran los valores de la variable y en las ordenadas las frecuencias absolutas
Diagramas acumulativos de frecuencias
LA MEDIANA
Mediana (Me) es el valor de la variable que deja a su izquierda tantas frecuencias como a su derecha Para su cálculo no intervienes los valores de x sino las frecuencias observadas a ambos lados de su valor. Ejemplo: Valores unitarios xi ni Ni 0 4 4 1 10 14 2 4 18 3 1 19 4 1 20 N = 20 La media de los valores de N sería N/2 , luego 20/2 = 10
Otro Salarios ni Ni 100000 50 50 125000 30 80 200000 15 95 300000 5 100 N = 100 “ N/2 = 50
Me = 100000 + 125000 / 2 = 112500
Cálculo de la mediana con valores agrupados en intervalos de clase
La formula del libro es Me = Li – 1 + * ci
La misma según mi amantísima sería Me = Linferior + * Intervalo
Para su cálculo empezamos hallando la media de N, ese valor nos sitúa en la tabla L (^) inferior = Será el valor mínimo del intervalo donde nos ha situado N/ N (^) anterior = Será el valor N anterior al de la Media de N n (^) Me = Es el valor de n que corresponde al valor donde nos situó N/ Intervalo = Diferencia absoluta entre los valores del Intervalo
- No se puede hallar con la calculadora, hay que aprenderse la formula
Ejemplo:
Intervalo n MdeC N 8 - 12 7 10 7 12 - 16 8 14 15 Nanterior 16 - 20 15 18 30 20 - 24 17 22 47 24 – 28 10 26 57 28 – 32 3 30 60
1º Calculamos N/2 = 30 lo que nos sitúa en el intervalo 16 – 20 2º Linferior = 16 3º Nanterior = 15 4º n (^) Me = 15
La media estaría entre 4 y 14
La media estaría entre 50 y 80
N/2 – Ni -
1 ni
N/2 – N anterior
n Me
n Me
5º Intervalo o c = 20 – 16 = 4
Aplicamos la formula Me = 16 + * 4 = 20
Otro (del libro)
Intervalo n N [40,100] 10 10 Nanterior (100, 200] 20 30 (200, 500] 15 45 (500,1000] 5 50
1º Calculamos N/2 = 25 lo que nos sitúa en el intervalo 100, 200 2º Linferior = 100 3º Nanterior = 10 4º n (^) Me = 20 5º Intervalo o c = 200 – 100 = 100
Aplicamos la formula Me = 100 + * 100 = 175
Otro (del libro) 100 pequeños comercios se agrupan según el número de empleados Intervalo n N [0, 1] 20 20 Nanterior (1, 2] 30 50 (2, 4] 20 70 (4, 6] 15 85 (6, 10] 10 95 (10, 15] 5 100 Siguiendo el mismo razonamiento que en los anteriores obtendremos el resultado Me = 2
Ventajas Es la medida mas representativa en el caso de variables de escala ordinal Es una posición central Tiene fácil interpretación Inconveniente En su cálculo no intervienen todos los valores de la variable
MODA
Es el valor de la variable que mayor n tiene Si hay un único valor máximo = Moda absoluta Si hay x valores máximos iguales x = 2 Bimodal si x = 3 Multimodal
Ejemplos x n 0 4 1 10 2 4 3 1 4 1
n Me
Moda absoluta = 1
MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES - CUANTILES
Medidas que dividen la distribución en partes proporcionales Cuartiles Q: Dividen la serie en 4 partes iguales. Hay 3 Cuartiles Deciles D: Dividen la serie en 10 partes iguales. Hay 9 Deciles Percentiles P: Dividen la serie en 100 partes iguales. Hay 99 Percentiles
El cálculo para datos no agrupados es sencillo y con el ejemplo queda claramente explicado, en cuanto a los datos agrupados, utilizamos la misma formula para todos ellos y es la misma que la de la Mediana pero en lugar de N/2 aplicaremos en Cuartil xN/4, Decil xN/10 o Percentil xN/100, que nos pidan Empezaremos, como lo hicimos con la Me, por calcular el Cuartil, Decil o percentil que nos piden
Q 1 = 1 * N / 4 Q 2 = 2 * N / 4 Q 3 = 2 * N / 4
D 1 = 1 * N / 10 D 3 = 3 * N / 10 D 7 = 7 * N / 10
P 11 = 11 * N / 100 P 35 = 35 * N / 100 P 76 = 76 * N / 10
Ese valor nos dará el intervalo o el valor de x sobre el que trabajar, para los cálculos posteriores aplicamos la formula de la mediana como ya hemos visto.
Ejemplo, del libro, datos no agrupados: Dada la distribución, calcular los 3Q, el 7º D y el 99ºP
xi ni N 1 20 20 3 30 50 4 20 70 5 40 110 D 7 7 7 117 9 3 120 P 99 Los Q, N/4 = 30, luego Q 1 = 30, Q 2 = 60 y Q 3 = 90 El 7º D, N/10 = 120/10 = 12, por lo tanto 7*12 = 84 y el D 7 = 5 El 99º P, N/100 = 120/100 = 1.2, por lo tanto 1,2 * 99 = 118,8 , luego P 99 = 9
Otro, del libro: a) Calcular el nivel salarial que no es superado por el 25% de la población b) El nivel salarial mínimo que perciben el 15% de los trabajadores que más cobran. Intervalo n N [75 - 200] 50 50 Q 1 (200 - 250] 40 90 P 85 (250 – 300] 7 97 (300 – 400] 3 100 El 25% corresponde al Q 1 luego Q 1 = Linf + (N/4 - Nant)/nQ 1 * c
Q1 = 75 + (25 – 0) / 50 * 125 = 137,
b) Necesitamos conocer el percentil 85 ya que es el punto en que los salarios por debajo es igual a los salarios por encima de él.
P 85 = 85N / 100 = 85
Aplicamos la formula = 200 + (85 – 50)/40 * 50 = 243,
MOMENTOS Caracterizan A las distribuciones de tal forma que si los momentos de 2 distribuciones distintas coincides, diremos que éstas son iguales Dos distribuciones distintas son más semejantes cuanto en más momentos coinciden Existen: De orden h respecto al origen ah xi ni fi x^1 fi x^2 fi x^3 fi 5 4 4/20 = 0,2 5*0,2 = 1 52 *0,2 = 5 53 0,2 =2 5 6 10 10/20 = 0,5 60,5 = 3 62 *0,5 = 18 63 0,5 = 108 7 4 4/20 = 0,2 70,2 = 0,14 72 *0,2 = 9,8 73 0,2 =68, 8 1 1/20 = 0,05 80,05 = 0,4 82 *0,05 = 3,2 83 0,05 = 25, 9 1 1/20 = 0,05 90,05 = 0,45 92 *0,05 = 4,05 93 *0,05 = 36, N = 20 h^1 = x^1 fi = 6,25 = Media aritmética Donde x^1 fi es el momento a 1 , x^2 fi es el momento a 2 y x^3 fi sería el momento a 3 De orden h respecto a la media aritmética mh Utiliza la formula mh = (xi – x)h^ * ni/N
Si h = 1, como en este caso, (x – x)^1 * ni /N = 0 (siempre) Si h = 2, entonces (x – x) 2 * ni/N = Varianza
x ni ni/N xifi (x – x) (x – x ) 1 * fi 5 4 0,2 1 -1,25 -1,25^1 * 0,2 = -0, 6 10 0,5 3 -0,25 -0,25^1 * 0,5 = 0, 7 4 0,2 1,4 0,75 0,75^1 * 0,2 = 1, 8 1 0,05 0,4 1,75 1,75^1 * 0,05 = 0, 9 1 0,05 0,45 2,75 2,75^1 * 0,05 = 0, 6,
Otro ejemplo, del libro
Intervalo MdeC n N [5000-9000] 7000 3 3 (9000-13000] 11000 4 7 (13000-17000] 15000 7 14 (17000-21000] 19000 5 19 (21000-25000] 23000 6 25
3(SD) KAC
Introducimos los datos de la tabla (muy importante, primero las x) 7000 3 DATA 11000 4 DATA 15000 7 DATA 19000 5 DATA 23000 6 DATA
n - Comprobamos que hemos introducido todos los datos, debe ser N (25)
Ahora ha sacar resultados: la media aritmética x debe daros 16120 La desviación típica xn debe daros 5248, Pearson xn x 0, La varianza xn 2 27545600
MEDIDAS DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS
Una distribución es simétrica si y sólo si su diagrama de Barras que la representa es simétrica respecto al eje x Si una distribución es simétrica el momento m 3 = 0, pero no al revés, es decir de un m 3 = 0 no se deduce la simetría Existen varios coeficientes de asimetría, aquí utilizaremos el de Fischer
G 1 = m 3 / s^3 “ si g 1 < 0 la distribución es positiva o a la derecha si g 1 =0 la distribución puede ser simétrica o no si g 1 > 0 la distribución es negativa o a la izquierda
Me Me Mo x Mo
x x x
xy
Kout
Shift
Shift
Shift =
Shift Shift =
Mode Shift
x x
g 1 > 0 “ Asimétrica positiva o a la derecha
g 1 < 0 “ Asimétrica negativa o a la izquierda
g 1 = 0 “ Puede ser simétrica si además Me=x y Uniforme si Me=x=Mo
CURTOSIS
La curtosis o apuntamiento surge al comparar la forma de una variable respecto a la distribución llamada normal (campana de Gauss) Se mide por el coeficiente de curtosis de Fisher
Se calcula mediante la formula g 2 = m 4 / s^4 “ siendo s = Varianza 2 = ^4 Si g 2 > 0 la curva tiene más apuntamiento = Leptocúrtica Si g 2 = 0 la curva tiene apuntamiento normal = Mesocúrtica Si g 2 < 0 la curva tiene menos apuntamiento = Platicúrtica
MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN
El índice de Gini y la curva de Lorenz analizan la mayor o menor concentración de una distribución Indice de Gini Puede tomar el valor entre 0 y 1, cuando más cerca de 0 mejor equidistribuída está la variable
I g = (que no hay quien la entienda)
Resolución práctica
IG = 0,82 / 3,475 = 0,236 “la variable está bastante equidistribuida
xi ni fi F xini qi =xini/xini Qi Fi - Qi 0 3 0,075 0,075 0 0 0 0, 1 8 0,2 0,275 8 0,08 0,08 0, 2 9 0,225 0,500 18 0,18 0,26 0, 3 10 0,25 0,750 30 0,3 0,56 0, 4 7 0,175 0,925 28 0,1 0,84 0, 5 2 0,05 0,975 10 0,06 0,94 0, 6 1 0,025 6 N=40 3,475 100 0,
Normal o Mesocúrtica
Platicúrtica
Leptocúrtica
r - 1
(pi - qi)
i = 1 r - 1
pi
i = 1
