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TUTORÍA DE ESTADÍSTICA EMPRESARIAL (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL (CAPÍTULO 1)
1º) Se mide la polución en gramos para cierto volumen de aire en los alrededores de una fábrica de cemento. Designamos por X la cantidad de polución recogida cuando no se utiliza un filtro y por Y la recogida cuando se utiliza. Si f(x, y) = k, 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 1, 3y ≤ x , siendo cero en el resto del plano, calcular: 1) el valor de k; 2) P(X ≥ 4Y)
Sol.: k = 3
; b) P(X ≥ 4Y) = 4
2º) Una variable aleatoria bidimensional discreta tiene la función de densidad que aparece en la figura adjunta. Calcular la probabilidad condicional P[Y ≤ 1 / 2 ≤ X ≤ 3].
Sol.: P[Y ≤ 1 / 2 ≤ X ≤ 3] = 12
3º) Las variables aleatorias X e Y tienen la función de densidad condicional f(y/x) = = 2yx –2^ , para 0 ≤ y ≤ x, siendo cero en el resto. Además f(x) = 4x^3 para 0 ≤ x ≤ 1, siendo cero en el resto. Hallar, indicando los intervalos de variación: 1) la función de densidad conjunta; 2) la función de densidad marginal de Y; 3) f(x/y).
Sol.: 1) f(x, y) = 8xy, 0 ≤ y ≤ x ≤ 1; 2) f(y) = 4y(1 – y 2 ), 0 ≤ y ≤ 1; 3) f(x/y) = (^2) 1 y
x −
y ≤ x ≤1. 4º) Se supone que los salarios X 1 y X 2 superiores a 35 unidades monetarias en dos actividades económicas diferentes, tienen una función de densidad conjunta f(x (^) 1, x 2 ) = = A(x (^) 1x (^) 2)–2^ , x 1 ≥ 35, x 2 ≥ 35. Determinar: 1) la constante A; 2) la función de distribución conjunta de las variables aleatorias X 1 y X 2 y 3) la probabilidad de que dos trabajadores elegidos al azar, uno de cada actividad, tengan cada uno salarios superiores a 100 u.m..
Sol.: 1) A = 35 2 ; 2) F(X (^) 1, X 2 ) = (^)
x
x
1 2
; 3) P[X 1>100, X 2 >100]= 0,35 2 =
5º) La variable aleatoria bivariante (X, Y) tiene la función de densidad f(x, y) = = K(x 2 + y 2 ), 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, siendo cero en el resto del plano. Hallar el valor de k, la función de densidad marginal f(x) y f(y / x).
Sol.: k = 3; f(x) = 4x 3 , 0^ ≤^ x^ ≤1; f(y / x) =^3
2 2
4 x
3 ( x + y ) , 0 ≤ y ≤ x.
6º) Dada la función de densidad f(x, y) = ke–x^ , 0 < 2
x < y < x, hallar k y las
distribuciones condicionales.
Sol.: k = 2; f( y/x) = x
x < y < x ; f(x / y ) = (^) y 2 y
x
e e
e − −
−
−
, y < x < 2y.
7º) La distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y, viene dada por la siguiente función de densidad conjunta:
f(x,y) =
0 ,encualquierotro caso
k, 0 x 3 , 0 y 5 ,xeyenteros
(^0 1 2 )
1
2 0,
0, 0,
0, 0,
0,
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Calcular las probabilidades: P(X = 1, Y = 4) y P( X+Y < 3).
Sol.: P(X = 1, Y = 4) = 24
y P( X+Y < 3) = 24
8º) La función de densidad conjunta de las variables aleatorias discretas X e Y, está dada por f(x, y) = k(x + 2y), donde x, y pueden tomar todos los valores enteros tales que 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 y f(x, y) = 0 en el resto del plano. Calcular: 1) el valor de la constante k; 2) P(X ≤ 1, Y ≥ 1); 3) P(X = 1, Y = 1); 4) P(X≤ 1/Y ≥1)
Sol.: 1) k = 42
; 2) P(X ≤ 1, Y ≥ 1) =
; 3) P(X = 1, Y = 1) =
; 4) P(X≤ 1/Y ≥1) =
9º) Dada la variable aleatoria bidimensional continua (X, Y), con función de densidad conjunta f(x, y) = K(3x 2 + 2y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, deducir: 1) la constante K; 2) la función de distribución conjunta; 3) P(0,3 < X ≤ 0,8; 0,1 < Y ≤ 0,5).
Sol.: 1) K = 2
; 2) F(x, y) = 2
x 3 y+ y^2 x , 0≤ x ≤1; 0 ≤ y ≤ 1; 3) P(0,3 < X ≤ 0,8;
0,1 < Y ≤ 0,5) = 0,157. 10º) Una variable aleatoria bidimensional discreta tiene la función de densidad que aparece en la figura adjunta. Calcular: 1) p 22 ; 2) P(X = 2/Y ≥ 1); 3) P[Y ≤ 2 / 1 ≤ X < 3].
CAPÍTULO 2: CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS
11º) Si la variable aleatoria U está distribuida uniformemente en − 4 ≤ u ≤ 4, determinar P(U − 2 < 2). [Sol.: P = 1/2] 12º) En cierto país la función de densidad de las rentas anuales de las personas que han de pagar impuesto sobre la renta viene dada por f(r) = A·r−4,5^ , r≥900, siendo cero en el resto del intervalo. Hallar : 1) el valor de A; 2) la renta anual que con probabilidad 0,1 es superada por un contribuyente elegido aleatoriamente.[Sol: 1) A = 3,5·900 3,5^ ; 2) r = 1737,63] 13º) La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X viene dada por P[X=k]=C, k=A+1, A+2, ..., A+n, donde A es un entero positivo dado. Hallar la constante C y
la media y la varianza de X.[Sol.: C = n
; E(X) = A +
n + 1 ; var(X) = 12
n 2 − 1 ]
14º) Una variable aleatoria X tiene una función de densidad proporcional a la función 2+bx, siendo su campo de variación el intervalo (0,1). Calcular el parámetro b si E[X 2 ]=17/42.[Sol.: b = 3]
15º) Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es f(x) = (α−1)x−α^ para x≥1, siendo cero en el resto del intervalo, en donde α es un parámetro desconocido que se supondrá superior a 3. Hallar: 1) la expresión de la función de distribución de X ; 2) las expresiones de
(^0 1 2 )
1
2 0,
0, 0,
p (^22) 0,
0,
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27º) Una variable aleatoria tiene por función generatriz de momentos
g(t) =
7
1 0 , 6 • et
. Hallar su media y su varianza. [Sol.: μ = 10,5 ; σ^2 = 26,25]
28º) La variable aleatoria X tiene por función generatriz de momentos g(t) =
4
2 t
para t<2. Hallar la media y la varianza de X.[Sol.:μ = 2, σ^2 = 1] 29º) Una variable aleatoria X tiene la función de densidad f(x) =
0 enel resto
1 x, para 0 x 1
1 x, para 1 x 0 Hallar la función generatriz de momentos. [Sol.: g(t) =
e e t
t (^) + − t− 2 2 ] 30º) Una variable aleatoria X tiene por función generatriz de momentos g(t) =
=
e e
t
− t. Deducir su media y su varianza. [Sol.:^ μ^ = 5,^ σ
2 = 20]
31º) La variable aleatoria X tiene por función generatriz de momentos g(t) =
3
3 t
Hallar la media y la desviación típica. ¿ Qué condición debe cumplir t ?. [Sol.: μ = 1, σ =
Se tiene que cumplir que t < 3]
32º) Se tiene una variable aleatoria X con función de densidad f(x) =
0 enel resto
5e 5x para x 0
. Hallar su media, su desviación estándar y su función generatriz de
momentos. ¿ Qué condición se tiene que cumplir en relación con esta última función ?. [Sol.: μ
= 1/5, σ = 1/5. Debe suponerse que t < 5, obteniéndose entonces que g(t) =
5 − t
]
33º) La variable aleatoria X tiene por función generatriz de momentos g(t) = e 25 t^ t
- 2 . Hallar la media y la varianza de X. [Sol.: μ = 25, σ^2 = 2] 34º) Sean X 1 , X 2 , X 3 , ..., X 10 variables aleatorias independientes idénticamente
distribuidas con función de densidad f(x) = 3e−3x^ para x ≥ 0, siendo cero en el resto del
intervalo. Hallar la función generatriz de momentos de X = (X 1 + X 2 + X 3 + ...+ X (^) n )·10−1/
.[Sol.: , t< 3 10
10
t 3
g (t)
10
X
= ]
35º) La variable aleatoria X tiene por función generatriz de momentos g(t) = e 20 t^2 t^
- 2 . Hallar la media y la varianza de X. [Sol.: μ = 20, σ^2 = 4]
36º) Se consideran las variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas X 1 ,
X 2 , X 3 , ..., X 20 con función de densidad f(x) = 4e−4x^ para x ≥ 0, siendo cero en el resto del
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intervalo. Hallar la función generatriz de momentos de X = (X 1 + X 2 + X 3 + ...+ X (^) n )·20−1/2^ y el
valor de dicha función para t = 0. [Sol.: , t 4 20
20
t 4
g (t)
20
X <
= ; g (^) X (0) = 1]
37º) Hallar la función generatriz de momentos de la variable aleatoria X con la siguiente distribución P(X=1) = 0,3 ; P(X=3) = 0,3 y f(x) = 0,04x , para 4 ≤ x ≤ 6. [Sol.: ( ) ( ) 2
6 t 4 t 6 t 4 t t 3 t t
0 , 04 e e t
0 , 046 e 4 e g( t) 0 , 3 e 0 , 3 e
= + + ]
CAPÍTULOS 3 Y 4: MODELOS DE PROBABILIDAD
Binomial 38º) Sabemos por los ficheros de demandantes potenciales del producto que fabrica nuestra empresa que un 30% de los mismos no lo compran. Determinar la probabilidad de que al extraer aleatoriamente con reemplazamiento tres fichas de demandantes potenciales, una sea de un no comprador. Sol.: La variable X = “nº de clientes no compradores” es B(3; 0,3) ⇒ P[X=1] = 0, 39º) Nuestra empresa ofrece dos formas de pago a nuestros clientes a la hora de adquirir nuestro producto: al contado y aplazado. Por la estadística de ventas conocemos que un 25% de las unidades que se venden son abonadas al contado. Calcular la probabilidad de que de las 6 unidades que se han vendido últimamente, tres o más se hayan pagado al contado. Sol.: La variable X = “nº de unidades vendidas al contado” es B(6; 0,25) ⇒ P[X ≥ 3]= = 0, 40º) La probabilidad de que una pieza industrial sea defectuosa es 0,01. Un lote de piezas está compuesto por 5 de ellas. Un lote se rechaza si contiene 1 ó más piezas defectuosas. Calcular la probabilidad de que, de 10 lotes, se rechacen 2 de ellos. Sol.: La probabilidad de rechazar un lote es 1 – 0,99^5 = 0,049; la variable X = “nº de lotes que se rechazan” es B(10; 0,049) ⇒ P[X = 2] = 0,072. 41º) En cierta ciudad y en invierno llueve un día con probabilidad 0,3. Si son independientes las lluvias en dos días cualesquiera del invierno, se pide: a) probabilidad de que en una semana de invierno llueva dos días; b) número de días esperado en que llueve en una semana de invierno. Sol.: a) La variable X = “nº de días que llueve en una semana” es B( 7; 0,3) ↔ ↔ P[X = 2 ]= 0,3177; b) E(X) = 2,1. 42º) Justificar razonadamente si al sumar dos variables aleatorias independientes de tipo binomial: B(5; 0,3) y B(4; 0,3) se obtiene otra binomial B(9; 0,3). Sol.: En efecto, si X 1 y X 2 son las variables, entonces la función generatriz gX 1 +X 2 (t) =
= E^ (e^ (^ X^1 +^ X^2 )t) = E^ (e^ X^1 t^ )·^ E(e^ X^2 t) = (0,7 + 0,3·et)
5 ·(0,7 + 0,3·et)
4 = (0,7 + 0,3·et)
9 que
corresponde a una B(9; 0,3).
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50º) Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en − 2 ≤ x ≤ 1, hallar
P (X− 2 ≥0,5 ). Sol.: P = 1 51º) Suponiendo que la cotización de cierre diaria de las acciones del Banco de Santander Central Hispano tiene una distribución uniforme entre los 20 y 21 euros, se pide: a) ¿cuál es la probabilidad de que un día la cotización de cierre supere los 20,90 euros?; b) ¿cuál es el porcentaje de días que presentaron una cotización de cierre entre 20,40 y 20, euros?; c) Si sumáramos dos distribuciones uniformes U(20; 21) y U(22; 24) que fuesen independientes, demuestre si la distribución resultante presenta o no carácter de distribución uniforme; d) entre los días en los que la cotización de cierre ha sido superior a 20,50 euros, ¿cuál es el porcentaje de los mismos en que la cotización ha oscilado entre 20,80 y 20, euros?. Sol.: a) P= 0,1; b) 20 %; c) si X 1 es U(20, 21) y X 2 es U(22, 24), desde luego que
42 ≤ X (^) 1+X 2 ≤ 45. Pero g (^) X 1 +X 2 (t) = g (^) X 1 (t) · gX 2 (t) = t
e e · t
e 21 t^ − e^20 t^24 t−^22 t que no corresponde a
la función generatriz de una U(42, 45); d) P[20,80 ≤ X ≤ 20,90/X > 20,50] = 0 , 5
= 0,2 ⇒ el
20%.
Normal 52º) Las variables aleatorias X 1 y X 2 son independientes y están distribuidas normalmente N(–10, 3) y N(–14, 4) respectivamente. Sea Z = X 1 – X (^) 2. Se pide: a) ¿qué distribución sigue Z?; b) ¿cuál es su media?; c) ¿cuál es su desviación estándar?. Sol.: Z es N(4, 5) 53º) Las variables X (^) 1, X 2 y X 3 son independientes y respectivamente N(1, 1), N(0, 1) y N(–1, 2). ¿Cómo se distribuye Z = 2X 1 + X 2 – X (^) 3?. Sol.: N(3, 3) 54º) Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con media −2 y desviación estándar 3. Calcular x 0 tal que P(X < −x 0 ) = 0,10. Sol.: x 0 = 5, 55º) Dos grandes superficies comerciales venden una determinada marca de detergente. Las unidades vendidas semanalmente en el primer establecimiento siguen la ley N(2.000, 200) y en el segundo N(1.700, 130). Calcular la probabilidad de que las ventas de la primera superficie superen en 200 unidades a la segunda, en una determinada semana, bajo el supuesto de independencia. Sol.: Sean X e Y las unidades vendidas semanalmente en cada establecimiento, respectivamente. Entonces, X – Y es N(300; 238,54). Desde luego P(X–Y = 200) = 0 pero si hacemos una corrección por continuidad (ya que, en realidad, X – Y es una variable discreta), tendremos que P(X–Y = 200) = P(199,5 < X–Y<200,5) = 0, 56º) Si tenemos tres distribuciones normales X 1 : N(5, 2) ; X (^) 2: N(–3, 1) y X (^) 3: N(2, 5), ¿cómo se distribuye la variable aleatoria U= X 1 + X 2 – X 3 ?. Representar gráficamente la función de densidad de U.
Sol.: N ( 0 , 30 );
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57º) Tenemos una variable aleatoria distribuida normalmente, X, de media 16 y
varianza 9. Calcular P (X− 16 ≥ 5 ) y hallar una cota de dicha probabilidad mediante el
teorema de Chebyshev. Sol.: P = 0,097 ; P ≤ 9/ Teorema Central del Límite 58º) Una empresa aseguradora de automóviles estima que la probabilidad de que un automóvil asegurado tenga al menos un accidente al año es 0,01. Si su cartera de clientes consta de 8.000 vehículos, se pide: a) distribución del número de automóviles accidentados de sus clientes al año; b) número esperado de automóviles accidentados en el año. Sol.: a) La variable X = “nº de automóviles accidentados” es B(8000; 0,01) ↔
↔P[X = x] = (^)
x
(^8000) ·0,01 x·0,99 8000–x (^) ↔ F(x) = · 0 , 01 i (^) · 0 , 998000 i i
(^). Pero (teorema de
Moivre) X es aproximadamente N(80; 8,9) y en este caso P [X= x] = P[x – 2
< X < x + 2
]=
x F 8 , 9
x F , donde F es la función de distribución de la N(0, 1);
b) E(X) = 80. 59º) Los gastos de transporte que realiza una oficina oscilan uniformemente entre 100.000 y 140.000 pts. al mes. Se pregunta: a) ¿cuál es la probabilidad de que en un mes determinado el gasto en transporte sea exactamente 120.000 pts.?; b) calcule la desviación típica del gasto mensual; c) estimándose que el gasto en transporte es excesivo, se pretende llevar a cabo un control para comprobar la necesidad de dicho gasto. Para ello se observa aleatoriamente el gasto mensual durante tres años. ¿Cuál es la probabilidad de que el gasto mensual medio, durante esos tres años, sea superior a 130.000 pts.?
Sol.: a) P = 0; b) σ = 3
; c) Si X (^) i = “gasto de transporte en el mes i” ⇒
X = ∑
=
36 i 1 i
X
se distribuye aproximadamente (^)
N 120000 , , luego P[X > 130000] =
P^ [ Z^ > 3 3 ]≅ 0
60º) Las variables aleatorias X (^) 1, X (^) 2, ..... , X (^) n son independientes y tienen una
distribución uniforme definida por la función de densidad f(x) = {1 2 0 , en el resto, 0^ ≤^ x^ ≤^2.
Consideremos la variable aleatoria Yn =
n 1 X^ i
n
∑. Hallar la probabilidad de que Y n sea mayor
que 0,9 para n = 36.
Sol.: Y (^) n es aproximadamente N (^)
1 , ⇒ P[Y (^) n > 0,9] = 0,
61º) Un concesionario de automóviles vende vehículos de la misma marca. Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos esté funcionando 4 años después es de 0,6, determinar la probabilidad de que, de 5.000 automóviles vendidos, más de 3.000 estén en servicio dentro de 4 años.
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67º) Si U y V son dos variables aleatorias independientes tales que la variable U tiene una distribución normal N(0,1) y V tiene una distribución χ^2 con 25 grados de libertad, hallar
P
U
V
Sol.:p = 0, F-Snedecor 68º) Las variables aleatorias X e Y son independientes y tienen distribuciones χ^2 con 30
y 10 grados de libertad respectivamente. Hallar en P
X
Y
m 3
= , el valor de m.
Sol.: m = 2, 69º) Se consideran dos variables aleatorias χ^2 , U y V independientes, con 5 y 30
grados de libertad, respectivamente. Hallar P
U
V
Sol.: p = 0, 70º) Hallar: 1) t 1 en P(t≤t1) = 0,90 , siendo n = 9 y 2) f 1 en P(F>f1) = 0,01 , siendo n (^1) y n 2 iguales a 12. Sol.: 1) t 1 = 1,383 ; 2) f 1 = 4, 71º) Se consideran dos variables aleatorias χ^2 , U y V , independientes, con 5 y 30
grados de libertad, respectivamente. Hallar P
U
V
Sol.: 0,
CAPÍTULOS 5, 6 Y 7: MUESTREO Y ESTIMACIÓN PUNTUAL.
72º) Consideremos una variable aleatoria X representativa de una población, cuya
función de densidad es f(x) =
0 enel resto
3 k , 4 x 6 , donde k es una constante a determinar.
Supongamos extraída una muestra aleatoria simple de tamaño 50. Se pide: a) calcular la media y la varianza de la “media muestral” ; b) calcular la media de la “varianza muestral”.
Sol.: k = 6
, μ = E(X) = 5 y σ^2 = Var(X) = 3
luego: a) E( X) = 5;
Var ( X )= 150
; b) E(S 2 ) = σ^2 = 3
[Mayo 97 (plan antiguo)]
73º) De una población normal N(μ, 1) se obtienen muestras de tamaño 2; como estimadores de μ se consideran los siguientes:
1 3 X 1 X 2
μˆ = + ; 2 1 X 2 5
X
μˆ = + ; 2
X X
μ =
Se pide: a) determinar si son o no estimadores insesgados; b) hallar su varianza; c) estudiar su eficiencia; d) estudiar su distribución en el muestreo.
Sol.: a) ( μ ) = μ 3
E ˆ 1 ⇒ no es insesgado; ( μ ) = μ 3
E ˆ 1 ⇒ no es insesgado; E( μˆ 3 ) =μ⇒ sí
es insesgado; b) ( ) 9
ˆ^13
Var μ 1 = σ^2 = ; ( ) 5
ˆ^4
Var μ 2 = σ^2 = ; ( ) 2
ˆ^1
Var μ 3 = σ^2 = ; c) μˆ 3 es el
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más eficiente por ser insesgado y poseer la menor varianza; d) μˆ 1 es (^)
μ 3
N ; μˆ 2 es
μ 5
N ; μˆ 3 es
μ 2
N , [Sep 97 (plan antiguo)]
74º) Supongamos que el Banco de España decide efectuar una investigación sobre los rendimientos obtenidos por la banca española con un determinado producto financiero. Para ello selecciona una muestra aleatoria simple de 9 bancos, y además dispone de la información de que los rendimientos de producto en cuestión, en todo el conjunto bancario, se distribuye según una distribución normal de media 6% y de desviación típica del 3%. Sobre la base de ello se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el rendimiento medio muestral se mantenga entre el 5% y el 7%?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 9?. c) El valor de K tal que P[S 2 > K] = 0,98. d) Suponiendo, ahora, que la desviación típica para todo el conjunto bancario fuera desconocida, y conociésemos que la desviación típica de la muestra de 9 bancos es del 2%, se pide obtener la probabilidad de que la media muestral sea superior al 8%. Sol.: a) 0,6827; b) 0,4335; c) K = 2,2865; d) 0,0085 [Sep. 99] 75º) Como estimador del parámetro a de la función de densidad f(x; a) = a·e–ax, para
x ≥0, en muestras aleatorias simples de tamaño n, se considera el estadístico: R =
∑
n
i 1
Xi
n .
Demuéstrese que es un estimador suficiente.
Sol.: f(x 1 , x 2 , ..., x (^) n, a) = a ·e a ·e a·e · 1
n R n a R
a n a xi n
− (^) ∑ − −
. Llamando g(R, a) =
n R
a a· e
y h(x (^) 1, x (^) 2, ..., x (^) n) = 1, del teorema de factorización de Fisher-Neyman se deduce
que R es suficiente para estimar a. [Sep. 98 (plan antiguo)] 76º) La estimación de un parámetro a partir de una muestra se puede comparar al tiro al blanco con fusil. En este paralelismo:
- El centro de la diana representa el verdadero valor del parámetro.
- Cada disparo representa una estimación (muestra) concreta.
- El fusil es el estimador (es decir, la fórmula de estimación). En el planteamiento de este símil, ¿cuándo diremos que el fusil será eficiente? Sol.: Debe ser en primer lugar insesgado, es decir, el valor esperado debe ser el centro de la diana ( es decir, cuando se apunte al centro se espera que dé en el centro) y además la varianza del estimador debe ser la mínima, es decir, el fusil no tiene que tener ninguna desviación. [Jun. 99] 77º) ¿Guarda alguna relación el concepto de estimador eficiente y la cota de Cramer- Rao. Sol.: La cota de Cramer-Rao proporciona un límite inferior para la varianza del estimador. Si un estimador es eficiente, su varianza es la mínima y coincide con la cota de Cramer-Rao [Jun. 99] 78º) De una población binomial se extrae una muestra Xi = {1,1,0,1,0,0,1,0,1,0}. Estímese el parámetro “p” por el método de máxima verosimilitud.
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Sol.: a) P = 0,08; b) λ = X [Junio 97 (plan antiguo)]
85º) Dada la función de densidad f(x; a) = a
x
a^2 e
x − , con x ≥ o; a ≥ 0, se pide: a) calcular
el estimador de máxima verosimilitud de a en muestras de tamaño n; b) ¿es insesgado?.
Sol.: a) L(X (^) 1, X (^) 2, ..., X (^) n, a) = a
X
2 n
n
i 1
i
n i 1 i e a
X −∑=
=
∏ → ln L = a
X
lnX 2 nlna
n
i 1
n i
i 1
i
∑ ∑
=
2
n
i 1
i
a
X
a
2 n a
ln L ∑= =− + ∂
= 0 → (^) ∑
n
i 1 2 n Xi
aˆ^ (Se trata de un máximo pues
∑ ∑ = =
∂ n
i 1
i
n
i 1
2 3 i
2 X 2 n
an X 0 para a a
a
ln L ); b) Calculemos en primer lugar E(X):
E(X) = (^) ∫
∞ (^) − 0
a
x 2 a^2 x e dx
= 2a ( integrando dos veces por partes). Luego E( aˆ ) =
= ( ) 2 n
2 na 2 a 2 n
EX
2 n
1 n i 1
n
i 1
∑ i^ =^ ∑ = = =
= a , por tanto sí es insesgado. [Junio 98 (plan antiguo)]
86º) Una empresa ha decidido lanzar al mercado una determinada marca de coche. Al objeto de planificar su producción, supone que el coche que va a ofrecer puede ser adquirido por el 10% o por el 20% de los habitantes de una gran ciudad. A tal efecto, consultados 10 habitantes, sólo 3 de ellos se muestran dispuestos a la adquisición del coche. Si suponemos que la muestra de las 10 consultas obtenidas es aleatoria simple, se pide conocer qué porcentaje de los dos contemplados será tomado en consideración por la empresa si la elección entre ambos se efectúa con base en el criterio de máxima verosimilitud.
Sol.: Si p = 0,1 ⇒ P[X = 3] = (^103) · 0 , 13 · 0 , 97
(^) = 0,05; si p = 0,2 ⇒ P[X = 3] =
(^) = 0,20 luego es más verosímil suponer que p = 0,2. [Junio 99 (3º)]
CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
87º) Obtener un intervalo de confianza del 99% para la media de una población normal, siendo la media muestral 10, la desviación estándar poblacional 4 y el tamaño de la muestra 49 (Sol.: [8,5351 , 11,4649]) [jun.-97-2ª ] 88º) En una población normal tal que, para una muestra de tamaño 10, la varianza muestral es 4 y la media muestral es 11, encontrar un intervalo de confianza del 90% para la media de la población. (Sol.: [9,778 , 12,22]) [jun.-97-1ª ] 89º) De una población normal se extrae una m.a.s. de tamaño 25, calculándose la desviación estándar muestral que es 4. Hallar un intervalo de confianza del 90% para la desviación estándar de dicha población (tómense áreas iguales en los extremos de la distribución correspondiente). (Sol.: [3,31 , 5,37]) [sept.-97 ]
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90º) Obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de una población normal, siendo la media muestral 12, la desviación estándar poblacional 3 y el tamaño de la muestra
- (Sol.: [11,02 , 12,98]) [jun.-96-2ª ] 91º) En una población normal se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 12, calculándose la desviación estándar muestral, que es 3. Hallar un intervalo de confianza del 90% para la varianza de dicha población (tómense áreas iguales en los extremos de la distribución correspondiente). (Sol.: [5,49 , 23,6]) [jun.-96-1ª ] 92º) Obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de una población normal, siendo la media muestral 6, la desviación estándar poblacional 4 y el tamaño de la muestra 25 (Sol.: [4,432 , 7,568]) [sept.-95 ] 93º) De una población normal se extrae una m.a.s. de tamaño 16, calculándose la desviación estándar muestral que es 4. Hallar un intervalo de confianza del 95% para la varianza de dicha población (tómense áreas iguales en los extremos de la distribución correspondiente). (Sol.: [9,31 , 40,88]) [jun-95-2ª ] 94º) En una población normal tal que, para una muestra de tamaño 10, la varianza muestral es 4 y la media muestral es 5, encontrar un intervalo de confianza del 90% para la media de la población. (Sol.: [3,778 , 6,222]) [jun.-95-1ª ] 95º) Obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de una población normal, siendo la media muestral 10, la desviación estándar poblacional 4 y el tamaño de la muestra 25 (Sol.: [8,432 , 11,568]) [jun-94-2ª ] 96º) Dadas la media muestral, cuyo valor es 4 y la desviación estándar muestral que es igual a 3, estando la variable aleatoria distribuida normalmente, determinar los límites de confianza del 95% para μ con una muestra de tamaño 10. (Sol.: [1,738 , 6,262]) [jun-94-1ª ] 97º) Elegida una muestra de 100 pilas se observa una duración media de 158 horas con una desviación típica muestral de 30 horas. Hallar un intervalo de confianza de nivel 0,99 para la duración media μ. (Sol.: [150 , 166]) [sept.-93 ]
98º) Conocidos X = 3 ; S = 2 y n = 12, estando X distribuida normalmente, encontrar los límites de confianza del 90% para μ. (Sol.: [1,92 , 4,08]) [jun-93-1ª ]
99º) Conocidos X = 10 ; S = 3 y n = 10, estando X distribuida normalmente, encontrar los límites de confianza del 95% para μ. (Sol.:[7,738 , 12,262]) [sept-92 ] 100º) Obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de una población normal, siendo la media muestral 10, la desviación estándar poblacional 4 y el tamaño de la muestra 16 (Sol.: [8,04 , 11,96]) [jun-94-2ª ] 101º) Las ventas anuales de cierta empresa se distribuyen Normal con media μ (desconocida) y desviación típica 2 unidades monetarias (u.m.). En los últimos años se han observado las siguientes ventas en u.m.: 12, 13, 10 y 13. Construir un intervalo de confianza para el parámetro μ al nivel de confianza del 90 %. Sol.: [10,35 ; 13,65] 102º) La distribución de la "calidad de cierto producto" es una población N(α,1). Estimar el intervalo de confianza, del 95 %, para el parámetro α si la muestra aleatoria simple de calidades observadas es: 1, 1, 2 y 1. Sol.: [0,27 ; 2,23] 103º) El peso en toneladas del rendimiento agrario de ciertas tierras cultivadas, sigue una distribución N(α, 3). Los últimos rendimientos independientes observados han sido 48, 53 y 49. Obtener un intervalo de confianza del 95%, de nivel de confianza, para la media α. Sol.: [46,60 ; 53,39]
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Sol.: Sea H (^) 0: μ = 3 y H (^) 1: μ ≠ 3. Bajo la hipótesis nula, la variable 5 S
X − 3
es t 4 y de
las tablas se obtiene la región crítica de tamaño 0,05: t 4 ≥ 2,276. Para la muestra efectuada,
5 s
x − 3 = 0,4313 luego se acepta H (^) 0.
109º) Un comerciante vende naranjas cuyo peso individual es una variable aleatoria normal cuya media es 180 gr según nos asegura. Un cliente pesa las naranjas que le ha comprado y sus pesos individuales han resultado ser (en gramos): 170, 150, 190 y 160. ¿Aceptará el cliente la hipótesis del comerciante a partir de la información proporcionada por tal muestra, con un nivel de significación del 5%?
Sol.: Sea H (^) 0: μ = 180 y H (^) 1: μ ≠ 180. Bajo la hipótesis nula, la variable 3 S
X − 180
es
t 3 y de las tablas se obtiene la región crítica de tamaño 0,05: t 3 ≥ 3,182. Para la muestra
efectuada, 3 s
x − 180 = –1,268 luego se acepta H (^0)
110º) En una población N(μ, 1), se pretende contrastar la hipótesis H 0 : μ = 2, frente a la hipótesis alternativa H (^) 1: μ = 6; para efectuar el contraste nos hemos decidido por la siguiente prueba:
- Aceptar H (^) 0: μ = 2, cuando la media muestral sea menor que 4.
- Aceptar H (^) 1: μ = 6, cuando la media de la muestra sea mayor que 4. Suponiendo que dicha contrastación se va a realizar a través de la inferencia implícita en muestras aleatorias simples de tamaño 10, se pide: 1) ¿cuál es el valor del nivel de significación α?; 2) ¿cuál es la probabilidad de cometer error de tipo II?; 3) ¿cuál es la potencia del contraste?; 4) efectuar el contraste suponiendo que la muestra concreta obtenida ha sido (1, 3, 5, 4, 4, 3, 4, 5, 2, 3).
Sol.: 1) Bajo la hipótesis nula, X es (^)
N 2 , ⇒ α = P( X >4) ≅ 0; 2) Bajo la
hipótesis alternativa, X es (^)
N 6 , ⇒ β = P( X <4) ≅ 0; 3) potencia del contraste =
= 1 – β ≅ 1; 4) puesto que x = 3,4 , se acepta H (^) 0. 111º) Una variable aleatoria X puede tener una de las dos distribuciones de probabilidad siguientes:
siendo 0 x 1 h(x) 6 x 6 x
f(x) 2 2 x 2 ≤ ≤
Mediante el lema de Neyman-Pearson, y con una muestra aleatoria de tamaño uno, determine la mejor región crítica de tamaño 0,1 , si se considera como hipótesis nula la función f(x) y como hipótesis alternativa la función h(x). Calcule la potencia del contraste.
[Sol: 6 x 6 x
2 2 x −^2 +
− ≤ K dentro de R ↔ 6 x
≤ K ↔ x ≥ K′
0,1 = (^) ∫ ( − )
1 x
2 2 tdt= 1 −2x + x 2 = (1 − x) 2 ↔ x = 1 − 0 , 1 ≅ 0,6838 , luego la mejor región crítica es el intervalo [0,6838 , 1].
TUTORÍA DE ESTADÍSTICA EMPRESARIAL (2º A.D.E.) http://telefonica.net/web/imm β = P( 0 < x < 0,6838 / X se distribuye con función de densidad h(x)) =
∫ (^ − + )
0 , 6838 0 6 xdx 6 x^2 = 0,7632. Luego la potencia de contraste 1 − β = 0,.
112º) En la función de densidad f(x; a) = ae−ax^ para x>0, se ha contrastado la hipótesis nula H (^) 0(a = a0) frente a la hipótesis alternativa H 1 (a = a1), con un nivel de significación del 15%, mediante una muestra aleatoria de tamaño 1 y una potencia de 0,92, resultando como mejor región crítica x< 0,054 ( siendo x el valor muestral). Calcúlense los valores del parámetro “a” bajo las dos hipótesis (a 0 , a1).
Sol.: 0,15 = (^) ∫ −^ = − −
0 , 054 0
ax 0 , 054 a 0 a e^0 dx 1 e^0 ⇒ a 0 ≅ 3
0,92 = 1 – e−^0 ,^054 a^1 ⇒ a 1 ≅ 46, 113º) Una población normal tiene varianza σ^2 = 9. Encontrar la probabilidad β para la hipótesis H 0 : μ = 1, frente a H (^) 1: μ = 2 a un nivel de significación del 10% para una muestra de
tamaño 25 (β, probabilidad de cometer error de tipo II). [ Sol.: P(Z< − 0,387) = 0,3483 ]
114º) En una distribución normal de media cero se efectúan dos hipótesis sobre la varianza. Una hipótesis nula, que su valor el igual a 16, y una hipótesis alternativa, que es igual a 4. Obténgase la mejor región crítica para n = 10 y un nivel de significación α = 0,10.
¿Rechazaría la hipótesis de que σ = 4 si (^) ∑
10
i 1
2 x (^) i = 85,9? [ Sol: la mejor región crítica es
∑
10
i 1
2
xi ≤ 77,84 ; no se rechazaría la hipótesis ]
115º) En una población normal de desviación estándar 4 , hallar el tamaño de la muestra aleatoria simple para contrastar la hipótesis nula de que la media es cero frente a la alternativa de que la media es −3, siendo la probabilidad del error de tipo I igual a 2,5% y la probabilidad del error de tipo II igual al 10%. [ Sol.: n = 19 ] 116º) Supongamos que X 1 , X (^) 2, ..., X (^) n es una muestra aleatoria de una población con distribución normal con media μ = 10. Encontrar la mejor región crítica para contrastar H 0 (σ^2 = 16) respecto a H 1 (σ^2 = 36). Aplicarla al caso n = 12 y α = 0,05. [Sol.: la mejor región
crítica es (^) ∑
12
i 1
2
(xi - 10) ≥ 336,48 ]
117º) En una población normal de media cero y varianza σ^2 se quiere contrastar la hipótesis H 0 (σ^2 = 4) frente a la alternativa H 1 (σ^2 = 6,4) .Si se toma una muestra aleatoria de
tamaño 10 y (^) ∑
10
i 1
2 x (^) i= 45,2, ¿debería aceptarse la hipótesis H 0 a un nivel de significación del
5%? Justifique la respuesta.[ Sol.: se acepta H 0 pues R: (^) ∑
10
i 1
2
xi ≥ 73,228 ]
118º) En una población normal (μ, 1) se desea contrastar la hipótesis H 0 (μ = 1) frente a la alternativa H 1 (μ = 4) con un nivel de significación del 5% y una potencia de contraste del 95%. Determinar el tamaño de la muestra. [ Sol.: n = 2 ] 119º) Si en una población normal de media cero se quiere contrastar la hipótesis nula de que la desviación estándar es 10 frente a la alternativa de que es 5 (supuestos una muestra y un
