¡Descarga Concepto de variable aleatoria: Teoría y ejemplos y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!
Ejemplos a modo de introducción
1) Experiencia aleatoria: Lanzamiento de un dado dos veces , cuyo
espacio muestral es
= 1 x 2 , donde i= 1,2,3,4,5,6
Supongamos que estamos interesados en describir
probabilísticamente la magnitud “suma de ambos resultados”.
Definimos
Esquema del TEMA 2. Concepto de variable aleatoria
i j i j
i j i j
( ) X( , )
X:
X
Los posibles valores de la magnitud, forman un conjunto,
denominado recorrido de X, X() ; en este caso, el conjunto
discreto (finito):
X( ) 2 3 4 , , ,..., 12
La función que nos informa sobre cuán probable es cada valor de
X, se denomina función de densidad de probabilidad , f(x) , (modelo
de probabilidad de X):
Fácilmente, puede obtenerse:
f(x) p(X x) p(A) , donde A es el suceso A | X( ) x
para el resto de
x (^) , x , , , , ,
f(x) x , x , , , ,
(f( ) 3 p(X 3 ) p(A) , A (^) | X( ) (^3) ( , );( , ) ) 1 2 2 1
- Se lanza n veces una moneda, donde p es la probabilidad de
cara en cada ensayo o tirada (q=1-p, probabilidad de cruz):
1 x 2 x...x n ; i (^) C,R , i 1 2, ,...,n
Se considera la variable:
nº de caras obtenidas con recorrido
( ) , , ,...,n
X:
X
0 1 2
Su función de densidad de probabilidad es:
n (^) p (x (^) p)n x n p qx n x , x , , ,...,n f(x) (^) x x , en el resto de
^ ^ ^
El siguiente esquema justifica la obtención de este modelo de probabilidad (al efecto, llamemos Xn = X , donde el índice hace referencia al nº de lanzamientos):
Obtener x caras en los n ensayos
Inicio de la exper.
n-1 primeros ensayos último ensayo
p(Xn-1= x-1) p
p(Xn-1= x) (^) q
(Obtener x caras en n tiradas o ensayos, supone obtener x-
caras en las n-1 primeras tiradas y cara en la siguiente tirada,
o bien, obtener las x caras en las n-1 primeras tiradas y cruz
en la siguiente). Teniendo en cuenta la independencia entre
ensayos, se obtiene la siguiente expresión recurrente y de ésta
el resultado procediendo por inducción sobre n
n n n n n
f(x) p(X x )p p(X x)q f (x) f (x )p f (x)q
1 1 1 1
n=10, p=0.
Modelo Binomial
x
f(x)
0
0,
0,
0,
0,
n=10, p=0.
Modelo Binomial
x
f(x)
0 2 4 6 8 10
prob. éxito 0,
Modelo Geométrico
x
f(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
0,
0,
0,
0,
0,
- Retomando la experiencia del giro libre de flecha en ruleta, lo
que se observa es una magnitud numérica y en este caso, como
en muchos otros, no distiguimos entre espacio muestral y variable
aleatoria o, dicho de otro modo, la variable X no es otra cosa que
la función identidad. Su función de densidad, f(x) , permite, por
integración, calcular probabilidades a nivel de intervalos de
variación y, en ningún caso, su valor en x se corresponde con
probabilidad alguna (incluso, puede ocurrir que f(x)>1 para algún
x):
b a
b a
en el resto de
para
f(x)^ ,^ x
dx b^ a I (a,b) [ , )
p(a X b) f(x)dx
(^)
Este modelo de probabilidad es denominado uniforme sobre el intervalo [0,2)
- Tal y como ocurre en el ejemplo anterior, al observar el tiempo
de espera hasta que un cuerpo radioactivo emite una partícula,
define una variable aleatoria, T, indistinguible del correspondiente
espacio muestral. Se trata de identificar su función de densidad,
f(t) (para t>0), siendo en éste y en la mayoría de los modelos
continuos una tarea nada evidente. Vamos a considerar la
probabilidad de que transcurra un tiempo superior a un t dado,
p 0 (t) :
Por tanto, si localizamos p 0 (t) , el problema estará resuelto. Para
ello, consideramos N(t) = nº de partículas emitidas en un
intervalo de tiempo de amplitud t ( (0,t] o (t 0 , t 0 +t] , por
ejemplo). Si el intervalo es de amplitud h (suficientemente
pequeña) podemos suponer:
t p (t) p(T t) p(T t ) f(t)dt dp (t) (^) f(t) dt
(^0) 0 0
y por tanto
p(N(h) ) h p(N(h) ) , p(N(h) ) h
Ecuación diferencial (lineal de primer orden) con solución
particular (p 0 (0)=1) t 0
f(t)= t^ , t
p (t) e
e
^
0 t^ t+h
h
p (t h) p (t)p(N(h) ) , ( se asume independencia ) p (t)( h) p (t) hp (t)
p (t h) p (t) (^) p (t) h lim p (t^ h)^ p (t) p (t) h
dp (t) (^) p (t) dt
0 0 0 0 0
(^0 )
(^0 ) 0
(^00)
Este modelo de probabilidad se denomina exponencial de parámetro
.
- Se considera X= longitud de tronco (en cm.) correspondiente a
una población (jóvenes varones, escolares de 13 años en la
ciudad de Manchester); magnitud o característica de naturaleza
aleatoria. Se supone o se parte de la hipótesis que los factores que
determinan esta medida -de índole genético y ambiental
(condiciones de vida, alimentación, ejercicio, enfermedades,
etc.)- son innumerables y contribuyen con igual peso y de manera
independiente al valor X:
Veremos más adelante que cuando una variable se expresa como
suma de un número grande de variables independientes, del
mismo tipo, el modelo de probabilidad de ésta es muy próximo al
modelo de probabilidad Normal o de Gauss (siglo XIX) (Gauss-Laplace) ,
N(,) , modelo continuo, cuya función de densidad presenta la
forma
n i contribucion de i-esimo factor nº considerable
X X X ... X
X
n
1 2
(x )
parametros (constantes) ,
f(x) e , - x
^
2 (^1122) 2 0
Modelo Normal o de Gauss
x
f(x)
62 67 72 77 82 87 92
0
Gráfica de la función de modelo Normal N(77,3.7) :
Tabla de frecuencias para longitud tronco (n=173)
Clase Limite inf Limite sup. Marca cl. Frecuencia Frecuencia relativa valor exacto*
1 67,0 69,2222 68,1111 5 0,0289 0, 2 69,2222 71,4444 70,3333 7 0,0405 0, 3 71,4444 73,6667 72,5556 17 0,0983 0, 4 73,6667 75,8889 74,7778 33 0,1908 0, 5 75,8889 78,1111 77,0 50 0,2890 0, 6 78,1111 80,3333 79,2222 31 0,1792 0, 7 80,3333 82,5556 81,4444 19 0,1098 0, 8 82,5556 84,7778 83,6667 7 0,0405 0, 9 84,7778 87,0 85,8889 4 0,0231 0,
media = 76,9238 desviación estándar = 3,
- Valor exacto según el modelo normal N(76,9238 ; 3,69063):
para una clase o intervalo I=(a,b), el valor exacto se establecería mediante b b a a b a
(x )
(x. ) .
p(a X b) f(x)dx dx
dx .
e
e
^
(^) (^)
2 2
2 2
1 2
1 76 92 (^2) 3 7
Definición de variable aleatoria. Sea el espacio muestral
asociado a una experiencia aleatoria. Una aplicación
Concepto de variable aleatoria.
es una variable aleatoria, si puede ser descrita probabilísticamente con ayuda de la probabilidad definida sobre el álgebra de sucesos correspondiente.
Función de distribución de una variable aleatoria. Dada X, variable aleatoria, su función de distribución o función de distribución de probabilidad se define de la forma siguiente
X :
X( )
0 1
F :
x F(x) p(X x) p( | X( ) x )
[ , ]
Se trata de la función que permite cuantificar la probabilidad de que la variable tome a lo sumo (como máximo) un valor dado x. Se verifican fácilmente las siguientes propiedades:
) Si x 1 x , entonces F(x ) F(x ) ) p(a X b) F(b) F(a)
