estadisticos de dispersion, Apuntes de Estadística

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ESTADÍSTICOS DE

DISPERSIÓN

TEMA N° 4

ING. PATRICIA DAZA MURILLO

TIPOS ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN

• AYUDA A MEDIR EL GRADO DE DISPERSIÓN O CONCENTRACIÓN DE DATOS. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN ABSOLUTOS RANGO O RECORRIDO RANGO INTERCUARTÍLICO DESVIACIÓN DEL CUARTIL DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA VARIANZA DESVIACIÓN TÍPICA RELATIVOS COEFICIENTE DE VARIACIÓN

EJERCICIO

• Determinar el rango: a) 9 10 11 12 13 14 15 b) 6 8 10 12 14 16 18
• A mayor valor del rango, entonces mayor grado de dispersión de los datos o menor grado de concentración de los mismos. A menor valor del rango, menor dispersión de los datos o mayor concentración de los mismos.

RANGO INTERCUARTÍLICO O RECORRIDO INTERCUARTÍLICO

• CON EL FIN DE SUPERAR LA DESVENTAJA DEL RANGO COMO MEDIDA DE DISPERSIÓN, SE EMPLEA A VECES EL RANGO INTERCUARTILICO O SEMI INTERCUARTIL.
• SE DEFINE COMO LA DIFERENCIA ENTRE EL TERCER Y PRIMER CUARTIL ( 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 ) LOS PERCENTILES ( 𝑷𝟕𝟓 − 𝑷𝟐𝟓 ) ES DECIR.

RI = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏

RI = 𝑷𝟕𝟓 − 𝑷𝟐𝟓

• ESTA MEDIDA DE DISPERSIÓN ES EVIDENTEMENTE, MÁS EXACTA QUE EL SIMPLE

RECORRIDO DE LA VARIABLE, YA QUE EVITA EL INCOVENIENTE DE VALORES

EXTREMOS ANORMALES, TOMANDO AQUELLOS DOS VALORES QUE DEJAN ENTRE

SI EL 50% DE LOS VALORES (LOS MAS CENTRALES) DE LA VARIABLE.

RANGO INTERCUARTÍLICO O RECORRIDO INTERCUARTÍLICO

Determinación de los cuartiles para datos no agrupados:

𝒊 ∗(𝒏+𝟏) 𝟒 Si es un número entero 𝑿𝒊 = 𝑸𝒊 Si es un número impar se debe interpolar entre los dos valores de la fracción. EJEMPLO: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟒 𝑿𝟓 𝑿𝟔 𝑿𝟕 𝑿𝟖 𝑿𝟗 𝑿𝟏𝟎 𝑿𝟏𝟏 𝑿𝟏𝟐 𝑿𝟏𝟑

RANGO INTERCUARTÍLICO O RECORRIDO INTERCUARTÍLICO

• Si el rango intercuartílico es muy pequeño, entonces se puede indicar

que el conjunto de datos es uniforme mostrando bajo grado de

dispersión o bien alto grado de concentración.

• Si el rango intercuartílico es muy grande, entonces se puede indicar que el

conjunto de datos tiene un alto grado de dispersión o bien bajo grado de

concentración.

DESVIACIÓN DEL CUARTIL

• LA DESVIACIÓN DEL CUARTIL O DESVIACIÓN CUARTÍLICA SE SIMBOLIZA CON LAS LETRAS “D” Y “Q” MAYÚSCULAS. LA MITAD DEL RANGO INTERCUARTÍLICO ES UNA MEDIDA LLAMADA DESVIACIÓN DEL CUARTIL ES DECIR:

DQ=

APLICAR CON LOS RESULTADOS:

• LA DESVIACIÓN DEL CUARTIL, MIDE EL RECORRIDO PROMEDIO DE UN CUARTO DE LOS DATOS.

• ES REPRESENTATIVO DE LA DISPERSIÓN DE LOS DATOS, YA QUE SE CALCULA, TOMANDO EL PROMEDIO

DE LA MITAD DE LOS ELEMENTOS DEL MEDIO EN LUGAR DE ESCOGER UNO DE LOS CUARTOS.

DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA (DM)

• LA DESVIACIÓN MEDIA ES UNA MEDIDA DE DISPERSIÓN QUE TAMBIEN SUPERA LA DESVENTAJA DEL RANGO O RECORRIDO QUE SE LIMITABA A ANALIZAR LOS DOS VALORES EXTREMOS (EL VALOR SUPERIOR Y EL VALOR INFERIOR). EN EL CASO DE LA DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA, SE TOMAN EN CUENTA A TODOS LOS VALORES OBSERVADOS SU SIMBOLOGIA ES: “DM” - DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS: 𝐷𝑀 = 𝑖= 1 𝑛 𝑋𝑖 −× 𝑛
• “DM”= Símbolo de la desviación media.
• 𝑋𝑖= Valor de cada variable.
• × = Media aritmética
• n= Número total de observaciones
• 𝑋𝑖 −× = Es el valor absoluto de la desviación 𝑋𝑖 respecto de ×. El valor absoluto de un número sin el signo asociado y se indica con dos líneas verticales colocadas a los lados del número.

EJERCICIO

• LOS DATOS A CONTINUACIÓNMUESTRAN LA EDAD DE 5 PERROS DE RAZA PASTOR ALEMAN: 14 6 8 9 5 DETERMINE E INTERPRETE EL VALOR DE LA DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA DE LA EDAD DE ESTOS CANES. OBSERVACIÓN 𝑋𝑖 DESVIACIÓN 𝑿𝒊 − 𝑿 DESVIACIÓN ABSOLUTA

𝑿𝒊 − 𝑿 X =

N n j  X j  1 𝐷𝑀 = 𝑖= 1 𝑛 𝑿𝒊 − 𝑿 𝑛

DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

• DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS: 𝐷𝑀 = 𝑖= 1 𝑛 𝑌𝑖 −× ∗ 𝑓𝑖 𝑛
• “DM”= Símbolo de la desviación media.
• 𝑌𝑖= Valor de cada iésima marca de clase o cada unos de los valores observados (en el caso de tablas sin intervalos de clase) si tienen frecuencia absoluta.
• × = Media aritmética
• 𝑓𝑖 = Frecuencia absoluta de la iésima clase.
• n= Número total de observaciones
• 𝑌𝑖 −× = Es el valor absoluto de la desviación de cada marca de clase𝑌𝑖 respecto de ×. El valor absoluto de un número sin el signo asociado y se indica con dos líneas verticales colocadas a los lados del número.

EJERCICIOS

Calcular la deviación media de la siguiente distribución de

frecuencias que resume las estaturas de 70 estudiantes

universitarios de una ciudad.

Valores Observados

TOTAL

𝑖= 1 𝑛 𝑌𝑖 − 𝑋 ∗ 𝑓𝑖 𝑛

𝑖= 1 𝑛 𝑌𝑖 ∗ 𝑓𝑖 𝑛

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE DM Entre la mas importante tenemos:

• Es mejor medida que el recorrido o rango por que toma en cuenta todas las observaciones e indica que tan lejos en promedio se encuentra cada observación de la media aritmética.
• Matemáticamente l cálculo de la desviación media es moroso porque requiere que se determine el valor absolutos.
• Si la Desviación Media Absoluta es alta indica gran dispersión, si es muy baja refleja agrupamientos y que los valores son parecidos entre si.

LA VARIANZA PARA POBLACIONES 𝑽 (𝒙) = 𝑖= 1 𝑛 (𝑋 𝑖 − 𝜇) 2 𝒏 DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS 𝑽 (𝒙) = 𝑖= 1 𝑛 (𝑌 𝑖 − 𝜇) 2 ∗ 𝑓 𝑖 𝒏 𝝁 = Símbolo de la Media Aritmética de una población.

LA VARIANZA PARA MUESTRAS 𝑽 (𝒙) = 𝑖= 1 𝑛 (𝑋 𝑖 −𝑋) 2 𝒏 − 𝟏 DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS 𝑽 (𝒙) = 𝑖= 1 𝑛 (𝑌 𝑖 − 𝑿) 2 ∗ 𝑓 𝑖 𝒏 − 𝟏