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estática de fluidos 2, ejercicios resueltos
Tipo: Apuntes
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La figura muestra la construcción de una presa para almacenar agua, allí se observa las inmensas fuerzas deLa figura muestra la construcción de una presa para almacenar agua, allí se observa las inmensas fuerzas de presión ejercidas por el aguapresión ejercidas por el agua
Se sabeSe sabe que todos los fluidos están compuestos poque todos los fluidos están compuestos por moléculasr moléculas las que se encuentran enlas que se encuentran en movimientmovimientoo aleataleatorio, estas moléculas están muyorio, estas moléculas están muy separadas en los gasesseparadas en los gases mientramientras que están ps que están próximas en losróximas en los líquidos. La distancia entre moléculas es mucho mayor que el diámetro molecular. Debido allíquidos. La distancia entre moléculas es mucho mayor que el diámetro molecular. Debido al continuo movimiento molecular la densidad no tiene un significado preciso, pues el número decontinuo movimiento molecular la densidad no tiene un significado preciso, pues el número de moléculas en un volumen cualquiera está cambiando continuamente. Este efecto cobra importanciamoléculas en un volumen cualquiera está cambiando continuamente. Este efecto cobra importancia si el volumen unidad es mucho mayor que el cubo de espaciamiento molecular. Si la unidad desi el volumen unidad es mucho mayor que el cubo de espaciamiento molecular. Si la unidad de volumen es demasiado grandevolumen es demasiado grande es probablees probable que hayaque haya una variación en la distribución globaluna variación en la distribución global dede partículas. Esta situación se observa en figura 3.2, en donde la densidad (partículas. Esta situación se observa en figura 3.2, en donde la densidad (
), aparece en), aparece en función del volumen escogido, de ella puede apreciarse que hay un volumenfunción del volumen escogido, de ella puede apreciarse que hay un volumen **
cualcual laslas variacionesvariaciones molecularesmoleculares tienentienen importancia,importancia, análogamenteanálogamente porpor encimaencima dede **
variaciones microscópicas también es importante. Entonces la densidad se expresavariaciones microscópicas también es importante. Entonces la densidad se expresa
limlim **
Donde el volumenDonde el volumen **
-9-9 (^) mmmm (^33) para todos los fluidos.para todos los fluidos.
Por otro lado debido a que los problemas ingenieriles estén relacionados con dimensiones físicasPor otro lado debido a que los problemas ingenieriles estén relacionados con dimensiones físicas mucho mayores quo el volumenmucho mayores quo el volumen **
las propiedades del flas propiedades del fluido puedenluido pueden considerarse comoconsiderarse como variabas continuas. Un fvariabas continuas. Un fluido conluido con estasestas características se le llama Medio Continuo. En estas condiciones la densidad se escribecaracterísticas se le llama Medio Continuo. En estas condiciones la densidad se escribe (^)
limlim **
xx,, yy,,zz,, tt (3.2)(3.2) Las unidades de la densidad en el SI es el Kg/mLas unidades de la densidad en el SI es el Kg/m 33 y en el sistema C.G.S es el gr/cmy en el sistema C.G.S es el gr/cm 33
. En la tabla I se. En la tabla I se representa la densidad para diferentes sustancias a presión y temperatura normales.representa la densidad para diferentes sustancias a presión y temperatura normales.
3
3
3
3
Estos valores cambian ligeramente con la temperatura debido a que el volumen de una sustancia cambia con la temperatura.
La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre la densidad de una sustancia y la densidad de otra sustancia considerada como patrón. Para el caso de los fluidos líquidos la densidad patrón considerada es la del agua a 4ºC en tanto que para los gases e considera la densidad del aire, es decir w sus r
En donde el subíndice sus se refiere a la sustancia y el subíndice w se refiere al agua.
El peso específico de una sustancia se define como el peso por la unidad de volumen de una sustancia. Esto es
(3.4) Las unidades de γ son el (N/m 3 ) en el SI y (lb/pie 3 ) en el sistema británico. Por otro lado, debido a que w = mg = ρVg , la ecuación (4) puede escribirse
(3.5)
La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una manifestación normal a la superficie. Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro de una superficie S tal como se ve en la figura 3.3. Si se divide a la superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es
, en donde n , es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza que ejercerá el fluido sobre ΔA es F
. Entonces la presión no es más sino la fuerza por unidad de área, esto es
Puesto que dV/V es adimensional, la unidad de Ev son las mismas que de la presión.
Cuando se observa el movimiento de fluidos se distinguen dos tipos básicos de movimiento. El primero es el flujo laminar aquel movimiento regular en el que las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras en capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulento es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del movimiento de las partículas observándose remolinos de varios tamaños. Para determinar la viscosidad consideremos el flujo laminar de un fluido real que está confinado a moverse entre dos placas de extensión infinita, como se ve en la figura 3.
. El esfuerzo cortante τ, será.
A ^ lim 0
Donde, ΔA, es el área del elemento de fluido en contacto con la placa. En un intervalo de tiempo Δt, el elemento se deforma tal como se muestra en la figura. La rapidez de deformación está dada por
lim t 0
Por otro lado de la figura 3. 5 se observa además que la distancia Δl entre los puntos M y M’ es l v t (3.12) Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse como l y (3.13) Igualando las ecuaciones (3.12) y (3.13), resulta
Llevando al límite ambos lados de la ecuación (3.14), resulta
Si el fluido es newtoniano, el esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformación, esto es
(3.16) En donde μ es la constante de proporcionalidad y se le llama “coeficiente de viscosidad dinámica” En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m 2 y en el sistema c.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamada como poise La viscosidad no depende en gran medida de la presión. Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquido disminuye con un aumento en la temperatura mientras que en un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre moléculas. Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre moléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decir un descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas tienen una alta movilidad y generalmente están separadas existiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras dando lugar a una disminución en la viscosidad.
Se define como la razón entre la viscosidad dinámica y la densidad.
(^) (3.17)
Un fluido se considera estático si todas sus partículas permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a una distancia de referencia inercial. En esta sección se analizará la presión y sus variaciones a través del fluido así como se estudiará las fuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas.
Para determinar la presión en un punto interior a un fluido considerem os un elemento de fluido en forma de cuña como se muestra en la figura 3.6. Debido a que la cuña esta en reposo relativo no hay fuerzas cortantes y las fuerzas que existen son perpendiculares a las superficies.
elemento de fluido de peso dw en forma de paralelepípedo rectangular de lados dx, dy, y dz como se muestra en la figura 3.7. del gráfico se ve que sobre el elemento actúan las fuerzas de presión perpendicularmente a las caras.
Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se cumple. 0
^ ^
x x x x 0
0
^
y y y y
0
^ ^
z z z z
(3.25) Las ecuaciones (3.23) y (3.24) indican que no existe variación en la presión en la dirección horizontal. Por el contrario la ecuación (3.25) muestra que en la dirección vertical si existe variación en la presión
Se ha demostrado anteriormente que la presión experimenta variaciones en la dirección vertical, además se ha mostrado que la presión depende de la densidad así como de la aceleración de la gravedad y como la gravedad varía con la altura entonces afectará a la presión. Sin embargo, para propósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleración de la gravedad como una constante, de otro lado como se trata de un fluido incompresible la densidad es constante entonces la ecuación (3.25) se escribe. z constante
(3.26) A partir de este resultado, se observa que un incremento en la elevación ( dz, positivo) corresponde a una disminución en la presión (dp, negativo). Siendo p 1 y p 2 las presiones en los puntos z 1 y z 2 , respectivamente, la ecuación (3.26) puede integrarse obteniendo ^ 2 1 2 1 z z p p z^
p 2 p 1 g z 2 z 1 (3.27) Por otro lado, si el recipiente está abierto en la parte superior como se ve en la Figura 3.8, la presión a cualquier profundidad h = z 1 – z 2 es p p 0 gh (3.28) Donde po es la presión atmosférica, h es a profundidad medida a partir de la superficie libre.
Usualmente a la presión p se le llama presión absoluta y a la resta de p y po se le llama presión manométrica esto es pma n gh (3.29)
cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vez por Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece:
Sustituyendo la ecuación (3.32) en la ecuación (3.26), resulta
0 0
^ z z p p
0 0 0
De donde, se obtiene
0 0 0 z z p g
(3.33) La ecuación (33) nos da la variación de la presión de un gas con la altura a temperatura constante. Si el gas ideal tiene un gradiente de temperatura expresado por T T 0 z (3.34) Donde To, es la temperatura en un nivel de referencia ( z = 0) y β es una constante que para atmósferas normales β = - 0,0065 ºC/m hasta la estratosfera. De la ecuación de estado se tiene. R T z
0
Sustituyendo la ecuación (3.35) en la ecuación (3.26), resulta R T z
0
Integrando la ecuación (36), teniendo en cuenta nuevamente que la aceleración de la gravedad es constante, obtenemos p z
0
Finalmente se obtiene R g
0 0 0 (3.37)
Los valores de la presión se deben establecer respecto a un nivel de referencia. Si este nivel de referencia es el vacío, las presiones se denominan presiones absolutas, y cuando se toma como origen la presión atmosférica local, la presión se denomina presión manométrica. La figura 3.10 muestra los orígenes y las relaciones de las unidades de las escalas más frecuentes. La presión atmosférica normal es la presión medida a nivel del mar, la que se toma el valor de 1 atm ó 760 mm de Hg. Cuando la presión se expresa por la altura de una columna líquida, se refiere a la fuerza por unidad de área en la base de la columna del líquido. La variación de la presión de un líquido con la altura se expresa como:
p p 0 gh
El barómetro es un dispositivo que nos permite medir la presión atmosférica local consiste en un tubo de vidrio cerrado por uno de sus extremos y abierto por el otro, a este tubo se le llena con mercurio y después tapado el extremo abierto se invierte en una cubeta de mercurio, como se muestra en la figura 3.11. El espacio vacío que se forma en la parte superior del tubo contiene únicamente vapor de mercurio, cuya presión a temperaturas ordinarias es muy pequeña de tal manera que se puede despreciar. Si se comienza en éste punto y se aplica la hidrostática se tiene ,
atm vapor Hg Hg Hg atm Hg
barómetro científico; (c) barómetro con escala para la lectura de la presión atmosférica; (d) presión sobre el Hg.
En la figura 3.13, se muestra una superficie plana en posición horizontal sumergida en un fluido, entonces ella estará sometida a una presión constante.
, de la cara superior de la superficie es
(3.38)
es perpendicular a la superficie y dirigido hacia fuera, el
actúa en contra de la superficie, es decir
.
que actúa sobre toda la placa se puede obtener integrando sobre toda la superficie la ecuación (3.39). Esto es A
(3.39) Teniendo en cuenta que la presión es una función de la profundidad y esta dado por (p = p (^) o + ρgh), la ecuación (3.39) se escribe (^) A
Puesto que la superficie se encuentra horizontal todos los puntos de ella están a la misma profundidad h, entonces
A
El punto de aplicación de la fuerza resultante (centro de presiones) se determina utilizando el
con respecto a los ejes x ó y es igual al momento del conjunto de
con respecto al
, respecto al mismo punto, se tiene
A
A
Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión a una profundidad h^ en la ecuación (3.42), tenemos
A
A
xC x (3.44)
A
A
yC y (3.45)
Las ecuaciones (3.44) y (3.45) indican que la fuerza resultante está dirigida perpendicularmente a la superficie hacia abajo y actúa en el centroide de la placa.
Consideremos ahora el caso general de una superficie plana inclinada sumergida como se muestra en la figura 3.14, localizada en un plano inclinado un ángulo θ con respecto a la horizontal. El plano XY contiene a la superficie. Para encontrar la fuerza resultante se divide a la superficie en elementos de área dA. Debido a que el fluido esta en reposo no existe esfuerzos cortantes, entonces la fuerza actuará perpendicularmente a dA. Esto es
(3.46) Teniendo en cuenta que la presión a una profundidad h es p = po + ρgh, la ecuación (3.46) se escribe
Las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza resultante (Centro de presiones) se determinan utilizando el principio de momentos. El momento de la fuerza resultante con respecto a los ejes x o y es igual al momento de las fuerzas distribuidas respecto a los mismos ejes. La coordenada se obtiene tomando momentos con respecto al eje x, esto es (3.53) Donde , es el momento de inercia de área respecto al eje x. Utilizando el teorema de Steiner el momento de inercia se escribe , en esta ecuación es el momento de inercia de área respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad de la compuerta. La ecuación (52) se escribe (3.54)* La coordenada se obtiene tomando momentos con respecto al eje y, esto es (3.55) Donde , es el producto de inercia de área. Utilizando el teorema de Steiner, el producto de inercia se escribe , en esta ecuación es el producto de inercia de área respecto a los x^ e y^ que pasan por el centro de gravedad de la compuerta. La ecuación (3.55) se escribe (3.56)* Las ecuaciones (3.55) y (3.56) indican que el centro de presiones esta mucho más abajo del centroide, tal como lo muestra la figura 3.15.
Cuando la placa sumeria es curva, la presión que actúa perpendicularmente, cambia de dirección continuamente, y por consiguiente, el cálculo de la magnitud de la fuerza resultante y su localización (centro de presiones) es más difícil que para el caso de una superficie plana, pero puede determinarse con facilidad mediante el cálculo de sus componentes horizontal y vertical, respectivamente. Considere las fuerzas sobre la porción curvada AB mostrada en la figura 3.16a. Sobre cada elemento de superficie dA, se puede calcular la magnitud, la dirección (normal al elemento), y la localización de la fuerza de presión por medio de los principios anteriores, y estas conducirán a la distribución de presión indicada, que se puede reducir a una única fuerza resultante , de componentes, y , según se muestra en la figura 3.16b. (a) (b)
las componentes de la fuerza distribuida sobre la superficie curva. El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura 3.17, permite el cálculo de las componentes de la fuerza resultante ejercida por la superficie AB, y , sobre el fluido, y posteriormente las respetivas e iguales y opuestas y ,
