Apuntes de Clase: Estática de Fluidos, Apuntes de Mecánica de Fluidos

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Emilio Rivera Chávez

Facultad Nacional de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Mecánica

2 Estática de Fluidos

www.erivera-2001.com

Prof. Emilio Rivera Chávez Apuntes de Clase

INTRODUCCION

Cuando un fluido no está en movimiento solo se estudia la distribución de presiones en el fluido y sus efectos sobre los cuerpos sumergidos o en flotación. En este caso la variación de presión se debe solamente al peso del fluido, es decir al efecto del campo gravitatorio.

El estudio de los fluidos en reposo constituye el objeto de la estática de fluidos, una parte comprende la hidrostática o estudio de los líquidos en equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en equilibrio y en particular del aire.

A partir de los conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden considerarse consecuencias. El hecho de que los gases, a diferencia de los líquidos, puedan comprimirse hace que el estudio de ambos tipos de fluidos tenga algunas características diferentes. En la atmósfera se dan los fenómenos de presión y de empuje que pueden ser estudiados de acuerdo con los principios de la estática de gases.

Cuando un fluido se mueve como un sólido rígido, como es el caso de un depósito de líquido que ha estado en rotación durante un cierto tiempo, la variación de presión también puede calcularse de manera parecida al caso de fluidos en reposo puesto que no existen fuerzas de cortadura.

Aplicaciones importantes de este capítulo son: la distribución de presiones en el aire atmosférico, en lagos y océanos; el diseño manómetros (instrumentos de medición de la presión); la determinación de las fuerzas sobre superficies sumergidas; las fuerza de flotación sobre cuerpos sumergidos y la estabilidad de los cuerpos en flotación.

2.1 PRESION

El concepto de presión Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre la superficie del cuerpo. Así, un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre una mayor superficie, puede caminar sin dificultad.

El cociente entre la intensidad F de la fuerza aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada y el área A de dicha superficie se denomina presión:

A

F p 

Entonces; la presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante.

F

A

Prof. Emilio Rivera Chávez Apuntes de Clase

El concepto de presión es muy general y por ello puede emplearse siempre que exista una fuerza actuando sobre una superficie. Sin embargo, su empleo resulta especialmente útil cuando el cuerpo o sistema sobre el que se ejercen las fuerzas es deformable. Los fluidos no tienen forma propia y constituyen el principal ejemplo de aquellos casos en los que es más adecuado utilizar el concepto de presión que el de fuerza.

Presión en un punto de un fluido en reposo.- naturaleza escalar de la presión

Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar.

Para comprobar lo anterior vamos a considerar una pequeña porción de fluido en reposo en forma de cuña tal como se muestra en la figura. Por definición, no hay esfuerzo cortante, pero partamos de la suposición que las presiones px, py y pn son diferentes. Así mismo al ser la cuña un elemento muy pequeño podemos suponer que la presión en cada cara es constante

Al estar elemento fluido en reposo la suma de fuerzas en las tres direcciones debe ser cero.

De la figura se tiene que

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores y reordenando se obtiene

De las ecuaciones anteriores se deduce que: 1.- La presión no varía en la dirección horizontal

∆s

∆z ∆x

∆y

px

py

α

pn

 Fx^  px  y  z  pn  z  s  sen^ ^0

0 2

cos 

       

x y z Fy py x z pn z s   g

dW =ρgdV

0 2 2

' 

 

  

x y p

x y Fz pz z

 s  sen   y ;  s cos x

p (^) x  pn

2

y p (^) y pn g

  

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dx

dz

dy

x

y

z

p

2 2

dy y

dx p x

p p 

  

 

Físicamente, el gradiente de presión es el negativo de la fuerza de superficie por unidad de volumen, debido a la presín 2.- La presión varía en la dirección vertical por acción de la gravedad proporcionalmente a la densidad y a la diferencia de altura.

Sin embargo como nuestro propósito es evaluar la variación de la presión en un punto de un fluido reducimos la cuña fluida a un punto, es decir que ∆y, ∆x y ∆z tienden a cero simultáneamente.

Finalmente podemos afirmar que

Como α es arbitrario se concluye que la presión en cualquier punto de un fluido en reposo es independiente de la dirección, es decir que es una magnitud de naturaleza escalar. 2.

El gradiente de presión

La presión no produce fuerza resultante sobre una partícula fluida a menos que varíe espacialmente. Para ilustrar esto de mejor manera, consideremos que la presión que actúa sobre las caras de un elemento diferencial de fluido varia arbitrariamente p(x,y,z,t), como se muestra en la figura

Consideremos primero las dos caras perpendiculares al eje x, la fuerza resultante en la dirección x sobre el elemento de fluido estará dada por

(^2) Si hay velocidades de deformación habrá esfuerzos viscosos tanto normales como tangenciales (ver capitulo 4). En este caso puede definirse la presión como la media de los tres esfuerzos normales que actúan sobre el elemento

p ^ xx  yy ^ ^ zz

El signo negativo se debe a que los esfuerzos de compresión se consideran normalmente negativos, mientras que p es positiva. La ecuación anterior se usa raras veces, ya que la mayoría de los flujos viscosos tienen esfuerzos viscosos normales despreciables.

2 2

dz z

dy p y

p dx x

p p 

  

  

  2 2

dz z

dy p y

p p 

  

 

2

y p (^) y pn g

  

p (^) z  px  py  pn  p

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Las presiones absolutas deben utilizarse en todos los cálculos con gases.

En todo caso conviene recordar los siguientes conceptos que derivan de la ecuación anterior??

1. Un vació perfecto es la presión más baja posible. En consecuencia, la presión absoluta siempre es positiva.
2. Una presión manométrica por encima de la presión atmosférica local siempre es positiva.
3. Una presión manométrica por debajo de la presión atmosférica local es negativa y suele denominarse vació.
4. Una presión absoluta se expresara en las unidades de Pa (abs) o psia.
5. Una presión manométrica ha de expresarse en las unidades de Pa (man) o psig.
6. La magnitud de la presión atmosférica varía con la ubicación y condiciones climáticas. La presión barométrica es un indicador de la variación continua de la presión atmosférica.

2.2 Distribución de presiones en un fluido estático

La ecuación fundamental de la hidrostática

Consideremos ahora un elemento diferencial de volumen de fluido en estado de equilibrio estático. En general un elemento fluido estará bajo la acción de las fuerzas superficiales debidas a la presión y la acción de la viscosidad, y de las fuerzas másicas debidas a los campos gravitatorios y/o electromagnéticos. En este análisis consideramos sólo la fuerza de la gravedad, o peso del elemento.

Según la segunda ley de Newton se tiene que

Sustituyendo las fuerzas por sus expresiones equivalentes se obtiene

dFgrav   g dV

dF (^) vis a V 2 cos 

dFgrav  dFpres  dFvis cos a dm a

dF (^) pres  p dV



z

y

x

Nivel de presión

Presión atmosférica local (101.3 kPa al nivel del mar)

Vacio

presión absoluta p manométrica

Presiones absoluta y manométrica, se indican los niveles de referencia

Presión manométrica positiva

Presión manométrica negativa Vacio parcial

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Al dividir ambos miembros de la ecuación por dV

(2.2.4)

La ecuación anterior es una forma de la ecuación diferencial de cantidad de movimiento de una partícula fluida, que se estudiará más detalladamente en el capítulo 4, de este curso.

El significado físico de cada término de esta ecuación (2.2.4) es

• • =

Cuando un fluido se mantiene en estado estático o de movimiento con velocidad constante, la

aceleración es nula, a =0 y la viscosidad no tiene ningún efecto, es decir que desaparecen los

esfuerzos viscosos, 0 2  V . En estas condiciones esta ecuación se reduce a

Esta ecuación vectorial expresa la distribución de presiones para cualquier fluido en equilibrio y es conocida como la ecuación fundamental de la hidrostática.

Ahora para el sistema de coordenadas de la figura (con el eje vertical z orientado hacia arriba), la ecuación puede ser expresada en coordenadas cartesianas

Cuyas componentes son

Componente x

Componente y (2.2.6)

Componente z

Ecuaciones que describen la variación de presión en cada una de las tres direcciones en un fluido estático. Las dos primeras ecuaciones deferenciales nos indican que la presión p no varía en el plano horizontal. En tanto la tercera ecuación nos muestra que la presión varía en la dirección vertical por acción de la gravedad y de manera inversa a la variación de la coordenada z. Entonces la ecuación fundamental de la hidrostática se reduce a

Esta ecuación es válida para describir la distribución de presiones en un fluido sujeto a las siguientes restricciones:

 Fluido en estado de equilibrio estático  La acción gravitatoria es la única fuerza másica  El eje z es vertical

 g d V  ( p dV) V dV  d V a 2

 g  p ^2 V  a

 p   g

k k

z

p

j

y

p

i

x

p

g

x

p

y

p

 g

z

p

 g

dz

dp

 g  p   V   a 2

Fuerza másica de inercia por unidad de volumen

Fuerza de presión neta por unidad de volumen

Fuerza viscosa neta por unidad de volumen

Fuerza de inercia por unidad de volumen

Prof. Emilio Rivera Chávez Apuntes de Clase

Generalizando la ecuación anterior se puede decir que la diferencia de presión entre dos puntos en un fluido estático, puede determinarse midiendo la diferencia de altura entre dos puntos. Los dispositivos utilizados para este propósito reciben el nombre de manómetros.

A menudo es conveniente como nivel de referencia la superficie libre y medir a partir de esta referencia las distancias positivamente hacia abajo. Entonces si representamos por h esta nueva coordenada la ecuación (2.2.9) se puede escribir

h = zo - z

(2.2.10)

Esta ecuación indica que para un líquido dado y para una presión exterior constante la presión en el interior depende únicamente de la altura. Por tanto, todos los puntos del líquido que se encuentren al mismo nivel soportan igual presión. Ello implica que ni la forma de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido^3. Esto es lo que se conoce como paradoja hidrostática , cuya explicación se deduce a modo de consecuencia de la ecuación fundamental

Ejemplo de aplicación de la ecuación fundamental de la hidrostática. Un buzo se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m. Determinar la presión a la que está sometido y calcular en cuántas veces supera a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del agua del mar es de 1 025 kg/m^3.

De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática:

Considerando que la presión po en el exterior es de una atmósfera (1 atm = 1,013 · 10^5 Pa), al

sustituir los datos en la anterior ecuación resulta:

p = 1,013 · 10

_5

• 1025 · 9,8 · 100 = 11,058 · 10_

5 Pa

El número de veces que p es superior a la presión exterior po se obtiene hallando el cociente

entre ambas:

(^3) Todos los líquidos pesan, por ello cuando están contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de líquido que tenga por encima suyo. Considérese un punto cualquiera del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido. La fuerza del peso debido a una columna cilíndrica de líquido de base A situada sobre él puede expresarse en la forma F = mg = ρ V g = ρ g h A siendo V el volumen de la columna y ρ la densidad del líquido. Luego la presión debida al peso vendrá dada por: gh A

ghA A

F p 

   Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión exterior adicional po, como la atmosférica por ejemplo, la presión total p en el punto de altura h sería: p  po   gh es decir Esta ecuación puede generalizarse al caso de que se trate de calcular la diferencia de presiones ∆p entre dos puntos cualesquiera del interior del líquido situados a diferentes alturas, resultando:

que constituye la llamada ecuación fundamental de la hidrostática.

p  p 0   gh

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2

2 1

1 A

F

A

F

1

2 2 1 A

A

F  F

F 1

A 1 A 2 F 2

p p

El principio de Pascal “La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo”.

Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blas Pascal , se conoce como principio de Pascal.

El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante, de modo que de acuerdo con la ecuación p = po + ρ · g · h si se aumenta la presión

en la superficie libre, por ejemplo, la presión en el fondo ha de aumentar en la misma medida, ya que ρ · g · h no varía al no hacerlo h.

La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección S 1 se ejerce una fuerza F 1 la presión p 1 que se

origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será igual a la presión p 2 que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección S 2 , es decir:

p 1 = p 2 con lo que:

y por tanto:

Si la sección A 2 es 10 veces mayor que la A 1 , la fuerza F 1 aplicada sobre el émbolo pequeño se ve multiplicada por

10 en el émbolo grande.

La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.

Ejemplo de la aplicación del principio de pascal

El elevador hidráulico de un garaje funciona mediante una prensa hidráulica conectada a una toma de agua de

la red urbana que llega a la máquina con una presión de 5 · 10^5 N/m^2. Si el radio del émbolo es de 20 cm y el rendimiento es de un 90 %, determinar cuál es el valor en toneladas de la carga que como máximo puede levantar el elevador. De acuerdo con el principio de Pascal: p 1 = p 2

que para una prensa hidráulica se transforma en:

En este caso el dato que correspondería al émbolo pequeño de la prensa se facilita en forma de presión, de modo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

 como A 2 es circular, se tiene

reemplazando valores numéricos

Como el rendimiento es del 90 % el valor efectivo de la carga máxima será:

o expresada en toneladas métricas

2

2 1

1 A

F A

F 

2

2 (^1) A

F

p  F 2 (^)  p 1 A 2

2

F 2  p 1  r

F (^) 2  5  105  0. 22  63 kN

F (^) max  F 2  0. 9  63  56. 7 kN

F 5. 8 t

9. 8

10. 7 max  

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Variación de la presión en gases en estado estático

Desde un punto de vista mecánico, la diferencia fundamental entre líquidos y gases consiste en que estos últimos, dada su naturaleza de fluido compresible , pueden ser comprimidos. Su volumen, por tanto, no es constante y consiguientemente tampoco lo es su densidad. Teniendo en cuenta el papel fundamental de esta magnitud física en la estática de fluidos, se comprende que el equilibrio de los gases haya de considerarse separadamente del de los líquidos.

Así, la ecuación (2.2.10) no puede ser aplicada a la aerostática. El principio de Pascal, en el caso de los gases, no permite la construcción de prensas hidráulicas. El principio de Arquímedes conserva su validez para los gases y es el responsable del empuje aerostático, fundamento de la elevación de los globos y aeróstatos. Sin embargo, y debido a la menor densidad de los gases, en iguales condiciones de volumen del cuerpo sumergido, el empuje aerostático es considerablemente menor que el hidrostático.

Para un fluido compresible, la densidad ρ no es constante. Entonces

(2.5.1)

En general en los fluidos compresibles la densidad varía de manera casi proporcional a la presión. Por ello si la integración de la ecuación (2.5.1) supone grandes cambios de presión la densidad debe ser considerada como variable.

En este texto consideraremos las siguientes dos situaciones:

 Gas ideal a temperatura constante.  Gas ideal a temperatura que disminuye linealmente con la altura.

Variación de la presión en un gas estático a temperatura constante.

Para determinar la presión, es necesario integrar combinado esta ecuación con la ecuación de estado del gas y las condiciones de frontera apropiadas.

Ahora, si recordamos la ley de Boyle relativa a la compresibilidad^4 de un gas ideal,

(^4) La compresibilidad de los gases. Ley de Boyle.

El volumen del gas contenido en un recipiente se reduce si se aumenta la presión. Esta propiedad que presentan los gases de poder ser comprimidos se conoce como compresibilidad y fue estudiada por el físico inglés Robert Boyle (1627-1691). Si se dispone de un cilindro con un émbolo móvil que puede modificar el volumen de aquél y se introduce un gas en su interior, el volumen ocupado por el gas variará con la presión del émbolo de tal modo que su producto se mantiene constante si la temperatura es constante durante el experimento. Es decir:

Ello significa que a temperatura constante la presión y el volumen de un gas son magnitudes inversamente proporcionales

y por tanto la representación gráfica de p frente a V corresponde a una hipérbola equilátera.

Este resultado se conoce como ley de Boyle y describe de forma aproximada el comportamiento de un gas en un amplio rango de presiones y volúmenes. No obstante, a temperaturas elevadas o a presiones elevadas, para las cuales el gas se aproxima bastante al estado líquido, la ley de Boyle deja de cumplirse con una precisión razonable.

g cte dz

dp

pV constante

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ecuación que también se puede escribir como

(2.5.2)

combinado las ecuaciones (2.5.1) y (2.5.2) obtendremos

Separando variables e integrando

Esta ecuación es útil para calcular la variación de la presión con la altura en un gas con las siguientes restricciones:

 El gas está en estado estático  El gas se comporta como gas ideal  La temperatura del gas no varía con la altitud

Este modelo se puede usar para estudiar la variación de presión en el aire atmosférico con buena aproximación, para alturas pequeñas.

Variación de la presión en un gas estático con temperatura que varía

linealmente con la altura.

En este caso para integrar la ecuación (2.5.1) asumimos una variación lineal de la temperatura con la elevación.

(2.5.4)

Donde T 0 , es una temperatura de referencia, medida a la altura z0.

β es el denominado gradiente térmico.

Ahora, si recordamos la ecuación de los gases ideales,

ecuación que también se puede escribir como

(2.5.5)

combinado las ecuaciones (2.5.1) y (2.5.5) obtendremos

Separando variables e integrando

0

c po  

 

p

0 g 0

 p

p dz

dp 

 ^  

z z

p p dz p p

dp 0 0 0

 0 g

( )

g ln (^0) 0

0 0

z z p p

p  



g( )

0

0 0

(^0) zz p p p e

  



pV  mRT

RT

p

g

RT

p

dz

dp

  

z z

z z

p

p T z z

dz z

T R

dz

p R

dp

g g ( )

0 0

0 

 

T  T 0 ( z  z 0 )

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La atmosfera estándar Una de las simplificaciones más sencillas para tratar teóricamente las capas más bajas de la atmósfera es suponer que es un gas perfecto en reposo. Esta simplificación, que no es demasiado adecuada en la zona más cercana al suelo, sí es acertada en alturas de entre doscientos y diez mil metros si se le añade la condición que existe una variación exponencial de la temperatura con la altura. Este modelo estático se conoce como atmósfera estándar o atmósfera ISA. Está gobernada por las siguientes condiciones:

 Constantes  Gradiente térmico λ=-6.5*10-^3 K/m

Gravedad a nivel del mar g= 9.81m/s^2

La constante de los gases perfectos para el aire es R=287 J/kgK

 Parámetros

o Temperatura a nivel del mar

o Presión a nivel del mar

Temperatura en función de la altitud

Presión como función de la altitud

Densidad en función de la altitud

A estas ecuaciones hay que sumarle el modelo de gas perfecto.

Variaciones de la temperatura con la altitud en la atmósfera estándar (de acuerdo a los valores de la International Standard Atmosphere - ISA) Desde 0 m hasta 11000 m, el gradiente natural de la atmósfera (variación de la temperatura en función del incremento de altitud) es de 6,5°C/km (gradiente de temperatura atmosférica estándar). Es decir que la temperatura de la atmósfera disminuye 6,5°C por cada km que se asciende.

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2.4 Medición de la presión. Manometría

De la ecuación (2.2.9) se ve que una variación de altura en un líquido es equivalente a un a diferencia de presiones.

(2.5.8)

Por tanto, para medir diferencias de presión entre dos puntos, se pueden utilizar columnas estáticas de uno o más líquidos o gases. Los instrumentos de este tipo se denominan manómetros y la técnica de medición “ manometría ”. Ejemplificamos lo anterior con algunos ejemplos.

Un manómetro simple de tubo en U, usado frecuentemente para la medición de la presión, se muestra en la siguiente figura.

Puesto que la rama está abierta a la atmósfera, las mediciones de h 1 y h 2 permitirán la determinación de la presión manométrica en A.

i) De la figura, al estar los puntos B y B’ a la misma altura (mismo nivel), la presión en ambos puntos es la misma.

pB = pB’ ii) Aplicando la ecuación (2.2.9) a los puntos A y B, se obtiene

iii) Aplicamos nuevamente la ecuación (2.2.9), pero ahora, a los puntos C y B

iv) Igualando estas dos ecuaciones

v) Puesto que la rama derecha del manómetro esta abierta a la atmosfera

consecuentemente la presión manométrica en A será

Si la densidad ρ 1 es despreciable comparada con ρ 2 , entonces

z z

g

p p

0

0 

h 2

A

B B’

ρ 1

ρ 2

po (presión atmosférica local)

z

h 1

p (^) B  pA   1 gh 1

p (^) B  pC   2 gh 2

p (^) A  pC  2 gh 2   1 gh 1

pC  p 0  patm

p (^) A  patm  2 gh 2   1 gh 1

p (^) Amanométrica  pA  patm  2 gh 2   1 gh 1

p (^) Amanométrica   2 gh 2

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( ) 2

1 2 g H O DRB DR A

p p h 

  

Ejemplo 3.- Un manómetro diferencial de vidrio de líquido múltiple se ha instalado entre las tuberías A y B, por las que circula agua, tal como se ilustra en la figura. El fluido manométrico que se encuentra en la parte inferior de los tubos en U del manómetro es mercurio (DR=13.56). El fluido manométrico de que esta en la parte superior del manómetro es aceite (DR=0.8). Determine la diferencia de presión pA – pB.

¿De qué datos se dispone?

DRHg=13.56; DRaceite = 0.8; ρH 2 O = 1000 kg/m^3 (20oC); las alturas del columna de líquido mostradas en la figura.

¿Qué se debe calcular?

La diferencia de presión entre las dos tuberías, es decir pA – pB.

Ecuaciones a utilizar:

iii) ecuación básica (ecuación fundamental de la hidrostática para líquidos)

iv) ecuación de apoyo (definición de densidad relativa)

Hipótesis:

iii) Fluido en estado de equilibrio estático iv) Fluido incompresible (líquido)

A

B

250 mm

75mm

100mm

200 mm

125 mm 100 mm

H 2 O

Aceite

Hg

p  p 0   gh

HO

DR  2

 

C

D

E

F

p (^) D  p 1  (^) Agh 1   Bgh

p 2 (^)  p 1  (^) Agh 1  Bgh   Agh 2

p (^) 2  p 1  (^) Ag  h 1  h 2    Bgh

p 2  p 1  gh   (^) A   B 

Prof. Emilio Rivera Chávez Apuntes de Clase

PROCEDIMIENTO

Aplicamos la ecuación fundamental de la hidrostática a la columna de agua comprendida entre los puntos A-C; C-D; D-E; E-F y F-B.

Resolviendo este sistema de ecuaciones

Restando 2 de 1

Sumando esta ecuación con 3

Restan la ecuación 4 de la anterior

Finalmente restando la ecuación 5 de la última ecuación

Esta última expresión nos muestra que la diferencia de presión entre los puntos B y A, también se puede determinar, sumando (o restando según sea el caso) todas alturas de las columnas de liquido multiplicadas por su peso específico respectivo, comenzando del punto A hasta B.

Finalmente multiplicando por (-1) y reordenado se obtiene:

p (^) C  pA   H 2 O gh 1

p (^) C  pD   Hggh 2

p (^) E  pD   agh 3

p (^) E  pF   Hggh 4

p (^) F  pB   H 2 O gh 5

A

B

h 1

h 2

h 5

h 4

h 3

H 2 O

Aceite

Hg

C

D D’

E

F

p (^) D  pA  (^) H 2 Ogh 1   Hg gh 2

p (^) E  pA  (^) H 2 Ogh 1  Hggh 2   a gh 3

p (^) F  pA  (^) H 2 Ogh 1  Hggh 2  agh 3   Hg gh 4

p (^) B  pA  (^) H 2 Ogh 1  Hggh 2  agh 3  Hggh 4   H 2 O gh 5



 





 

   5  1  2  4  3 2 2

p p 2 gh h ( h h ) h H O

a HO

Hg A B HO 

 

 

 5 1 ( 2 4 ) 3  2 p (^) A  pB  HOgh  h  DRHg h  h  DRaceite h

pA  pB 

C’