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UNIDAD IV: ANALISIS DE ESTRUCTURAS
Estructuras de ingeniería
En esta unidad se estudian problemas que tratan sobre el equilibrio de estructuras formadas por varias partes que están conectadas entre sí. Estos problemas, además de determinar las fuerzas externas que actúan sobre la estructura, implican calcular las fuerzas que mantienen unidas a las diversas partes que la constituyen. Estas fuerzas son fuerzas internas.
Considérese la grúa mostrada en la figura (a), la cual soporta una carga W. La grúa consta de tres vigas AD , CF y BE que están conectadas por medio de pernos sin fricción; la grúa está apoyada por un perno en A y un cable DG. Las fuerzas externas son: el peso W , las dos componentes A x y A y de la reacción en A y a la fuerza T ejercida por el cable en D (b).
Las fuerzas internas que mantienen unidas las diversas partes de la grúa no aparecen en el diagrama. Sin embargo, si se desarma la grúa y se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las partes que la constituyen, las fuerzas que mantienen unidas a las tres vigas también estarán representadas puesto que dichas fuerzas son externas desde el punto de vista de cada una de las partes que forman la grúa (c).
UNIDAD IV: ANALISIS DE ESTRUCTURAS
De la figura (c)
a- La fuerza ejercida en B por el elemento BE sobre el elemento AD se ha representado como igual y opuesta a la fuerza ejercida en ese mismo punto por el elemento AD sobre el elemento BE b- La fuerza ejercida en E por el elemento BE sobre el elemento CF se muestra igual y opuesta a la fuerza ejercida por el elemento CF sobre el elemento BE c- Las componentes de la fuerza ejercida en C por el elemento CF sobre el elemento AD se presentan iguales y opuestas a las componentes de la fuerza ejercida por el elemento AD sobre el elemento CF. Lo anterior está sujeto a la tercera ley de Newton, la cual establece: Que las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos****.
Como los elementos o miembros son delgados e incapaces de soportar cargas laterales, todas las cargas deben estar aplicadas en las uniones o nodos. Se dice que una armadura es rígida si está diseñada de modo que se deformará mucho bajo la acción de una carga pequeña.
La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas entre sí para formar una armadura espacial. Las armaduras simples, son aquellas armaduras que se obtienen a partir de una armadura triangular rígida, agregándole dos nuevos elementos y conectándolos en un nuevo nodo. Si a una armadura triangular rígida le agregamos dos nuevos elementos y los conectamos en un nuevo nodo, también se obtiene una estructura rígida. Las armaduras que se obtienen repitiendo este procedimiento reciben el nombre de armaduras simples. Se puede comprobar que en una armadura simple el número total de elementos es m=2n-3 donde n es el número total de nodos
Armaduras Simples
Los elementos usados comúnmente en construcción consisten en puntales de madera o barras metálicas. En particular, las armaduras planas se sitúan en un solo plano y con frecuencia se usan para soportar techos y puentes. La armadura que se muestra en la figura 61( a) es un ejemplo de una armadura típica para soportar techos. En esta figura, la carga del techo se transmite a la armadura en los nodos por medio de una serie de largueros. Como esta carga actúa en el mismo plano que la armadura, figura 61( b) ,
(a)
Figura 61
En el caso de un puente, como el mostrado en la figura 62( a) , la carga sobre la cubierta se transmite primero a los largueros , luego a las vigas de piso , y finalmente a los nodos de las dos armaduras laterales de soporte. Igual que en la armadura de techo, la carga en una armadura de puente es coplanar, figura 62( b). Cuando las armaduras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, comúnmente se usa un soporte o rodillo para soportar un extremo, por ejemplo, el nodo A en las figuras 61 a y 62 a. Este tipo de soporte permite la expansión o la contracción de los elementos debidas a los cambios de temperatura o a la aplicación de cargas.
Figura 62
DISEÑO DE ELEMENTOS Y CONEXIONES
Figura 63
Para diseñar los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura está sometida a una carga dada. Para esto, haremos dos supuestos importantes:
- Todas las cargas se aplican en los nodos****. En la mayoría de las situaciones, como en armaduras de puentes y de techos, este supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el peso de los elementos, ya que la fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho más grande que su peso. Sin embargo, si el peso debe ser incluido en el análisis, por lo general es satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada a cada extremo del elemento. - Los elementos están unidos entre sí mediante pasadores lisos. Por lo general, las conexiones de los nodos se forman empernando o soldando los extremos de los elementos a una placa común, llamada placa de unión , como se muestra en la figura 63( a ), o simplemente pasando un perno o pasador largo a través de cada uno de los elementos, figura 63( b). Podemos suponer que estas conexiones actúan como pasadores siempre que las líneas centrales de los elementos unidos sean concurrentes , como en la figura 63.
(a) (b)
METODOS PARA ANALISIS DE ESTRUCTURAS
Existen dos métodos para el análisis de estructuras 1- Métodos de los nodos. 2- Métodos de las secciones
ANÁLISIS DE ARMADURAS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS NODOS
Para analizar o diseñar una armadura, es necesario determinar la fuerza en cada uno de sus elementos. Este método se basa en el hecho de que toda la armadura está en equilibrio, entonces cada uno de sus nodos también está en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre de cada nodo, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener las fuerzas de los elementos que actúan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son elementos rectos de dos fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo está sometido a un sistema de fuerzas que es coplanar y concurrente. En consecuencia, sólo es necesario satisfacer Fx = 0 y Fy= 0 para garantizar el equilibrio.
En la siguiente armadura se puede desarmar y dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada perno y para cada elemento (figura a y b ). Cada elemento está sometido a la acción de dos fuerzas, una en cada uno de sus extremos; estas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.
METODOS DE LOS NODOS
Estas fuerzas se determinan por medio de los métodos en las unidades anteriores y sus valores se transfieren a los nodos adyacentes tratándolos como cantidades conocidas en dichos nodos, este procedimiento se repite hasta determinar todas las fuerzas desconocidas.
Procedimiento para el análisis El siguiente procedimiento proporciona un medio para analizar una armadura con el método de nodos. Trace el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. (Si este nodo está en uno de los soportes, entonces puede ser necesario calcular las reacciones externas en los soportes de la armadura). Use uno de los dos métodos descritos antes para establecer el sentido de una fuerza desconocida. Oriente los ejes x y y de manera que las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes x y y , y luego aplique las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas Fx = 0 y Fy = 0. Despeje las dos fuerzas de elemento desconocidas y verifique su sentido correcto. Con los resultados obtenidos, continúe con el análisis de cada uno de los otros nodos. Recuerde que un elemento en compresión “empuja” el nodo y un elemento en tensión “jala” el nodo. Además, asegúrese de seleccionar un nodo que tenga cuando mucho dos incógnitas y por lo menos una fuerza conocida.
1- Determine la fuerza en cada elemento de la armadura mostrada en la figura a. Indique si los elementos están en tensión o en compresión.
Solución: Reacciones en los soportes. No se puede analizar ningún nodo hasta que se hayan determinado las reacciones en los soportes, porque cada nodo tiene más de tres fuerzas desconocidas que actúan sobre él. En la figura b se presenta un diagrama de cuerpo libre de toda la armadura. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, tenemos
El análisis puede empezar ahora en cualquiera de los nodos A o C. La elección es arbitraria ya que hay una fuerza conocida y dos fuerzas de elemento desconocidas que actúan sobre el pasador en cada uno de esos nodos.
Nodo C. (Figura e ).
NOTA: en la figura f se presenta el análisis resumido, que muestra el diagrama de cuerpo libre para cada nodo y cada elemento.
Para determinar F DC podemos corregir el sentido de F DB en el diagrama de cuerpo libre y luego aplicar Fy = 0, o aplicar esta ecuación y retener el signo negativo para FDB , es decir,
METODOS DE LOS NODOS
El análisis de armaduras por el método de nodos se simplifica de manera considerable si podemos identificar primero aquellos elementos que no soportan carga. Esos elementos de fuerza cero se usan para incrementar la estabilidad de la armadura durante la construcción y proporcionar soporte adicional si se modifica la carga aplicada. Por lo general, los elementos de fuerza cero de una armadura se pueden encontrar por inspección de cada uno de sus nodos. Por ejemplo, considere la armadura mostrada en la figura a. Si se traza un diagrama de cuerpo libre del pasador situado en el nodo A , figura b , se advierte que los elementos AB y AF son elementos de fuerza cero. (No podríamos haber llegado a esta conclusión si hubiésemos considerado los diagramas de cuerpo libre de los nodos F o B simplemente porque hay cinco incógnitas en cada uno de esos nodos). Del mismo modo, considere el diagrama de cuerpo libre del nodo D , figura c. Aquí se ve de nuevo que DC y DE son elementos de fuerza cero.
Elementos de fuerza cero
Elementos de fuerza cero
Elementos de fuerza cero
Por el método de nodos, determine todos los elementos de fuerza cero de la armadura de techo Fink que se muestra en la figura a. Suponga que todos los nodos están conectados mediante pasadores. Busque geometrías de nodos que tengan tres elementos de los cuales dos sean colineales. Tenemos Nodo G. (Figura b ).
Observe que no pudimos concluir que GC es un elemento de fuerza cero al considerar el nodo C , donde se tienen cinco incógnitas. El hecho de que GC sea un elemento de fuerza cero significa que la carga de 5 kN en C debe estar soportada por los elementos CB , CH , CF y CD.
Nodo D. (Figura c ).
PROBLEMA
La armadura mostrada a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C).
10kN 10kN
5m 20kN^ 5m 30kN 5m^ 5m
8m
A
B
C
D
E
F
G
H
10kN 10kN
5m 20kN^ 5m 30kN 5m^ 5m
8m Ax Ay Hy
B
C
D
E
F
G
1- Diagrama de cuerpo libre 2- Calcular las reacciones en los apoyos a. Aplicamos las condiciones de equilibrio M A=0 + −30𝑘𝑁𝑥5𝑚 − 30𝑘𝑁𝑥10𝑚 − 10𝑘𝑁𝑥15𝑚 + 𝐻𝑦𝑥20𝑚 = 0 Hy= 30kN Fx = 0 + Ax= 0
Fy= 0 + -30kN - 30kN – 10kN +30kN + Ay = 0 Ay = 40kN
UNIDAD IV: Problemas
3- Calculo de las fuerzas 10kN 10kN
5m 20kN^ 5m 30kN 5m^ 5m
8m
40kN 30kN
B
C
D
E
F
G
1- Nodo A
40kN
FAC
FAB 8 5
9,
Fy=0 + 40𝑘𝑁 − (^) 9,4^8 𝐹𝐴𝐵 = 0 FAB=47,16kN Compresión Fx=0 + 𝐹𝐴𝐶 − (^) 9,4^5 𝐹𝐴𝐵 = 0 FAC= 25,24kN Tensión
2- Nodo C Fy=0 + −20𝑘𝑁 + 𝐹𝐶𝐵 = 0 FCB= 20kN tensión Fx=0 + 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐶𝐴 = 0 FCE - 25,24kN= FCE= 25,24kN Tensión
20kN
FCE
FCB FCA
3- Nodo B
20kN
FBD 47,16kN
10kN
5 8 5 FBE
9,4 8 9,
Fy=0 + −30𝑘𝑁 − (^) 9,4^8 𝐹𝐵𝐸 + (^) 9,4^8 47,16𝑘𝑁 = 0 FBE= 11,91kN tensión Fx=0 + −𝐹𝐵𝐷 + (^) 9,4^5 47,16𝑘𝑁 + (^) 9,4^5 𝐹𝐵𝐸 = 0 FBD= 31,42kN Compresión
