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TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION
Problemas Cap. I 1.- CONDUCCION A TRAVES DE UNA PLACA DE COBRE Una cara de una placa de cobre de 3 cm de espesor se mantiene a 400 °C y la otra se mantiene a 100 °C. ¿ Que cantidad de calor se transfiere a través de la placa?. Solución: Del apéndice (tablas) la conductividad térmica del cobre a 250 °C es 370 W/m- °C. De la ley de Fourier: q/A = − k dT/dx Integrando se obtiene: q/A = −k ∆T/∆x = − (370)(100 −400)/ 3 x 10−2^ = 3.7 x 10^6 W/m^2 ( 3.7 MW/m^2 ). 2.- CALCULO DE CONVECCION Sobre una placa caliente de 50 x 75 cm que se mantiene a 250 °C pasa aire a 20 °C. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 25 W/m^2 -°C. Calcúlese la transferencia de calor. Solución: A partir de la ley de Newton del enfriamiento. q = h A (Tp − T∞) = (25)(0.50 x 0.75)(250 −20) = 2 156 W ( 2.156 KW). 3.- FUENTE DE CALOR Y CONVECCION Una corriente eléctrica pasa por un hilo de 1 mm de diámetro y 10 cm de largo. El hilo se encuentra sumergido en agua líquida a la presión atmosférica y se incrementa la corriente interior hasta que el agua hierve. En esta situación h = 5000W/ m^2 -°C y la temperatura del
agua será 100 °C. ¿ Cuanta potencia eléctrica se debe suministrar al hilo para mantener su superficie a 114 °C?. Solución: Pérdida por convección está dada por; q = h A (Tp –T∞) En este problema el área superficial del hilo es: A = πDL = π (1 x10 −3)(10−2) = 3.142 x 10−4^ m^2 Así pues, el flujo de calor será: q = (5000 W/m^2 −°C) (3.142 x 10 −4^ m^2 ) (114− 100)°C = 21.99 W [75.03 Btu/h] y este es igual a la potencia eléctrica que debe suministrase. 4.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION Dos placas infinitas a 800 °C y 300°C intercambian calor por radiación. Calcúlese el calor transferido por unidad de área. Solución: En este problema debe utilizarse la ecuación de Stefan-Bolztmann, obteniéndose; q/A = σ (T 14 – T 24 ) = 5.669 x 10−8^ (1 073^4 – 573^4 ) = 69.03 kW/m^2 5.- PERDIDA TOTAL DE CALOR POR CONVECCION Y RADIACIÓN Una tubería horizontal de acero que tiene un diámetro de 5 cm se mantiene a una temperatura de 50 °C en un recinto grande donde el aire y las paredes están a 20 °C. La emisividad (ε) de la superficie de la tubería de acero puede tomarse como 0.8. Haciendo uso de los datos de tabla; calcúlese la pérdida de calor de la tubería por unidad de longitud. Solución: La pérdida de calor es la suma de la convección y radiación. De la tabla se ve que un valor estimado para el coeficiente de transferencia de calor, con convección natural para esta geometría y aire, es h = 6.5 W/m^2 -°C. El área de la superficie es πdL, de modo que la pérdida por convección por unidad de longitud es: q/L] (^) conv = h (πd) (Tp − T∞) = (6,5) (π ) (0.005)(50 − 20) = 30.63 W/m
- Condiciones de estado estable.
- Transferencia de calor unidimensional a través de la pared.
- El intercambio de radiación entre la superficie externa de la pared y los alrededores se realiza entre una pequeña superficie y un recinto grande. Análisis: La temperatura de la superficie interior se obtiene llevando a cabo un balance de energía en la superficie externa: E (^) entra – E (^) Sale = 0 Se sigue que, sobre una base de área unitaria que: qcond = qconv + qrad K (T 1 −T 2 )/L = h (T 2 −T∞) + εσ (T 24 − T∞^4 ) (1.2)W/ m-°K (T 1 –273)°K /0.15m = (20)W/m^2 -°K(373−298)°K
- (0.80)( 5.67 x 10 −8) W/m^2 -°K^4 (T 14 − 373^4 ) °K^4 = 1500 W/m^2 + 520 W/m^2 = 2020 W/m^2 Resolviendo para T 1 , T 1 = 373 °K + 0.15 m/ 1.2 W/m-°K (2020 W/m^2 ) = 625°K (352 °C). Comentario: Cuando se usa balances de energía que incluyen intercambios de radiación y otros modos, es buena práctica expresar todas las temperaturas en grados Kelvin. Este procedimiento es necesario cuando la temperatura desconocida aparece en el término de radiación y en uno o más de los otros términos. Problemas Cap. II 1.- Una pared plana tiene un espesor de 0.35 m; una de sus superficies se mantiene a una temperatura de 35 °C, mientras que la otra superficie está a 115 °C. Únicamente se dispone de dos valores de la conductividad térmica del material de que está hecha la pared; así se sabe que a 0°C, K = 26 W/m-°K y a 100 °C, K = 32 W/m-°K. Suponiendo que la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura. Determinar: (a) La ecuación lineal de variación de la conductividad con la temperatura. (b) El flujo térmico que atraviesa la pared. Solución: (a) Deducción de la Ecuación lineal.
Por interpolación 100°C ------ 32 w/m-°K T ------ KT 0°C ------ 26 W/m-°K ∆T = 100 ∆K = 6 ∆K 6 32 – KT = = ∆T 100 100 − T 0.06 (100 −T) = 32 − KT KT = 26 + 0.06T (b) Flujo térmico que atraviesa la pared. q/A = KT (T 1 – T 2 )/ e 12 KT debe determinarse a Tm; Tm = (T 1 + T 2 )/2 = (115 + 35)/2 = 75 °C KT = 26 + 0.06 (75) = 30.5 W/m-°K q/A = 30.5 W/m-°C(115−35)°C / 0.35 m = 6 971.4 W/m^2 2.- Una tubería de aluminio conduce vapor de agua a 110 °C. La tubería tiene un coeficiente e conductividad térmica K = 185 W/m-°K, un diámetro interior di = 10 cm. un diámetro exterior de = 12 cm. La tubería está situada en una habitación en la que la temperatura ambiental del aire es de 30 °C, siendo el coeficiente de transferencia térmica convectiva entre la tubería y el aire hc = 15 W/m^2 -°K. Determinar la transferencia de calor para los siguientes casos: (a) La tubería no se encuentra aislada. (b) La tubería se encuentra aislada y; para ello, se recubre con una capa aislante de 5 cm de espesor k (^) aislante = 0.20 W/ m-°K. Se admitirá que es despreciable la resistencia térmica convectiva de vapor. Solución: Datos: Tvapor = 110°C Taire = T∞ = 30 °C
(b) Transferencia de calor de la tubería con revestimiento térmico. q = (Tvapor − T∞) / (R 1 + R 2 +R 3 + R 4 ) R 1 = 0 110 – 30 q/L =
ln (r 2 /r 1 ) /2 πk + ln (r 3 /r 2 )/ 2π kA + 1/ 2 π r 3 hc
q/L = = 138. 2 W/m ln (6/5)/ 2π (185) + ln (11/6)/ 2 π(0.2) + 1/ 2 π x 0.11 x 15 3.- PERDIDA DE CALOR A TRAVES DE UNA PARED COMPUESTA Una pared de 3 m de alto y 5 m de ancho consta de ladrillo de 16 x 22 cm de sección horizontal transversal (k = 0.72 W/m-°C) separados por capas de mortero (0.22 W/m-°C) de 3 cm de espesor. También se tiene capas de mortero de 2 cm sobre cada lado del ladrillo y una espuma rígida (k = 0.026 W/m-°C) de 3 cm de espesor sobre el lado interior de la pared, como se muestra en la figura. Las temperaturas dentro y fuera son de 20 °C y
- 10 °C, respectivamente, y los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre los lados interior y exterior son h 1 = 10 W/m^2 -°C y h 2 = 25 W/m^2 -°C, respectivamente. Si se supone transferencia de calor unidimensional y se descarta la radiación, determine la razón de la transferencia de calor a través de la pared. Solución: Suposiciones:
- La transferencia de calor es estacionaria dado que no hay indicación de cambio con el tiempo.
- La transferencia de calor se puede considerar como si fuera unidimensional, ya que se realiza de manera predominante en la dirección x.
- Las conductividades térmicas son constantes.
- La transferencia de calor por radiación es despreciable. Análisis: Existe un patrón en la construcción de esta pared que se repite cada 25 cm de distancia en la dirección vertical. No hay variación en la dirección horizontal. Por tanto, se considera una porción de 1 m de profundidad y 0.25 m de alto de la pared, que es representativa de toda ella.
Si se supone que cualquier sección transversal de la pared normal a la dirección x es isotérmica, la red de resistencias térmicas para la sección representativa de la pared queda como se muestra en la figura. Cada de las resistencias se evalúa como:
- Determinación de las resistencias en la pared: 1 1 Ri = Rconv,1 = = = 0.4 °C/W hiA (10 W/m^2 -°C) (0.25 x 1 m)^2 L 0.03 m R 1 = Respuma = = = 4.6 °C/W kA (0.026 W/m-°C)(0.25 x 1 m)^2 L 0.02 m R 2 = R 6 = Rmortero, lado = = = 0.36 °C/W kA ( 0.22 W/m-°C)(0.25 x 1 m)^2 L 0.16 m = 48.48 °C/W R 3 = R 5 =R (^) mortero, centro = = kA (0.22 W/m-°C) ( 0.015 x 1 m)^2 L 0.16 m q
exterior de la esfera es de 100 °F, determine la temperatura en una posición localizada a 1 pulgada de la superficie exterior de la esfera. Solución: Datos y propiedades: Diámetro interior: di = 6 pulgadas (ri = 3 pulgadas = ½ pie) Diámetro exterior: do = 12 pulgadas (ro = 6 pulgadas = 3/12 pie) Temperatura de la superficie exterior: To = 100 °F k (^) hierro puro = 42 Btu/h-pie-°F (de tablas) Suposiciones:
- Existen condiciones de estado estacionario.
- El material del que está hecha la esfera tiene conductividad térmica constante.
- Prevalece el flujo de calor unidimensional.
- El calor que libera la mezcla química es una constante.
- Determinación de la temperatura interna Ti. 4π ro ri k (Ti –To) Q = ro − ri Q (ro – ri) Ti = + To 4 π ro ri k
Insertando valores; 105 [(6/12) − (3/12)] Ti = + 100 = 479 °F 4 (π) (6/12) (3/12) (42)
- Temperatura localizada a 1 pulgada de la superficie exterior de la esfera. Ahora con r = 5 pulgadas Aplicando la ecuación de distribución de temperatura para esferas huecas; ro ( r − ri) T(x) = (To − Ti ) + Ti r (ro − ri) Insertando valores; 6/12 5/12 − 3/ T(5 pulg) = (100 – 479) + 479 = 176 °F 5/12 6/12 − 3/ Por tanto la temperatura en un punto que se encuentra a una pulgada debajo de la superficie de la esfera es de 176 °F. 5.- PERDIDA DE CALOR DE UN ALAMBRE ELECTRICO AISLADO Un alambre eléctrico de 3 mm de diámetro y 5 cm de largo está firmemente envuelto con una cubierta gruesa de plástico de 2 mm cuya conductividad térmica es k = 0.15 W/m-°C. Las mediciones eléctricas indican que por el alambre pasa una corriente de 10 A y se tiene una caída de voltaje de 8 V a lo largo de este. Si el alambre aislado se expone a un medio que está a T∞ = 30 °C, con un coeficiente de transferencia de calor h = 12 W/m^2 - °C, determine la temperatura en la interfase del alambre y la cubierta de plástico en operación estacionaria. Asimismo, determine si la duplicación del espesor de la cubierta de plástico aumentará o disminuirá esta temperatura en la interfase. Solución: Suposiciones:
- La transferencia de calor es estacionaria ya que no hay indicación de algú cambio con el tiempo.
- La transferencia de calor es unidimensional dado que se tiene simetría térmica con respecto a la línea central y no hay variación en la dirección axial.
- Las conductividades térmicas son constantes.
Note que no se involucra directamente el alambre en la red de resistencias térmicas, ya que el alambre comprende la generación de calor. Para responder a la segunda parte de la pregunta se necesita conocer el radio crítico de aislamiento de la cubierta de plástico. Este se determina a partir de la ecuación; rc = k / h = 0.15 W/m-°C/ 12 W/m^2 -°C = 0.0125 m = 12.5 mm el cual es más grande que el radio de la cubierta de plástico. Por tanto, al aumentar el espesor de la cubierta de plástico se acrecentará la transferencia de calor hasta que el radio exterior de esa cubierta llegue a 12.5 mm. Como resultado, se amentará la razón de transferencia de calor, Qgen, cuando la temperatura de la interfase, T 1 , se mantenga constante o bien T 1 disminuirá cuando Qgen se mantenga constante, el cual es el caso en este problema. Discusión: Se puede demostrar, al repetir los cálculos anteriores para una cubierta de plástico de 4 mm de espesor, que la temperatura en la interfase cae hasta 90.6 °C cuando se duplica el espesor de esta cubierta. También se puede demostrar de manera semejante que la interfase alcanza una temperatura mínima de 83 °C cuando el radio exterior de la cubierta de plástico es igual al radio crítico. 6.- SISTEMA CON FUENTE DE CALOR El exterior de un hilo de cobre de 2 mm de diámetro está expuesto a un entorno convectivo con h = 5000 W/m^2 -°C y T∞ = 100 °C. ¿ Que corriente debe pasar a través del hilo para que la temperatura en el centro sea 150 °C?. Repítase para un hilo de aluminio del mismo diámetro. La resistividad del cobre es 1.67 μΩ-cm. Solución: rcr = k/h máx desnudo
Datos: L = 1 m ro = d/2 = 2 mm/2 = 1mm (0.001 m) kCu = 386 W/m-°C kAl = 204 W/m-°C ρ (^) Resistividad del Cu = 1.67 μΩ-cm. ρ (^) Resistividad del Al = 2.09 μΩ-cm.
- Determinación del calor generado (q’). Tw = q’ro/2h + T∞ Tc = Tw + q’ro^2 /4k Tc = q’ro/2h + q’ro^2 /4k + T∞ (Despejando q’) Tc − T∞ 150 − 100 q’ = = ro/2h + ro^2 /4k (0.001)/2(5000) + (0.001)^2 / 4(386) = 4.968 x 10^8 W/m^3
- Potencia eléctrica. P = q’.*V(volumen del alambre) = q’(πro^2 L) = (4.968 x 10^8 W/m^3 )(π)(0.001m)^3 (1m) = 1 560.7 W
- Resistencia del alambre. R = ρ L/A = 1.67 x 10 −6^ Ω-cm. x 1 m/100 cm x [1 m/π (0.001 m)^2 ] = 0.005316 Ω
- Intensidad de corriente. P = I^2 R I = (P/R)0.5^ = (1 560.7/0.005316)0.5^ = 542 Amperios. Para el aluminio se sigue el mismo procedimiento, siendo; I = 486 Amperios. 7.- TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA ALETA Determine la conductividad térmica de una larga barra de 4.5 cm de diámetro, la mitad se insertó en un horno mientras que la otra mitad se dejó expuesta al aire a 27 °C. Una vez que se alcanzó el estado estable, se midieron las temperaturas en dos puntos a 7.6 cm uno del otro y se encontró que eran de 126 °C y 91 °C, respectivamente. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie de la barra expuesta al aire se estimó en 22. W/m^2 -°K. ¿Cuál es la conductividad térmica de la barra cilíndrica?.
