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7.1. Introducción y definiciones
7.2. Estimación puntual. Propiedades deseables de
los estimadores
7.2.1. Introducción y definiciones
7.2.2. Estimadores Insegados
7.3. Estimación por intervalos de confianza
7.3.1. Introducción
7.3.2. Intervalos de confianza para una población
normal
7.3.2.1. Intervalos de confianza para la media
7.3.2.2. Intervalo de confianza para la varianza
7.3.3. Intervalos de confianza para dos poblaciones
Normales independientes
7.3.3.1. Intervalos de confianza para la diferencia de
medias
7.3.3.2. Intervalos de confianza para el cociente de
varianzas
7.3.4. Intervalo de confianza para una proporción
7.3.5. Intervalo de confianza para la diferencia de
proporciones
ESTIMACIÓN
7.1. Introducción y definiciones
Estimación por intervalos: Se determina un intervalo
aleatorio que, de forma probable, contiene el verdadero
valor del parámetro. Este intervalo recibe el nombre de
intervalo de confianza
Estimación puntual: Se busca un estimador, que con
base a los datos muestrales dé origen a un valor puntual
que utilizamos como estimación del parámetro
(^) Se desean estimar los parámetros a partir de una
muestra
La función de densidad o masa de probabilidad
depende del vector de parámetros : f ( x ; )
(^) Supongamos que conocemos la distribución de la
característica de interés de una población
¿Cómo hacer esta estimación?
Intervalo aleatorio
fijo
(^) Definición: Intervalos de confianza unilaterales
(^) NOTA: De cada 100 intervalos construidos a partir
de 100 muestras, 100 ( 1 ) % deberían contener al
verdadero valor del parámetro.
Definición: Intervalos de confianza bilaterales
P [ h 1
(T) h 2
(T) ] = 1
P [ h 1
(T) ] = 1
P [ h 2
(T) ] = 1
.................
( )
( )
( )
( )
7 .3.2. Intervalos de confianza para una
población normal
(^) Se muestrea una población normal para estimar los
parámetros de esta población
X 1
, … , X n
m.a.s. de una población X N ( , )
Se desea estimar alguno de los parámetros, o ambos,
según sea o no conocido el otro
Independientes entre sí
X i
N ( , )
1 2
, ,... n
X X X
0 0
/ 2 / 2
P z X z 1
n n
^ ^ ^ ^
0 0
/ 2 / 2
P X z X z 1
n n
^ ^ ^ ^ ^
0 0
/ 2 / 2
P X z X z 1
n n
^ ^ ^ ^
/ 2 / 2 / 2 / 2
0
1
X
P z Z z P z z
n
^
0 0
/ 2 / 2
P X z X z 1
n n
^ ^ ^ ^
I.C. para , con varianza conocida, al nivel de
confianza 1 .
0 0
/ 2 / 2
X z , X z
n n
NOTA :
- (^) A medida que aumenta el tamaño de la muestra
disminuye la amplitud del intervalo
- (^) A medida que el nivel de confianza es mayor aumenta
la amplitud del intervalo
(^) I.C. para , con varianza conocida, al nivel de
confianza 1
0 0
/ 2 / 2
X z , X z
n n
2
0 0
/ 2 / 2
X z , X z
n n
^
2
0 0
x 503.75; n 16; 25 ; 5
/ 2 0.
z z 1.
0.
0.05 (^) 0.
z 1.
z 1.
501 69, 505 81_.._
1
/ 2 / 2
/ 2
t
1 / 2 / 2
t t
Varianza poblacional desconocida
Estimador: X
Distribución muestral:
n 1
n
X
T
S
t
Cuasidesviación típica
i
i
S X X
n
/ 2; 1 / 2; 1
n n
P t T t
/ 2; 1 / 2; 1
n n
n
X
P t t
S
Ejemplo. Se desea estudiar el peso en gramos del
fruto producido por una planta. Para ello se tomó una
muestra de 16 plantas observando los siguientes pesos:
506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493,
496, 506, 502, 509, 496. Del peso del fruto sólo se
conoce que es una v.a. Normal. Obtener un intervalo
de confianza al nivel de confianza 0.9 para el peso
medio del fruto de esta planta.
Solución
I.C. para con varianza desconocida
al nivel de confianza 1
/ 2; 1 / 2; 1
n n
S S
X t X t
n n
x 503.75 ; S 6.2022 ; n 16
2
/ 2; 1 0.05;
n
t t
0.
0.05 (^) 0.
t 1.
t 1.
/ 2; 1 / 2; 1
n n
S S
X t X t
n n
x 503.75 ; S 6.2022 ; n 16
6.2022 6.
503 75 1.753 , 503 75 1.
4 4
. .
501.0319, 506.4681
2
2 2
1 / 2; 1 2 / 2; 1
n n
n S
P
2 2
1 / 2; 1 / 2; 1
2 2 2
n n
P
n S n S
2 2
2
2 2
1 / 2; 1 / 2; 1
n n
n S n S
P
2 2
2
2 2
/ 2; 1 1 / 2; 1
n n
n S n S
P
I.C. para
2 , con media poblacional desconocida,
al nivel de confianza 1
2 2
2 2
/ 2; 1 1 / 2 ; 1
n n
n S n S
0.
0.005 0.
2
0.005;
2
0.995;
Ejemplo
Se desea estimar la varianza del nivel de nistamina en un
ungüento. Se conoce por larga experiencia que su
distribución sigue una ley Normal. Se toma una muestra
de 9 ungüentos, dando el nivel siguiente (en millones de
unidades/gr): 1, 0.9, 1.5, 2.8, 3.1, 3.2, 2.5, 1.9, 2. Estimar
la varianza mediante dos intervalos de confianza al nivel
de confianza del 99% y del 95%.
Solución
Cuasivarianza: ^ ^
i
i
S x x
n
Nivel de confianza: 1 = 0.99; = 0.01; / 2 = 0.
2 2 2 2
/ 2; 1 0.005;8 1 / 2; 1 0.995;
n n
2 2
2 2
/ 2; 1 1 / 2; 1
n n
n S n S
0.2691, 4.4179
7.3.3. Intervalos de confianza para dos
poblaciones Normales independientes
Consideramos:
Sean las variables aleatorias X e Y tales que
X
Y
X X
N
Independientes
Y Y
N
1 2 x
n
X X X
m.a.s. de tamaño n X
de X
2
X
X S
1 2
Y
n
Y Y Y
2
, Y
Y S
m.a.s. de tamaño n Y
de Y
(^) Se muestrean dos poblaciones normales para estimar
los parámetros “comparativamente”
(^) Se desean estimar comparativamente los parámetros
de ambas poblaciones
1
/ (^2) / 2
/ 2
z 1 / 2 / 2^
z z
P z / 2 Z z / 2 1
Estimador: T X Y
7.3.3.1. Intervalos de confianza para la
diferencia de medias
Varianzas poblacionales conocidas
Distribución muestral:
2 2
X Y
X Y
X Y
X Y
Z
n n
N
