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Asignatura: ANALISIS DE ESTADOS FINANCIEROS, Profesor: jose luis alfonso, Carrera: Economía, Universidad: UAM
Tipo: Apuntes
1 / 14
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1
2
ܲ
ܼെ
ఈ/ଶ
ܼ ܼ
ఈ/ଶ
ൌ 1 െ ߙ;
ܲ→
ܼെ
ఈଶ
ߤ െ ݔ݊ߪൗ
ܼ
ఈଶ
ൌ 1 െ ܲߙ
ܼെ
ఈ/ଶ
݊ߪ^
ܼ ߤ െ ݔ
ఈ/ଶ
݊ߪ^
ൌ 1 െ ߙ;
ܲ→
ܼെ ݔെ
ఈ/ଶ
݊ߪ^
െ ߤܼ
ఈ/ଶ
݊ߪ
ݔ െ
ൌ 1 െ ߙ
ܼሺ െ ݔ
ఈ/ଶ
ሻ^
ఙ
ߤ ݔ ሺܼ
ఈ/ଶ
ሻ^
ఙ
ൌ 1 െ ߙ
1-
α=90%
α/2=5%
α/2=5%
k
1 -Z
α/
k 2 Z α/
ଵିఈ%
ఈ/ଶ
ܥܫ
ଵିఈ%
ൌ
ܼሺ െ ݔ
ఈ/ଶ
ሻ
݊ߪ
; ݔ ሺܼ
ఈ/ଶ
ሻ
݊ߪ
Vamos a suponer, que no se conocen ni la media ni la varianza de lapoblación (situación más habitual)Sea (x
,__, x 1
) MAS procedente de una distribuciónn^
N(μ,
σ
) con μ y
σ
desconocida
.
¿Cómo lo construimos? Como desconocemos la varianza tenemos que buscar un estimador de lamisma, y según el LEMA DE FISHER sabemos:
݊ܵߤ െ ݔ
െ 1 ൗ
ݐ ~
ିଵ
Por tanto:
݇ܲ
ଵ^
݊ܵߤ െ ݔ
െ 1 ൗ
݇
ଶ
ൌ 1 െ ߙ
Ahora
queremos
obtener
un
Intervalo
de
Confianza
que
contenga
el
verdadero valor de la varianza, suponiendo X ~ N(μ,
σ
) y (x
,__, x 1
).n^
Sabiendo que
ௌ
మ ఙ
మ^
߯ ~
ଶିଵ
, necesitamos hallar k
1
y k
: 2
݇ܲ
ଵ^
ܵ݊
ଶ ߪ
ଶ
݇
ଶ
ൌ 1 െ ߙ
Ahora, a diferencia de los dos casos anteriores la distribución
߯
ଶ
no es
simétrica, por lo que no está tan claro como antes qué valores de k
1
y k
debemos escoger para que el intervalo tenga una longitud mínima y quecontenga un (
α
-1) de probabilidad. Lo que se suele hacer es actuar por
analogía con el caso simétrico y escoger k
1
y k
2
de forma que
α
se reparta
7
α^
α/
α/
k
1 ߯ ିଵ,ሺଵି
ఈሻଶ
ଶ
k^2
߯ ିଵ,ሺ
ఈ ଶ ሻ
߯ܲଶ
ିଵ,ሺଵି
ఈଶ ሻ
ଶ^
ଶ
ଶ
ିଵ,ሺ
ఈଶ
ሻ
ଶ^
ିଵ,ሺଵି
ఈଶ ሻ
ܵ݊ଶ
ଶ^
ିଵ,ሺ
ఈଶ ሻ
ܵ݊ଶ
ଶ^
߯ଶ ିଵ,ሺ
ఈଶ ሻ
ଶ^
ଶ
߯ଶ
ିଵ,ሺଵି
ఈଶ ሻ
ଶ^
ఙ
మ
; ଵିఈ %
ଶ
ିଵ,ሺ
ఈ ଶ
ሻ
ଶ
ଶ
ିଵ,ሺଵି
ఈ ଶ
ሻ
ଶ
Sabiendo que
representa la proporción o porcentaje de éxitos de "n" pruebas
∙
ොି ∙
Construimos el intervalo aleatorio en el que esperamos que esté la proporción poblacional:
ଵ^
ොି ∙
ଶ^
despejando y cambiando signos
ଵ
ଶ
en este caso, se comprueba que los límites dependen del parámetro desconocido. Esto losalvamos con el Teorema Central del Límite, admitiendo que si n>30 y np>
podemos
aproximar
a
ܥܫ
, ଵିఈ %
ܼേ ̂
ఈ ଶ
⁄
ݍ ∙ ̂
݊ො
IC para la PROPORCIÓN
Dadas dos Variables Aleatorias p
x^
y p
y^
que representan el porcentaje
de éxitos de dos variables aleatorias X e Y y
̂
y
̂
los porcentajes
de éxitos observados en dos muestras aleatorias obtenidas de esaspoblaciones suficientemente grandes e independientes, entonces (poranalogía con el Intervalo de Confianza de p y de
ߤ
ߤ െ
):
ܲ
̂
̂െ
݇േ
̂
ݍ ∙
ො
̂
ݍ ∙
ො
ൌ 1 െ ߙ
donde
݇ ܼൌ
y por tanto:
ܥܫ
, భషഀ %
̂
̂െ
ܼേ
̂
ݍ ∙
ො
̂
ݍ ∙
ො
IC para la DIFERENCIA DE PROPORCIONES(para muestras grandes e independientes)
Sabemos que la Longitud del Intervalo de Confianza (LIC) para un Intervalo de confianza seobtiene como:
࣌ ^
^
^
= Extremo superior (k
) - Extremo inferior (k 2
Para el caso concreto de una distribución normal, de media
μ
y con
σ
conocida, y suponiendo
que es óptimo k
1
= k
2 = k por simetría:
¿Cuál sería el tamaño muestral necesario mínimo, dada una Longitud "L"?
ଶ
݇ൌ ݊→ ܮ2 ൌ ܥܫܮ ܿ݅ݎݐé݉݅ݏ ݏ ݁ ݉ ܿ→
ଶ
El
cálculo
anterior
se
realizaría
de
forma
análoga
para
el
resto
de
distribuciones
de
LONGITUD DEL IC Y TAMAÑO MUESTRAL ÓPTIMO probabilidad en el muestreo (media con varianza desconocida, proporción, etc.).La importancia de calcular el tamaño muestral necesario mínimo, dada una longitud L, radicaen que los costes económicos aumentan con el tamaño de muestra (es necesario encuestar amás individuos, por ejemplo), por lo que es muy útil conocer cuál sería el tamaño muestralóptimo en cada investigación.
13
Media:
%ߙ1െ
2/ߙ
ߙ1െ,ߤ
െ
2 ߙ݊ܵ⁄
Varianza:
2
(^2) ߪ ; 1െߙ %
݊߯ െ1,ሺ
ߙሻ 2
2
݊߯
െ1,ሺ1െ
ߙሻ 2
2
Proporción:
ߙ1െ ,
⁄2 ߙ
Diferencias demedias:
ݔ^
ݕ^
࢞ࣆ
࢟െࣆ
; െࢻ
ࢻ ࢞⁄࣌
࢞
࢟
࢞ࣆ
࢟െࣆ
; െࢻ
െ;ࢻ
⁄
^
Diferencias deProporciones:
ݔ^
ݕ
^ ݔ
െ
ݕ, 1െߙ %
ݔ^
2 ߙ⁄
ݕ^
݊ݕ ݕ
