Estructuras aeroespaciales, Apuntes de Ingeniería Aeroespacial

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Apuntes: Estructuras aeroespaciales.

Acerca de estos apuntes

Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura “Estructuras aeroespaciales”, que se imparte en el cuarto curso de Ingeniería Aeronáutica en la Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronàutica de Terrassa, de la Universitat Politècnica de Catalunya (ETSEIAT – UPC).

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0. Contenidos

• 1. Contenidos
  • 1.1. Ecuaciones constitutivas del problema elástico 1. Leyes constitutivas
  • 1.2. Modelo reológico friccional de plasticidad perfecta
  • 1.3. Espacio de tensiones
  • 1.4. Flujo plástico
  • 1.5. Regla de flujo
  • 1.6. Carga y descarga. Condiciones de Kuhn – Tucker y de consistencia................................
  • 1.7. Resumen hasta este punto...............................................................................................
  • 1.8. Cálculo del multiplicador plástico
  • 1.9. Ecuación constitutiva para el modelo de plasticidad perfecta
  • 1.10. Modelo de endurecimiento isótropo
  • 1.11. Cálculo del multiplicador plástico
  • 1.12. Modelo de endurecimiento cinemático
  • 1.13. Cálculo del multiplicador plástico
  • 1.14. Modelo poliaxial
  • 2.1. Plasticidad en barras 2. Plasticidad de vigas
  • 2.2. Ejemplo – Plasticidad en barras
  • 2.3. Flexión en el campo elastoplástico
  • 2.4. Secciones compuestas
  • 3.1. Ideas generales................................................................................................................. 3. Cálculo plástico de estructuras
  • 3.2. Teoremas fundamentales
  • 3.3. Método de cálculo............................................................................................................
  • 3.4. Ejemplo isostático – Viga biapoyada con carga puntual
  • 3.5. Ejemplo isostático – Viga biapoyada con carga distribuida
  • 3.6. Ejemplo hiperestático – Viga biempotrada con carga puntual
• 4.1. Generalidades acerca de la inestabilidad......................................................................... 4. Introducción a la inestabilidad estructural
• 4.2. Conceptos energéticos
• 4.3. Grados de libertad............................................................................................................
• 4.4. Estabilidad
• 4.5. Introducción al pandeo
• 5.1. Introducción 5. Inestabilidad estructural de columnas
• 5.2. Carga crítica de Euler – Viga biapoyada
• 5.3. Carga crítica de Euler – Viga biapoyada – Planteamiento en fuerzas
• 5.4. Carga crítica de Euler – Viga biapoyada – Planteamiento energético
• 5.5. Carga crítica de Euler – Viga biempotrada – Planteamiento en fuerzas
• 5.6. Carga crítica de Euler – Viga en voladizo – Planteamiento en fuerzas
• 5.7. Expresión general de la carga crítica de Euler..................................................................
• 5.8. Excentricidad y defectos iniciales.....................................................................................
• 5.9. Inestabilidad en cargas columna
• 5.10. Método energético de Rayleigh – Ritz
• 5.11. Método energético – Viga biapoyada
• 5.12. Método energético – Viga en voladizo
• 6.1. Formulación de la matriz de rigidez 6. Cálculo matricial de la estabilidad de estructuras
• 6.2. Formulación de la matriz de rigidez aproximada
• 6.3. Cálculo matricial de estabilidad – Viga biapoyada
• 6.4. Cálculo matricial de estabilidad – Viga en voladizo
• 6.5. Cálculo matricial de estabilidad – Viga empotrada y apoyada
• 6.6. Discretización y ensamblado
• 6.7. Transformación de coordenadas locales a globales
• 6.8. Esfuerzos normales dependientes del elemento
• 7.1. Introducción a las estructuras aeroespaciales 7. Estructuras aeroespaciales
• 7.2. Factor de carga
• 7.3. Comportamiento frente a ráfaga
• 7.4. Teorema de Castigliano
• 7.5. Energía de deformación
• 7.6. Método de la carga unitaria
• 7.7. Cargas sobre una viga.......................................................................................................
• 7.8. Cargas sobre una placa.....................................................................................................
• 7.9. Centro de cortadura
• 7.10. Secciones reforzadas
• 7.11. Torsión y giro
• 7.12. Equilibrado
• 7.13. Secciones multicelulares
• 7.14. Secciones variables.........................................................................................................
• 7.15. Tensión diagonal

1. Leyes constitutivas

1.1. Ecuaciones constitutivas del problema elástico

Las ecuaciones constitutivas son las ecuaciones que relacionan las tensiones en un cuerpo con sus deformaciones. La más sencilla es la ley de Hooke, para un material lineal. En el caso uniaxial se podía expresar como. Más en general, en caso poliaxial, la ley de Hooke se expresa como

Esta ecuación puede escribirse de forma más reducida como

̲̲̲̲ ̲̲

Donde ̲̲ es el tensor de rigidez (de cuarto orden). Otra forma de escribir esta expresión sería

En tres dimensiones, puesto que cada uno de los índices , , y puede tener tres componentes , o , existen componentes del tensor de rigidez. Sin embargo, de la simetría de las componentes de tensión y deformación deben cumplirse las siguientes relaciones entre componentes:

 debido a la simetría del tensor tensión.  debido a la simetría del tensor deformación.  debido a que la energía elástica viene dada por una forma cuadrática.

Esto deja al tensor de rigidez con componentes independientes. Estas componentes se pueden calcular como

( ) {

Donde y son respectivamente el primer y el segundo coeficiente de Lamé.

La ley de Hooke sólo es válida en el tramo de comportamiento lineal de un material. A partir del límite elástico se producen deformaciones permanentes que no están gobernadas por esta ley. Éstas serán objeto de estudio durante este curso, en el que se trabajara principalmente el caso uniaxial y se hará una pequeña introducción al poliaxial.

1.2. Modelo reológico friccional de plasticidad perfecta

Supóngase un material para el que una vez superado el límite de fluencia ya no aumenta la tensión con la deformación. Este modelo se llama de plasticidad perfecta y su curva es la representada en la figura 1.1, a la izquierda. A la derecha se representa un posible mecanismo con esta característica.

Donde es una variable irreversible llamada multiplicador plástico. Esta variable se define para evitar que tras un caso dos cargas consecutivas de igual valor y signo diferente, como el de la figura 1.2, el material se quede como estaba inicialmente, como si no se hubiese cargado.

Figura 1.

1.5. Regla de flujo

La regla de flujo dice que

̇^ (^ )̇^ (^ )̇

Donde la función (^ )^ es el signo de. Esta expresión, recordando que (^ )^ | | , también puede escribirse como

Puesto que la derivada de un valor absoluto es el signo del argumento.

1.6. Carga y descarga. Condiciones de Kuhn – Tucker y de consistencia

Las tres condiciones que se han de cumplir para que se cumpla la regla de flujo son

 ̇  ( )  ̇ ( )

Supóngase una evolución reversible (elástica). Entonces

( )̇̇

En una evolución irreversible (plástica)

̇ ̇ ( )

Sin embargo, si se considera que ( ) el estado de carga corresponde al punto señalado en la figura 1.3, y a partir de aquí existen las opciones de descargar (recorrido ( )) o seguir cargando (recorrido ( )). Para tomar esto en consideración se utiliza la llamada condición de consistencia ̇̇ ( ).

Si se quiere seguir el recorrido ( ) desde ese punto entonces ( ) , y como se quiere reducir la tensión ̇. A partir de aquí, de la condición de consistencia se obtiene ̇ y de la regla de flujo finalmente se sabe que la deformación plástica se mantiene ( ̇ ).

Si se quiere seguir el recorrido ( )^ desde ese punto entonces (^ )^ , pero en esta ocasión no se intenta modificar el valor de la tensión, por lo tanto ̇. Ahora utilizando la condición de consistencia ̇ no queda determinado. Puede suceder que ̇̇ (que quiere decir que se ha detenido la carga en ese punto y no se deforma más el cuerpo, figura 1.4), pero también puede ser que ̇ y por tanto ̇ (es decir, se sigue deformando el cuerpo).

Figura 1.3.

Figura 1.4. Cuando el bloque alcance el suelo la barra dejará de deformarse, pero seguirá cargada con.

1.7. Resumen hasta este punto

En resumen, hasta este punto las leyes constitutivas del modelo de plasticidad perfecta son

1. Descomposición aditiva

2. Ecuación constitutiva ( )

3. Espacio de tensiones a) Espacio de tensiones (^) { | ( ) | | (^) } b) Zona elástica { | (^ )^ |^ |^ } c) Zona plástica { | (^ )^ |^ |^ }

4. Regla de flujo

̇ ̇

5. Kuhn – Tucker ̇ ( )̇ ( )
6. Condición de consistencia ̇̇ ( )

Para calcular ̇(que es real y por lo tanto ) a partir de la tensión de tanteo se tendrá

̇̇̇ ̇ ̇

Mientras no haya deformación plástica entonces efectivamente la tensión de tanteo coincidirá con la tensión real ̇̇. En caso contrario se puede calcular la tensión real como

̇̇ ̇

Efectivamente, si hay deformación plástica la tensión no puede variar, es decir ̇. Por lo tanto, de forma general puede escribirse

̇̇ ̇̇ {̇ ̇ ̇

1.10. Modelo de endurecimiento isótropo

El modelo de endurecimiento isótropo es un modelo bilineal como el mostrado en la figura 1. que considera otra zona lineal adicional.

Figura 1.5. Modelo de plasticidad bilineal. Carga y descarga.

El modelo friccional se define de forma muy similar al anterior, pero ahora el elemento friccional es de valor variable

Donde es una variable de endurecimiento irreversible. Al deformar el material plásticamente, éste se endurece. Si después de descargar se volviese a cargar como se indica en la figura 1.5 a la derecha, el valor de la tensión de fluencia se habrá visto modificado por este endurecimiento, modelado mediante esta variable.

Las ecuaciones constitutivas para este modelo son

( )

El espacio de estados quedará

{ | ( ) | | ( ) } { | ( ) | | ( ) } { | ( ) | | ( ) }

Y a la regla de flujo ahora es

Las condiciones de Kuhn – Tucker son equivalentes, pero ahora ( )

̇ ( )̇ ( )

1.11. Cálculo del multiplicador plástico

Igual que en el caso de plasticidad perfecta, de nuevo se toman las condiciones (^ )^ y ̇( ) para determinar el multiplicador plástico. Aplicando la regla de la cadena a la

segunda condición

̇( )̇̇

A partir de las ecuaciones constitutivas y las reglas de flujo

Se puede desarrollar la expresión anterior

Y despejando ̇se obtiene

Se supone que el denominador será siempre positivo. Lo contrario sería considerar que se produce ablandamiento con la deformación plástica, en lugar de endurecimiento. Sustituyendo los valores para las derivadas parciales de ( ), que son

( ) | | (^) ( )

Entonces el multiplicador plástico ̇queda finalmente

̇̇

1.14. Modelo poliaxial

El modelo poliaxial es una extensión de todo lo anterior. Las ecuaciones son de carácter similar, pero ahora están expresadas en forma tensorial. Se expone aquí a modo de resumen, pero no se desarrollará.

1. Descomposición aditiva

̲̲̲̲ ̲̲

2. Ecuaciones constitutivas

̲̲̲̲ ̲̲ ̲̲ ( ̲̲̲̲ )̲̲̲̲̅ ̲̲̲̲̅̅

3. Espacio de tensiones

{ ̲̲̲̲̅ |^ ( ̲̲̲̲̅^ )^ ( ) } { ̲̲̲̲̅ | ( ̲̲̲̲̅ ) ( ) } { ̲̲̲̲̅ | ( ̲̲̲̲̅ ) ( ) }

4. Regla de flujo ̲̲̇ ̲̲̲̲̲̲̇̇̇̅̇̇̅

5. Kuhn – Tucker

̇ ( ̲̲̲̲̅ )̇ ( ̲̲̲̲̅ )

6. Condición de consistencia

̇̇ ( ̲̲̲̲̅ )

7. Multiplicador plástico

2. Plasticidad de vigas

2.1. Plasticidad en barras

El margen de seguridad es un índice que indica cómo está trabajando la estructura.

Donde es la última carga admisible, es la máxima carga que se espera que se aplique sobre la estructura, y es el factor de seguridad. Para que la estructura trabaje adecuadamente el margen de seguridad deberá ser mayor que , pero si es muy grande la estructura estará sobredimensionada.

En la asignatura “Teoría de estructuras” la carga permisible estaba determinada por el límite elástico, y a partir de este punto se consideraba que la estructura fallaba. Sin embargo este es un criterio muy conservador, pues la estructura habrá entrado en plasticidad pero no tiene por qué romperse. Considerando un modelo de plasticidad perfecta, se puede suponer que la zona de la estructura que ha entrado en plasticidad no se continuará cargando más allá de , pero el resto de componentes que aún no hayan alcanzado este punto sí pueden seguir siendo cargados.

Cada vez que en algún punto se llega a la plasticidad, se reduce el grado de hiperestaticidad del sistema en uno, de forma que la estructura colapsa en el momento que se convierte en un mecanismo (grado de hiperestaticidad negativo). De este modo, una mayor parte de la estructura estará trabajando a la tensión límite.

2.2. Ejemplo – Plasticidad en barras

Es posible que el lector recuerde, de “Teoría de estructuras”, la estructura hiperestática esquematizada en la figura 2.1 a la izquierda.

Figura 2.1. Esquema de la estructura del problema.

Al cargarla con la fuerza , la estructura se deformará como indica la figura 2.1 a la derecha. La única ecuación de equilibrio que se puede obtener es

√

Figura 2.4. Principio de superposición.

Las soluciones del primer sistema son las que ya se han calculado

El segundo sistema tiene como solución

Sumando ambas soluciones, la carga en las barras será

La carga en la barra ( ) no aumentará, pero sí lo hará la carga en las barras ( ). Cuando estas dos barras también plastifiquen ( ) se habrá llegado a la máxima carga plástica de la estructura completa, y será

La diferencia en el margen de seguridad será de un , aunque al estar más cerca del colapso posiblemente se deba usar un factor de seguridad mayor. Las tensiones en las barras se encuentran en los puntos indicados en la figura 2.5.

Figura 2.5. Estado de carga de las barras.

Durante la deformación plástica de la barra ( ), la ecuación de compatibilidad de deformaciones continúa siendo la misma, pero ahora ya no es la deformación elástica

Sin embargo sí que se cumple que √. Si una vez se ha llegado a se descargarse la estructura, las barras ( ) deberían llegar a la situación inicial, pero no pasa así con la barra ( ), lo que provoca unas tensiones residuales, de compresión en la barra ( )^ y de tracción en las barras( ).

Como la estructura era originalmente hiperestática con grado de hiperestaticidad 1 , al plastificar la barra ( ) se convierte en una estructura isostática. Cuando plastifican las barras ( ) (^) la estructura ya se convierte en un mecanismo y colapsa.

2.3. Flexión en el campo elastoplástico

El equivalente en flexión de una barra que alcanza la plasticidad es el concepto de rótula plástica. Se sigue considerando el modelo de plasticidad perfecta (es decir, se desprecia el aumento de rigidez de la zona plástica). De forma habitual se despreciarán las tensiones tangenciales. Si se carga gradualmente la viga de la figura 2.6, de sección rectangular, llega un momento que se alcanza el límite elástico en los extremos superior e inferior de la viga. Si se sigue cargando el sistema entonces algunas fibras empezarán a deformarse plásticamente, y la distribución de tensiones evolucionará como indica la figura 2.7.

Figura 2.6. Esquema de la estructura del problema.

Figura 2.7. De izquierda a derecha, la fibra superior y la inferior alcanzan el límite elástico, al seguir cargando la viga plastifican el resto de fibras, finalmente la sección entera plastifica.