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MATEMÁTICAS BÁSICAS
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
BREVE RESEÑA HISTÓRICA
Efectuar mediciones y conteos son las principales actividades matemáticas que el hombre realiza desde
la antigüedad. Sin embargo, en la actualidad se conoce muy poco acerca de los orígenes de los
números, lo que si se sabe es que la necesidad de contar nace desde las épocas prehistóricas de la
humanidad.
Los sistemas de recuento más primitivos se basaban en el cinco, el diez o el veinte, que están
relacionados con los cinco dedos que el humano tiene en cada mano, o los diez dedos si se toman
ambas, o los veinte si se consideran las manos y los pies.
Sin embargo, esta forma de contar era limitada. Imagínese, por ejemplo, que el hombre tenía que contar
cuántas semillas sembraba en un día. Lo primero que hacia era relacionar cada semilla que sembraba
con una piedra y si le sobraban piedras le faltaban semillas y si le faltaban piedras le sobraban semillas,
es decir, utilizaba conjuntos equivalentes que se relacionaban.
Como puede advertirse, este método era bastante complejo, así que lo que nuestros antepasados
hicieron, fue empezar a asociar símbolos que eran grabados en piedras o en la tierra, con los conceptos
que querían medir o contar, poco después se comenzaron a asociar palabras y sonidos repitiéndolos en
el mismo orden. De esta forma la humanidad dio un paso gigantesco y comenzó a contar cada vez más
objetos.
Lo que se realiza en la actualidad, es la asociación de conjuntos de forma biunívoca, es decir, se asocian
palabras con los números, así como las cosas que se desean contar.
Ejemplo.
Para saber cuántas manzanas hay en una caja, se busca el conjunto de los números naturales
equivalente al de manzanas de la caja. La cantidad de manzanas que hay en la caja es el número
cardinal del conjunto asociado (recuérdese que la cardinalidad de un conjunto se definió como el número
de elementos que posee).
Los números cardinales se utilizan para contar objetos de un conjunto. Esto es: 1 ,^2 ,^3 ,^4 ,⋅⋅⋅, etc.
El proceso de asociar conjuntos de números naturales sucesivos con los objetos de un conjunto
cualquiera es contar. Contar los elementos de un conjunto es independiente del orden que tomen dichos
objetos.
Cuando se toma en cuenta el orden de los objetos utilizamos lo que se conoce como números ordinales.
Esto es: primero, segundo, tercero, etc.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Los egipcios representan una de las civilizaciones más antiguas y desarrolladas del mundo. Gracias a la
existencia de los papiros de Rhind y de sus múltiples jeroglíficos es que se sabe algo acerca de su
aritmética. Aunque emplearon el sistema duodecimal en la subdivisión del año (en doce meses,
correspondientes a sus doce dioses principales) y del día (en doce horas de claridad y doce de tinieblas),
su numeración era decimal y contaba con signos jeroglíficos para las cifras del uno al diez y para cien,
mil, diez mil, cien mil y un millón.
Los babilonios, al igual que los egipcios, desarrollaron su propio sistema de numeración, ellos escribían
sobre tablillas de arcilla, en donde utilizaban la escritura cuneiforme y no tenían ningún símbolo para
representar el cero. Utilizaban un sistema de numeración de valor posicional a través de dos símbolos
básicos en forma de cuña. Una en forma vertical para las unidades y otra en forma horizontal para las
decenas.
Los mayas inventaron un sistema de numeración en donde aparece por primera vez el cero, además de
que su base era el veinte, ya que se cree, que tal vez sea por el hecho de contemplar los dedos de pies y
manos. Esta civilización representó cada cantidad por medio de símbolos que según la posición que
ocupaban adquiría cierto valor, es decir el sistema maya así como el decimal es un sistema de
posiciones. El símbolo del cero en cualquier posición indica ausencia de cantidad.
Los hindúes representaron con nueve símbolos diferentes, uno por cada número del uno al nueve. Éstos
han cambiado con el tiempo, pero llegaron a Europa en su forma actual en el siglo XVI.
Por su parte, los griegos y los hebreos, utilizaron nueve símbolos diferentes para estos números. En cada
caso, los símbolos eran las primeras nueve letras de sus alfabetos.
El Imperio Romano desarrolló un sistema de numeración que se usó en Europa hasta el siglo XVII. En la
actualidad es muy conocido y se usa para indicar los tomos de una obra, los capítulos de un libro, el
nombre del siglo, el nombre de una época, para las fechas, para los personajes de mismo nombre y las
horas en las carátulas de algunos relojes.
Las cifras están representadas con letras que tienen determinado valor:
Letra Valor
I 1
V 5
X 10
L 50
C^100
D 500
M^1 ,^000
En esta numeración la letra no depende de la posición que ésta tenga para que sea escrita. Para escribir
con números romanos hay que tener en cuenta lo siguiente:
a) Los valores de las cifras iguales se suman
Ejemplos.
III = 1 +^1 +^1 =^3
XX = 10 + 10 = 20
CCC = 100 +^100 +^100 =^300
b) Ninguna cifra puede repetirse más de tres veces seguidas
Ejemplo.
La expresión XXXXX = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 es inválida. La forma correcta de representar a este
número es: L = 50
Al decir que un sistema es de base diez, significa que sólo hace uso de diez símbolos o guarismos
únicamente, es decir, los símbolos de base 10 son: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 y 9.
Los dígitos pueden tener dos valores: un valor absoluto que es el que indica el número de unidades que
lo forman y un valor relativo que es el que adquieren según la posición que ocupan.
Ejemplo.
El valor absoluto de los dígitos que forman 496 es: 4 ,^9 ,^6. Por su parte, el valor relativo es 400 ,^90 y
(^6).
Las cifras que intervienen en un número se dividen en períodos de seis cifras cada uno de la siguiente
forma:
Tercer periodo Billones
Segundo periodo Millones
Primer periodo Unidades Segundo grupo Miles
Primer grupo Unidades
Segundo grupo Miles
Primer grupo Unidades
Segundo grupo Miles
Primer grupo Unidades
Tercer grupo
Centenas
Segundo grupo
Decenas
Primer grupo
Unidades
Tercer grupo
Centenas
Segundo grupo
Decenas
Primer grupo
Unidades
Tercer grupo
Centenas
Segundo grupo
Decenas
Primer grupo
Unidades
Tercer grupo
Centenas
Segundo grupo
Decenas
Primer grupo
Unidades
Tercer grupo
Centenas
Segundo grupo
Decenas
Primer grupo
Unidades
Tercer grupo
Centenas
Segundo grupo
Decenas
Primer grupo
Unidades
El período de la derecha son las unidades, el siguiente son los millones, el siguiente es el de los billones,
etc.
Cada período se puede dividir en dos grupos de tres cifras cada uno: las unidades y los millares, a su vez
cada grupo se divide en unidades, decenas y centenas.
Como el sistema de base 10 , consta de diez dígitos o guarismos, si se desea contar utilizando la base
diez, se debe hacer de la siguiente manera:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,⋅⋅ ⋅ 19 , 20 , 21 ,⋅⋅⋅, 29 , 30 , 31 ,⋅⋅⋅ 99 , 100 , 101 ,⋅⋅⋅, 109 , 110 , 111 ,⋅⋅⋅ 999 , 1000 , 1001 ,⋅⋅ ⋅etc.
Es posible también escribir un número en notación desarrollada, esto es, que cualquier cantidad se
puede escribir cómo la suma de los dígitos del número por la base diez elevada al correspondiente
exponente.
En general, un número N se puede expresar de la siguiente manera:
m m
n n
n n
n N xn x x x x x x x
− −
− −
− −
− −
− = 10 + − 10 + 10 +⋅⋅⋅+ 10 + 10 + 10 + 10 +⋅⋅⋅+ 10
2 2
1 1
0 0
1 1
2 2
1 1
en donde:
x (^) es cada dígito componente del número n es el número de dígitos a la izquierda del punto decimal menos uno m es el número de dígitos a la derecha del punto decimal
Ejemplo.
Representar el número 32 , 498. 567 en notación desarrollada.
Solución.
4 3 2 1 0 1 2 3 32 498567 310 210 410 910 810 510 610 710
− − − ,. = + + + + + + +
Comprobando:
32 , 498. 567 = 30 , 000 + 2 , 000 + 400 + 90 + 8 + 0. 5 + 0. 06 + 0. 007
SISTEMAS DE DIFERENTES BASES
Existen diversos tipos de sistemas de numeración dependiendo de la base. En general, en un sistema de
base n , se utilizan n símbolos. De acuerdo con esto, los sistemas más utilizados además del decimal
son:
Es un sistema de base 2 , en el que sólo se tienen dos símbolos o guarismos que son: 0 y 1. Es de
gran importancia debido a que es el lenguaje que manejan las computadoras. Su notación es (^ N) 2
Ejemplo de número binario:
Es un sistema de base 8 , tal como su nombre lo indica. Cuenta ocho símbolos: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 y 7. Su
notación es (^ N) 8
Ejemplo de número octal:
Es un sistema de base 16. Está formado por dieciséis elementos: (^0) , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,A,B,C,D,Ey F.
Su notación es (^ N^ ) 16 y las letras tienen los siguientes valores:
A= 10 ,B= 11 ,C= 12 ,D= 13 ,E= 14 ,F= 15
Ejemplo de número hexadecimal:
( 7 A 4 CE 6 B) 16
Se dice que los sistemas anteriores son de posición, debido a que el valor que se le asigna a una
cantidad depende de la posición relativa de sus símbolos.
Los sistemas numéricos de posición quedan representados por la siguiente expresión:
n es el número de dígitos a la izquierda del punto binario menos uno m (^) es el número de dígitos a la derecha del punto binario
Ejemplo.
El número (^10010.^011 ) 2 representado como potencias de dos es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2 1 0 1 2 3 10010 0112 12 02 02 12 02 02 12 12
− − −
. = + + + + + + +
CONVERSIÓN DE NÚMEROS BASE DOS A BASE DIEZ
Para convertir un número base dos en decimal, basta con aplicar la expresión que calcula ( N) 2
considerando que se simplifica cuando se tiene un cero.
Ejemplo.
Transformar el número (^1010.^101 ) 2 a base decimal.
Solución.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 0 1 2 3 1010 1012 12 02 12 02 12 02 12
− − −
. = + + + + + +
= ( 1 ) 8 +( 0 ) 4 +( 1 ) 2 +( 0 ) 1 +( 1 ) 0. 5 +( 0 ) 0. 25 +( 1 ) 0. 125 = 8 + 2 + 0. 5 + 0. 125
= 10. 625
Ejemplo.
Convertir el número (^10010.^011 ) 2 a base decimal.
Solución.
4 3 2 1 0 1 2 3 10010 0112 12 02 02 12 02 02 12 12
− − −
. = + + + + + + +
= ( 1 ) 16 +( 0 ) 8 +( 0 ) 4 +( 1 ) 2 +( 0 ) 1 +( 0 ) 0. 5 +( 1 ) 0. 25 +( 1 ) 0. 125 = 16 + 2 + 0. 25 + 0. 125
= 18. 375
Considerando las potencias de dos, se puede establecer la siguiente tabla de conversión de números
expresados en sistema decimal a su respectiva forma binaria:
PARTE ENTERA PARTE FRACCIONARIA Sistema decimal
Sistema binario
Sistema decimal
Sistema binario 0 (0000) 2 0 (0.0000) 2 1 (0001) 2 0.0625 (0.0001) 2 2 (0010) 2 0.1250 (0.0010) 2 3 (0011) 2 0.1875 (0.0011) 2 4 (0100) 2 0.2500 (0.0100) 2 5 (0101) 2 0.3125 (0.0101) 2 6 (0110) 2 0.3750 (0.0110) 2 7 (0111) 2 0.4375 (0.0111) 2 8 (1000) 2 0.5000 (0.1000) 2 9 (1001) 2 0.5625 (0.1001) 2 10 (1010) 2 0.6250 (0.1010) 2 11 (1011) 2 0.6875 (0.1011) 2 12 (1100) 2 0.7500 (0.1100) 2 13 (1101) 2 0.8125 (0.1101) 2 14 (1110) 2 0.8750 (0.1110) 2 15 (1111) 2 0.9375 (0.1111) 2
Leer el número de abajo hacia arriba
Leer el número de abajo hacia arriba
CONVERSIÓN DE NÚMEROS BASE DIEZ A BASE DOS
Para convertir un número decimal natural en binario, se divide reiteradamente por dos los cocientes
sucesivos y los residuos serán, en orden de abajo hacia arriba, las cifras binarias. El proceso se repite
con los cocientes obtenidos mientras no sea cero.
Ejemplo.
Transformar a base dos los siguientes números expresados en base diez.
Solución:
3
2
1
0
, x
, x
, x
, x
El número buscado es: (^1101 ) 2
- 37
Solución.
5
4
3
2
1
0
, x
, x
, x
, x
, x
, x
El número buscado es: (^100101 ) 2
Para convertir un número decimal fraccionario en binario, se multiplica reiteradamente por dos la parte
fraccionaria y los números antes del punto serán, en orden de arriba hacia abajo, las cifras binarias. El
proceso se repite hasta que la parte fraccionaria sea cero o que la obtención de componentes se
vuelva cíclica.
Ejemplo.
Transformar el número 0. 875 a binario.
Solución:
Leer el número de abajo hacia arriba
Leer el número de abajo hacia arriba
( 2101. 12 ) 3 = ( 2 ) 27 +( 1 ) 9 +( 0 ) 3 +( 1 ) 1 +( 1 ) 0. 33 +( 2 ) 0. 11 = 54 + 9 + 1 + 0. 33 + 0. (^22) = 64. 55
- ( 5 A 694. 30 A) 11
Solución.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(^4321012) 5 6943011 511 11 611 911 411 311 011
− − A. = + A + + + + +
efectuando las operaciones y considerando la parte decimal periódica:
( 5 A 694. 30 ) 11 = 5 ( 14641 ) +( 10 ) 1331 +( 6 ) 121 +( 9 ) 11 +( 4 ) 1 +( 3 ) 0. 09 +( 0 ) 0. 0083
= 73205 + 13310 + 726 + 99 + 4 + 0. 2727 = 87344. 27
CONVERSIONES DE NÚMEROS ENTEROS EXPRESADOS EN BASE DIEZ A CUALQUIER BASE
Para convertir un número decimal entero a una base a^ , se divide reiteradamente por a^ los cocientes
sucesivos y los residuos serán, en orden de abajo hacia arriba, las cifras que componen al número. El
proceso se repite con los cocientes obtenidos mientras no sea cero.
Ejemplos.
Transformar los siguientes números decimales a la base pedida:
- 44 a base seis.
Solución.
1 6
1 0 6
1
1 6
1 1 6
7
2 6
2 7 6
44
2
1
0
= + =
= + =
= + =
, x
, x
, x
El número buscado es: (^112 ) 6
2) 562 a base octal.
Solución.
1 8
1 0 8
1
0 8
0 1 8
8
6 8
6 8 8
70
2 8
2 70 8
562
3
2
1
0
= + =
= + =
= + =
= + =
, x
, x
, x
, x
El número buscado es: (^1062 ) 8
- 7829 a base quince.
Solución.
Leer el número de abajo hacia arriba
Leer el número de arriba hacia abajo
3
2
1
0
, x
, x
, x B
, x E
El número buscado es: (^24 BE) 15
CONVERSIONES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS EXPRESADOS EN BASE DIEZ A CUALQUIER BASE
Para convertir un número fraccionario expresado en base diez a una base a^ , se multiplica
reiteradamente por a^ la parte fraccionaria y los números antes del punto serán, en orden de arriba
hacia abajo, las cifras que componen al número. El proceso se repite hasta que la parte fraccionaria
sea cero o que la obtención de componentes se vuelva cíclica.
Ejemplo.
Transformar los siguientes números decimales fraccionarios a la base pedida:
- 20 a base cinco
Solución.
- 20 ( 5 )^ = 1 + 0. 00 , x− 1 = 1
El número buscado es: (^0.^1 ) 5
- 60 a base nueve
Solución.
( )
( )
060 ( ) 9 5 040 5
3
2
1
−
−
−
.. , x .. , x .. , x
Como se puede observar, no se llega a tener una fracción cero, pero la obtención de las componentes es
cíclica ya que la fracción inicial es igual a la última fracción obtenida. A medida de que se tomen más
cifras de periodos sucesivos, la precisión es mayor. Por ejemplo, si se consideran tres cifras el resultado
aproximado con cinco decimales es:
( 0 535 ) ( 5 ) 9 ( 3 ) 9 ( 5 ) 9 055555 003703 000685 059943
1 2 3
. 9 = + + =. +. +. =.
− − −
Ahora, si se consideran cinco cifras el resultado aproximado con cuatro decimales tiene mayor precisión:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5 0 535359 59 39 59 39 59
− − − − −
. = + + + +
= 0. 55555 + 0. 03703 + 0. 00685 + 0. 00045 + 0. 00001 = 0. 59989
Esto significa que el número buscado es: ( 0. 53 ) 9
- 18 a base hexadecimal
Solución.
Leer el número de abajo hacia arriba
Leer el número de abajo hacia arriba
Leer el número de arriba hacia abajo
4
3
2
1
0
, x
, x
, x
, x
, x
El número buscado es: (^21001 ) 3
- (^1203.^21 ) 4 a base dos
Solución.
Convirtiendo el número a base diez:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 0 1 2 1203 214 14 24 04 34 24 14
− −
. = + + + + +
considerando cuatro cifras significativas:
( 1203. 21 ) 4 = 1 ( 64 ) +( 2 ) 16 +( 0 ) 4 +( 3 ) 1 +( 2 ) 0. 25 +( 1 ) 0. 0625
Al ser un número con parte entera y parte decimal, se procede en dos partes:
primero, se convierte la parte entera a base dos:
6
5
4
3
2
1
0
, x
, x
, x
, x
, x
, x
, x
segundo, se convierte la parte fraccionaria a base dos:
( )
( )
( )
0500 ( ) 2 1 0000 1
02502 0 0500 0
01252 0 0250 0
056252 1 0125 1
4
3
2
1
= + =
= + =
= + =
= + =
−
−
−
−
.. , x .. , x .. , x .. , x
Finalmente, el número buscado es: ( 1100011. 1001 ) 2
CONVERSIONES DE NÚMEROS BINARIOS A BASE OCTAL Y VICEVERSA
Cuando se desea transformar un número binario a base ocho o viceversa, se aplica la siguiente tabla de
conversión:
OCTAL BINARIO 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111
y se toman grupos de tres cifras de la siguiente forma:
- De derecha a izquierda cuando es una parte entera
- De izquierda a derecha cuando se trata de una fracción.
Ejemplo.
Convertir el número (^101011111.^100 ) 2 a base ocho.
Solución.
De acuerdo a la tabla, se cumple que: (^) (^) 5 3 7 4
101011 111. (^100) , así que el número es: ( )
Ejemplo.
Convertir el número (^6352.^41 ) 8 a base dos.
Solución.
De acuerdo a la tabla, se cumple que: (^)
110011101010100001
6 3 5 2. (^41) , así que el número es:
( 1100111010 10. 100001 ) 2
CONVERSIONES DE NÚMEROS BINARIOS A BASE HEXADECIMAL Y VICEVERSA
Para transformar un número binario a base hexadecimal o viceversa, se aplica la siguiente tabla de
conversión:
OCTAL BINARIO 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111
( )
( )
( ) 2
2
2
- (^) ( 1210 ) 3 +( 221 ) 3
Solución
Sumando los dígitos correspondientes de izquierda a derecha:
0 + 1 = 1
1
0
1 + 2 = 3 33 el resultado es^0 y se “lleva^1 ”
1
2
1 + 2 + 2 = 5 35 el resultado es^2 y se “lleva^1 ”
1 + 1 = 2
( )
( )
( ) 3
3
3
- ( 34 ) 5 +( 20 ) 5
Solución
Sumando los dígitos correspondientes de izquierda a derecha:
4 + 0 = 4
1
0
3 + 2 = 5 55 el resultado es^0 y se “lleva^1 ”
( )
( )
( ) 3
3
3
- ( 436 ) 8 +( 605 ) 8
Solución
Sumando los dígitos correspondientes de izquierda a derecha:
1
3
6 + 5 = 11 811 el resultado es^3 y se “lleva^1 ”
1 + 3 + 0 = 4
1
2
4 + 6 = 10 810 el resultado es^2 y se “lleva^1 ”
( )
( )
( ) 8
8
8
RESTA
Para restar dos números en cualquier base se procede de forma similar que en el sistema decimal. Al
realizar las restas parciales entre dos dígitos de idéntica posición, si el sustraendo excede al minuendo,
se le quita uno al digito que está a la izquierda en el minuendo, ya que la unidad que está a la izquierda
tiene tantas unidades como elementos tiene la base.
En el caso de que el minuendo sea menor que el sustraendo el resultado será negativo. Para fines
prácticos, en estos casos se resta la cantidad más pequeña a la más grande y se le agrega el signo
negativo.
Ejemplos.
- ( 1101 ) 2 −( 1001 ) 2
Solución.
( )
( )
( ) 2
2
2
- ( 2102 ) 3 −( 201 ) 3
Solución.
( )
( )
( ) 3
3
3
En la tercera columna 2 para 11 es 2 y se “lleva 1 ”. En la cuarta columna (^0) + 1 = 1 para 2 es 1.
- ( 2431 ) 5 −( 4123 ) 5
Solución.
El sustraendo es mayor que el minuendo, así que el resultado es negativo.
Restando la cantidad menor a la mayor se tiene:
( )
( )
( ) 5
5
5
En la segunda columna 3 para 12 es 4 y se “lleva 1 ”. En la tercera columna 4 + 1 = 10 para 11 es 1
y se “lleva 1 ”. En la cuarta columna 2 + 1 = 3 para 4 es 1.
∴ ( 2431 ) 5 −( 4123 ) 5 =−( 1142 ) 5
- (^) ( 4523 ) 8 −( 5214 ) 8
Solución.
El sustraendo es mayor que el minuendo, así que el resultado es negativo.
Restando la cantidad menor a la mayor se tiene:
( )
( )
( ) 8
8
8
- ( 213 ) 8 ×( 423 ) 8
Solución.
( )
( )
( ) 8
8
8
×
32 6
31 3 3 1 4
1
1
33 9 89
⋅ =
⋅ = + =
⋅ =
,
22 4
DIVISIÓN
Cuando se desea dividir dos números en cualquier base se procede de forma análoga a la que se hace
en la base diez. La división consiste en identificar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en
otro número (el dividendo). Para fines prácticos, conviene escribir una tabla con los productos del divisor
para visualizar de forma más fácil las operaciones. Al resultado entero de la división se le denomina
cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en
el dividendo, la operación tendrá un residuo.
Ejemplos.
- ( 43 ) 8 ÷( 7 ) 8
Solución.
Construyendo la tabla de multiplicación para el divisor:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 8 ( ) 8 ( ) 8
8 8 8
8 8 8
8 8 8
8 8 8
8 8 8
8 8 8
El divisor cabe cinco veces en el dividendo y para obtener el residuo, se resta del dividendo el producto
del cociente por el divisor para obtener el residuo, que en este caso es cero:
( )
( )
( ) 8
8
8
5
0
43
7 43
−
- (^) ( 3211 ) 4 ÷( 13 ) 4
Solución.
Construyendo la tabla de multiplicación para el divisor:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 4 ( ) 4 ( ) 4
4 4 4
4 4 4
El divisor cabe dos veces en las primeras dos cifras del dividendo, por lo que, la primera cifra del cociente es
- A continuación se multiplica ( 13 ) 4 por ( 2 ) 4 , esto es: ( 13 ) 4 × ( 2 ) 4 =( 32 ) 4 y se efectúa la resta de este
producto del dividiendo y se obtiene ( 0 ) 4 que es el residuo. Después se baja el 1 y se aprecia que ( 01 ) 4 no
cabe ninguna vez, por lo que la segunda cifra del cociente es 0. Posteriormente se baja el 1 siguiente y se
aprecia que ( 11 ) 4 no cabe ninguna vez, por lo que la tercera cifra del cociente es 0. Se, multiplica ( 13 ) 4 por
( 0 ) 4 , que es ( 0 ) 4 y finalmente se efectúa la resta de este producto del dividiendo y se obtiene ( 11 ) 4 que es el
residuo:
( ) ( )
( )
( ) 4
4
4 4
- (^) ( 2543 ) 6 ÷( 25 ) 6
Solución.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 6 ( ) 6 ( ) 6
6 6 6
6 6 6
6 6 6
6 6 6
25 5 221
25 4 152
25 3 123
25 2 54
25 1 25
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =
El ( 25 ) 6 cabe una vez en las primeras dos cifras del dividendo, por lo que, la primera cifra del cociente
es 1. A continuación se multiplica ( 1 ) 6 por ( 25 ) 6 , que es ( 25 ) 6 , y se efectúa la resta de este producto
del dividiendo y se obtiene (^) ( 0 ) 6 que es el residuo. Después se baja el 4 y se aprecia que (^) ( 04 ) 6 no cabe
ninguna vez, por lo que la segunda cifra del cociente es 0. Posteriormente se baja el 3 y se aprecia que
( 43 ) 6 cabe una vez en el divisor, por lo que, la tercera cifra del cociente es 1. Finalmente, se efectúa la
resta de este producto del dividiendo y se obtiene ( 14 ) 6 que es el residuo:
( ) ( )
( )
( ) 6
6
6 6
101
14
25
043
25
25 2543
−
−
