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UNLu LICENCIATURA EN MATEMATICA - ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Guia N° 1
GUIA DE ACTIVIDADES N° 1
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
RELACIONES. PROPIEDADES. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA.
Ejercicio 1. En Z se define la relación R mediante
a, b ∈ R ⇐⇒ a^2 + a = b^2 + b
Analizar que propiedades cumple justificando tu respuesta.
Ejercicio 2. Dada la relación definida en Z^2 mediante
(a, b) R (a′, b′) ⇐⇒ a.b′^ = b.a′
Analizar las propiedades justificando tu respuesta.
Ejercicio 3. En R se define ∼ mediante
x ∼ y ⇐⇒ x^2 + y = y^2 + x
a) Determinar si es de equivalencia. b) En caso de que sea una relación de equivalencia determinar las clases de equivalencias, conjunto de índices, el cociente y representar la relación.
Ejercicio 4. Clasificar las siguientes relaciones definidas en el conjunto de las rectas del plano justificando tu respuesta.
a) a, b ∈ R ⇐⇒ a ∩ b ̸= 0 / b) a, b ∈ R ⇐⇒ a⊥b
Ejercicio 5. Clasificar la relación R definida en R, mediante (x, y) ∈ R ⇐⇒ |x + y| = 2 justificando tu respuesta.
Ejercicio 6. En N^2 se define la relación R mediante
(a, b) ∼ (a′, b′) ⇐⇒ a + a′^ = b + b′
a) Determinar si es de equivalencia.
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b) En caso de que la relación sea de equivalencia determinar las clases de equivalencias, conjunto de índices y representar la relación.
Ejercicio 7. En A = { 1 , 2 , 3 , 4 } se considera la relación definada por
R = {(x, y) ∈ A^2 /x = y ∨ x + y = 3 }
a) Definir R por extensión. b) Probar que es de equivalencia. c) Determinar la correspondiente partición de A
Ejercicio 8. Para (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) en R^2 , definamos
(x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) ⇐⇒ x 12 + y 12 = x 22 + y 22
Demostrar que es de equivalencia y describir las clases de equivalencias.
Ejercicio 9. Para (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) en R^2 , definamos
(x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) ⇐⇒ x 12 + y 12 ≤ x 22 + y 22
Analizar si es una relación de equivalencia.
Ejercicio 10. Encuentre el error en el siguiente argumento mostrando un contraejemplo.
La propiedad reflectiva es redundante entre los axiomas para una relación de equivalencia. Si x ∼ y, entonces y ∼ x, por la propiedad simétrica. Usando la transitividad, podemos deducir que x ∼ x.
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