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6. ESTRUCTURAS RETICULADAS PLANAS.
Se califica a una estructura plana de barras de reticulada cuando por estar las barras que confluyen en un mismo nodo empotradas entre sí formando un ángulo constructivo invariable, los movimientos de los nodos (desplazamientos y giros) pueden dar lugar a la aparición de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos axiles en las barras. En aquellas barras que se articulen en un nodo, el posible giro de éste no da lugar a la aparición de momentos flectores en esas barras.
6.1 PÓRTICOS
6.1.1 Introducción
Conceptos.-
Pórtico es un sistema estructural de una sola planta con uno o varios vanos y constituido por barras rectas (vigas y pilares)
Pórtico doble empotrado Traslacional ¡Hiperestático!
Pórtico simple Articulado Intraslacional ¡Hiperestático!
Pilar
Apoyos
Viga: dintel
2 vanos
Pórtico simple Articulado con vigas inclinadas Traslacional
Hipótesis de cálculo.-
- Los desplazamientos son muy pequeños respecto a las dimensiones de las barras del pórtico (la geometría no cambia).
- El acortamiento de las barras debido a las flexiones es un infinitésimo de 2º orden comparado con otras deformaciones
- Es aplicable el principio de superposición porque bajo cualquiera de las cargas el comportamiento es elástico-lineal.
- El efecto del esfuerzo cortante en los desplazamientos y giros es despreciable.
- El efecto de la deformación axial es despreciable para los pórticos que, por definición, tienen un solo nivel.
Equilibrio de nudos.-
barra i
barra j
N j = Q i M
j =Mi
Q i =N i Mi =Mj
Q j =N i
N i =Q j
F
E
L
U AI
II C
A II F Pu
E
L
F U ⎥=−
F
E
L
U
Pu
F
AII
II C
P L
B F^ F^ A
C D
B^ A
C D
(^1 )
ESTADO I (Real) ESTADO II (Ficticio)
Por aplicación del Terorema de Reciprocidad
La condición de compatibilidad que antes se dijo, suponiendo que F es de tracción, resulta ser:
y por tanto:
con lo cual
Nótese que esta última ecuación conduce a la conclusión de que, para resolver el problema, sólo es necesario resolver el estado II.
I A
II A
II P ⋅ UC + F ⋅ U = 1 ⋅ U
L
F F
M=4mt
A (^) B A (^1 1) B
C
I
B
II
B
II
M θ C + FU = U
F
E
L
U BI
A B
C
6m
4m
4mt
EI = 103 t. m^2
t
m E
l (^) = 10 − 3 Ω
EJEMPLO.- En la estructura de la figura calcular el esfuerzo en el tirante AB
Siguiendo la técnica descrita se desglosa la estructura en la superposición de dos estados
Estado real (I) Estado ficticio (II)
Aplicando el teorema de reciprocidad
y como:
resulta
_ * * rad EI_*
A
II C 6 6 6 103 2
1 6 1
(^1) − ⎥+ = ⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ θ = − − θ
con lo cual
. t
E
L
U
M
F
II B
II C
3 3
3
−
El signo negativo en esta última ecuación indicaría que el tirante trabaja a compresión, lo cual no es posible y, por tanto, no ejerce ningún tipo de influencia sobre la estructura sometida ésta al estado de cargas indicado.
6.1.2.2 Pórticos isostáticos traslacionales.-
Considérese una estructura como la de la figura; dado que las coacciones externas son 3 y los grados de libertad externos son, también, 3, la estructura es isostática siendo, por ello, suficientes las ecuaciones de la Estática para obtener las reacciones. Sin embargo, dada su geometría asimétrica y las cargas que sobre ella actúan, la estructura es evidentemente traslacional.
Tomando momentos en D se puede obtener la reacción vertical en A
0 = YA*L - P.L ⇒ YA=P
Con lo cual la ley de momentos flectores es suma algebraica de las leyes de momentos flectores debidas a P y a YA.
P
l
L
A
l/
B
C
D
α
Y
Y
P
Si la estructura estuviera empotrada en D:
el movimiento vertical de A sería
VA =(1/EI)[1/2PL.L.L –1/2PL.L.2/3.L – PL.L.L) ] = -5P.L^3 /6EI
¡Pero A no puede sufrir desplazamientos verticales!
θDDA cosα = VA
con lo cual
θD = VA / (DA cosα)
y el desplazamiento horizontal de A resulta
UA = θD DA sen α
6.1.3 Pórticos hiperestáticos
6.1.3.1 Semipórtico con extremo empotrado
P
l
l
A
B C
D
Y
l
l
A
B C
D
α
5P l l
α θD D
θA
A M M
M M
θA
6.1.3.2 Pórtico biempotrado.-
Considérese la estructura de la figura que es hiperestática de grado 3 (además de realizar los cálculos apropiados para llegar a esta conclusión, puede observarse que eliminado el empotramiento A y, por tanto, las tres coacciones que este impone, pasaría a ser una estructura isostática).
Al igual que en el ejemplo anterior es precisamente esta consideración la que da la “pista” de la operativa a seguir. Parece oportuno sustituir el empotramiento por la acción simultánea de una reacción vertical, una horizontal y un giro e imponer a la estructura resultante que el punto A no se mueva.
Dado que las cargas actuantes son P, X, Y y M, se va a aplicar el principio de superposición.
UA= (1/EI)[-1/2(PL). L. L/3 ] = -P.L^3 / 6EI
VA =(1/EI)[-1/2(PL). L. L ] = -P.L 3 / 2EI
=(1/EI)[1/2(PL). L] = -P.L^2 /2EI
UA= (1/EI)[M.L.L/2+ ML.L + ML.L/2] =
2ML^2 /EI
VA =(1/EI)[ML.1/2L + M.L.L]=3ML^2 /2EI
=(1/EI)[-ML-ML-ML] = -3ML/EI
D
C
B
A
l
l l
P
D
C
B
A
l
l l
P
X
Y M
P
A
Pl
θA
θA
A
Xl
X
Xl Xl
UA= (1/EI)[-1/2(XL).L .2/3 L - (XL).L.L –
1/2(XL) L. 2/3. L)] = -5 XL^3 /3EI
VA = (1/EI)[-(XL).L. L/2) –1/2(XL).L.L) ]
= -XL^3 / EI
=(1/EI)[-1/2XL.L-XL.L-1/2XL.L ] =
-2XL^2 /EI
UA= (1/EI)[1/2(YL).L.L)
+(YL).L.L/2)]= Y.L^3 /EI
VA =(1/EI)[1/2(YL).L.2L/3) +
(YL).L.L]= 4YL^3 /3EI
=(1/EI)[1/2(YL).L )-
(YL)L]= -3Y.L^2 /2EI
Sumando algebraicamente los movimientos obtenidos en los diferentes estados de carga se obtiene
0 3
5 2 6
1 3 2 3 3 − + − + = EI
YL EI
XL EI
ML EI
pL
0 3
4 2
3 2
1 3 2 3 3 − + − + = EI
YL EI
XL EI
ML EI
pL
0 2
3 2 3 2
2 2 2 − + − = EI
YL EI
XL EI
ML EI
pL
A Y l
Y l
Y
Si el número de vanos es par:
se estudia solamente una mitad del pórtico, impidiendo al punto A el desplazamiento vertical y aplicando en este punto un momento M y una fuerza M/h de modo que el movimiento de A sea igual al que tiene A como extremo superior del pilar central sometido a un momento 2M; si el pilar central está empotrado:
- Si el número de vanos es impar:
el momento flector en el punto A es nulo, pudiéndose suponer una articulación.
6.1.3.2 Métodos de cálculo de pórticos simples con pilares articulados
2M
A
P
P
A
P
M
A M/h
P
P
P
M(P)
Q(P) 2·Q(P) 2M(P)
P
P
A
H H
P
H
Caso de carga simétrica.-
- Pórtico intraslacional, simétrico e hiperestático.
Deformada a estima:
Un método sencillo de cálculo consiste en descomponer el pórtico en elementos y compatibilizar los giros de los nudos:
θB1 (M) = θB2 (M, P, q)
(Teorema de Mohr)
esfuerzos Æ M Æ giros …..
Un método alternativo de cálculo se basa en considerar que el punto medio del dintel BC no gira:
Condición = desplazamiento horizontal de D es nulo. (Teorema de Mohr, teorema de Castigliano)
A
B
P P
C
D
EI 1
EI 2
EI 1
A
B 1 M
P P
q B 2
M M
C 2
M C 1
D
D F
P+q·L/
q
P
¿Porqué este pórtico es traslacional?
Desglosado el estado de cargas en la superposición de un estado simétrico y de uno antimétrico, en el estado antimétrico se van a producir movimientos horizontales del punto medio del dintel y, por lo tanto, del pórtico.
NO SIMETRÍA TRASLACIONALIDAD
¿Hacia dónde se traslada este pórtico?
- Como no hay cargas horizontales Î HA = H (^) D = H
- Por lo tanto el momento en B es igual al momento en C y ambos iguales a H·h
¿Cuál es la situación de las barras del pórtico?
Como P no está en el centro del dintel Æ θB2 ≠ θC
La deformación de las diferentes barras es:
A
B C
D
P
I 1
I 2
I 1
L
h
a
b
HA HD
H H
C 1
C 2
P
H·h
H·h
B 2
B 1
Dado que la separación entre los nodos A y D ha de seguir siendo igual a L, el dintel necesariamente tiene que haberse desplazado hacia la izquierda.
Otros argumentos sobre la traslacionalidad.-
Por estar la carga P más cerca del nudo C, el giro de esta nudo (y por tanto, el momento) es mayor que el giro (y por tanto el momento) en el nudo B
Un movimiento hacia la izquierda aumenta el giro (y por tanto el momento) en B y lo disminuye en C
B 2 C 2
H
θB·h
θC ·h
H
Flecha de la ménsula bajo carga H
A
B
C
D A
B
C
D
A
B
P
C
D
(Mf) (^) B < (Mf )C
¿Cómo es la deformada?
Un método sencillo de cálculo en este caso es el de descomposición en elementos.
∆
Sí I 1 >> I 2
Sí I 1 << I 2
B 1 C 1
C 2
B 2
HD·h
HA·h
HA HD
A D
UA UD
h
EI
H hL
EI
H hL
EI
H h
U A A A D ⎥
1 2 2
3
h
EI
H hL
EI
H hL
EI
H h
U D D D A ⎥
1 2 2
3
como UA = UD (=∆) (para que se mantenga la separación entre A y B), se verifica HA = HD (= H/2)
Ejemplo 2.-
- Se comienza por calcular los esfuerzos en el pórtico suponiéndolo intraslacional, es decir, admitiendo un apoyo horizontal en el dintel.
- Se aplica al pórtico una carga horizontal igual a la reacción en el apoyo ficticio horizontal, cambiada de signo.
- Se superponen los esfuerzos de los dos estados.
¿ Porqué existe una reacción en B en el estado 1?.- Porque el pórtico es traslacional, y para impedir su movimiento se requiere ejercer una fuerza horizontal.
Estado 1.- Descomponiendo el pórtico en barras.
Giro de B 2
D
C
P
B
A D
C
P
B
A D
B C
A
= +
H^ H
Estado 1 Estado 2
B 2 C 2
MB MC
MC C 1
D
B 1 MB
A
θB1 = θB
θC1 = θC
Î MB , MC
