`
Algebra Lineal
Gener 2003
RESOLEU CADA PROBLEMA EN UN FULL SEPARAT I POSEU EL NOM EN TOTS
ELS FULLS
1. Sigui Rn[x] = {polinomis a coeficients reals de grau ≤n}. Considerem l’aplicaci´o lineal
f:R3[x]−→ R2[x]
p(x)−→ p0(x),
on p0(x) ´es la derivada de p(x).
(i) Matriu de fen la base {1, x, x2, x3}de R3[x] i la base {1, x, x2}de R2[x].
(ii) Matriu de fen la base {1,1 + x, 1 + x+x2,1 + x+x2+x3}de R3[x] i {1, x, x2}de
R2[x].
(iii) Trobeu una base i la dimensi´o de Kerfi Imf.´
Es finjectiva? ´
Es fexhaustiva?
2. Sigui
A=
a1 0 b
1 0 0 −1
2a0−2
1 0 b−1
(i) Calculeu el determinant de A. Digues en quins casos At´e inversa.
(ii) Discutiu el rang de Asegons els valors dels par`ametres aib.
(iii) Considerem el sistema d’equacions lineals
A
x
y
z
t
=
−1
0
5
10
.
Suposant b=−a, discutiu quan el sistema d’equacions t´e soluci´o segons el valor
del par`ametre a. En els casos que sigui possible, resoleu-lo i digueu quants graus de
llibertat t´e la soluci´o.
3. Sigui Mla matriu
M=
1 4 0
0−1 0
3 6 a
.
(i) Proveu que per a6= 1,−1 la matriu M´es diagonalitzable.
(ii) Discutiu si Mdiagonalitza en el cas a= 1.
(iii) Proveu que Mdiagonalitza en el cas a=−1 i trobeu una base de vectors propis de
M.
4. Donada la forma bilineal de R3
β((x, y, z),(x0, y 0, z0)) = 6xx0+ 4xz0+ 3yy0−4yz0+ 4x0z−4y0z+ 8z z0.
