`
ALGEBRA LINEAL (Gener 2005)
1. Considerem l’endomorfisme f:R3−→ R3
(x, y, z)7→ (2x−3y+z , x −y+z, −x+ 2y)
(i) Trobeu la matriu de fen la base can`onica de R3.
(ii) Proveu que els vectors (1,0,0),(2,1,0),(3,2,1) s´on una base de R3. Trobeu la matriu de
fen aquesta base.
(iii) Calculeu Kerfi Imf. Doneu bases d’aquests espais i calculeu-ne les seves dimensions.
(iv) ´
Es fun monomorfisme? I un epimorfisme? (Raoneu les respostes).
2. Siguin A=
1−1 0 2
a0ab −1
2−1b1
1−1b2
,v=
1
4
5
2
ix=
x1
x2
x3
x4
.
(i) Calculeu el rang de les matrius Ai (A|v).
(ii) Digueu per quins valors de aibel sistema A x =v´es compatible.
(iii) Resol el sistema anterior quan a=b= 1.
3. Sigui A=
1 1 a
−242a−1
0 0 3
(i) Digues per quins valors de ala matriu Adiagonalitza.
(ii) En el cas a=1 prova que A5−8A4+ 21A3−18A2= 0.
4. Donada l’aplicaci´o β:R3×R3−→ Rdefinida per
β((x, y, z),(x0, y 0, z0)) = xx0+ 3xy0+ 3x0y+ 2y0y−z0y−y0z+ 6zz 0.
(i) Proveu que β´es una forma bilineal. Trobeu la matriu de βen la base can`onica de R3.
(ii) ´
Es βsim`etrica? ´
Es βun producte escalar? (Raoneu les respostes).
(iii) Calculeu el rang i la signatura de β. Forma redu¨ıda de β.
(iv) Calculeu una base ortogonal. Quina ´es la matriu de βen aquesta base ortogonal?
(v) Existeixen vectors is`otrops no nuls? En cas afirmatiu, trobeu-ne algun.