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C´
alculo Num´
erico en una variable
11 de junio de 2012.
Alumno: ............................................................ ...........................
1. [1 punto] Sea xn=R1
0xnexdx. Integrando por partes se tiene la siguiente f´ormula iterativa:
xn=e−nxn−1
empezando en x0=e−1. ¿Qu´e ocurrir´a si utilizamos esta f´ormula para aproximar el valor de
x25 con la calculadora? Razona la respuesta.
2. [2 puntos] Enunciado y demostraci´on de la f´ormula del error en la aproximaci´on de funciones
(suficientemente regulares) con polinomios de Lagrange.
3. [2 puntos] Descripci´on del m´etodo de Newton para aproximar ceros de funciones derivables.
Orden de convergencia del m´etodo (incluye la demostraci´on).
4. [1 punto] Considera los datos de las variables xeyque aparecen en la siguiente tabla
x0 0.25 0.5 0.75 1
y1 1.25 2 1.85 1.5
y aproxima el valor de la integral R1
0y dx utilizando la regla de Simpson compuesta.
5. Considera las funciones f(x)=0.3 cos(x2) y g(x) = f(x)−xen los siguientes ejercicios:
a)[0.5 puntos] Comprueba que gcambia de signo en [0,1]. ¿Cu´antas iteraciones son ne-
cesarias en el m´etodo de la bisecci´on para asegurar que se tiene una aproximaci´on de un
cero de gen [0,1] con una precisi´on de 30 d´ıgitos?
b)[1 punto ] Deriva la funci´on f(x) y comprueba que f: [0,1] →[0,1] y es contractiva.
Utilizando la calculadora y empezando en x0= 0 encuentra el punto fijo de fen [0,1] y
anota el n´umero de iteraciones utilizadas. ¿Cu´antas iteraciones hubiesen sido necesarias
para asegurar que se tiene una aproximaci´on del punto fijo de fen [0,1] con una precisi´on
de 30 d´ıgitos?
c)[0.5 puntos] Realiza dos pasos de Steffensen para aproximar el punto fijo de fempe-
zando en x0= 0.5.
6. [2 puntos] Considera el polinomio p(x) = x4−4x3+ 7x2−5x−2. Encuentra su sucesi´on de
Sturm y aproxima sus ra´ıces reales.
