¡Descarga Soluci´on de problemes de c´alcul: aproximaci´on de raices, integrals y funciones - Prof. y más Apuntes en PDF de Ingeniería Química solo en Docsity!
Matem`atiques 3
Curs 2012-2013/Q
Primer Parcial. 31/10/12. Versi´o 2.
- [3 punts] Ens plantegem trobar una aproximaci´o al nombre 1/
- Per fer-ho decidim utilitzar el seg¨uent m`etode iteratiu xk+1 =
xk 2 (3 − 17 x^2 k)
a) [1 punts] Feu dues iteracions d’aquest m`etode prenent com a punt inicial x 0 = 1.
b) [1 punts] Observant la seg¨uent taula de resultats (on α ´es el valor exacte buscat), digueu quin ´es l’ordre de convergencia d’aquest metode i justifiqueu perqu`e.
k xk |xk − α| 0 0.250000000000000 0. 1 0.242187500000000 0. 2 0.242534875869751 0. 3 0.242535625032862 0.
c) [1 punts] Comproveu si l’iterat x 2 de la taula anterior satisf`a el criteri d’aturada de l’error relatiu aproximat amb tolx = 0.0005. Com no disposeu de calculadora aproximeu les aproximacions xk a 8 decimals arrodonint (no truncant) i preneu 1/xk ≈ 4 quan ho necessiteu.
Resultats:
a) x 1 = x 2 =
b) ordre de converg`encia =
c) SI que es verifica NO que es verifica
- [3.5 punts] L’error a l’aproximar una integral definida utilitzant el m`etode de Simpson simple es pot escriure com ∫ (^) b
a
f (x)dx − S(f ) = M f (4)(ξ), (1)
on S(f ) ´es l’aproximaci´o del metode de Simpson simple (que equival al metode compost amb un sol interval), ξ ´es un punt entre a i b i on M ´es una constant que no dep`en de la funci´o que s’integra.
a) [1.5 punts] Trobeu el valor de la constant M en el cas que f (x) = x^4 i prenent com a l´ımits d’integraci´o a = 0 i b = h. Simplifiqueu el m`axim possible el valor de M. Ajuda: calculeu els tres termes que apareixen en l’equaci´o (1) per al cas f (x) = x^4 , a = 0 i b = h. En particular, haureu de calcular el valor de la integral exacta i de l’aproximaci´o de Simpson per aquest cas particular i simplificar tenint en compte que 5 · 242 = 2880.
b) [1 punts] Escriviu l’expressi´o de l’error comes pel metode del Simpson compost quan s’integra entre a i b. Quina relaci´o hi ha entre aquesta expressi´o i el resultat obtingut a l’apartat a)?
c) [1 punts] Calculeu l’aproximaci´o de la integral ∫ (^2)
0
x^4 dx
utilitzant el m`etode de Simpson Compost amb n = 1. Utilitzant els resultats obtinguts en els apartats anteriors, calculeu l’error que es comet a l’aproximar aquesta integral. No podeu calcular l’error calculant el valor exacte de la integral.
Resultats:
a) M =
b) error Simpson compost
c)
0
x^4 dx ≈ error =
- [3.5 punts] La velocitat, v(t), d’un vehicle en funci´o del temps ha estat mesurada en tres instants de temps i tabulada en la seg¨uent taula: ti -1 0 1 v(ti) 1 3 2
a) [1.5 punt] Aproxima la velocitat del vehicle v(t) amb una par`abola, p(t), fent servir el criteri de m´ınims quadrats.
b) [1 punts] Calcula el valor aproximat del despla¸cament del vehicle entre t = −1 i t = 1 utilitzant la parabola de l’apartat a). Ajuda: El despla¸cament d’un vehicle entre t = T 1 i t = T 2 es defineix com x(T 2 ) − x(T 1 ). Tenint en compte que la velocitat es defineix com la derivada de la posici´o v(t) = dx/dt i utilitzant el teorema fonamental del calcul s’obt´e que el despla¸cament entre t = T 1 i t = T 2 es pot calcular com
x(T 2 ) − x(T 1 ) =
∫ T 2
T 1
v(t) dt.
c) [1 punts] En l’apartat b) utilitzant la par`abola trobada a l’apartat a) heu calculat una aproximaci´o a la integral ∫ (^) T 2
T 1
v(t) dt.
Digueu si el metode utilitzat per aproximar aquesta integral es correspon amb algun dels metodes d’inte- graci´o vists a classe i expliqueu perqu`e.
Resultats:
a) p(t) =
b) Aproximaci´o del despla¸cament entre t = −1 i t = 1=
c) m`etode =
COMPETENCIA GENERICA - [10 punts]
a) [5 punts] Expresseu el nombre 4.375 en base 2.
b) [5 punts] Es vol emmagatzemar el nombre (101.0101) 2 utilitzant un emmagatzematge en base 2, coma flotant, utilitzant una mantissa de 5 bits (un d’ells pel signe) i un exponent de 3 bits (un d’ells pel signe) i mitjan¸cant arrodoniment per eliminaci´o. Retorna la representaci´o d’aquest nombre en aquest format i calcula l’error associat a l’aproximaci´o.
Resultats:
a) 4.375=
b) representaci´o
error absolut
- [3.5 punts] L’error a l’aproximar una integral definida utilitzant el m`etode de Simpson simple es pot escriure com ∫ (^) b
a
f (x)dx − S(f ) = M f (4)(ξ), (1)
on S(f ) ´es l’aproximaci´o del metode de Simpson simple (que equival al metode compost amb un sol interval), ξ ´es un punt entre a i b i on M ´es una constant que no dep`en de la funci´o que s’integra.
a) [1.5 punts] Trobeu el valor de la constant M en el cas que f (x) = x^4 i prenent com a l´ımits d’integraci´o a = 0 i b = h. Simplifiqueu el m`axim possible el valor de M. Ajuda: calculeu els tres termes que apareixen en l’equaci´o (1) per al cas f (x) = x^4 , a = 0 i b = h. En particular, haureu de calcular el valor de la integral exacta i de l’aproximaci´o de Simpson per aquest cas particular i simplificar tenint en compte que 5 · 242 = 2880.
b) [1 punts] Escriviu l’expressi´o de l’error comes pel metode del Simpson compost quan s’integra entre a i b. Quina relaci´o hi ha entre aquesta expressi´o i el resultat obtingut a l’apartat a)?
c) [1 punts] Calculeu l’aproximaci´o de la integral ∫ (^2)
0
x^4 dx
utilitzant el m`etode de Simpson Compost amb n = 1. Utilitzant els resultats obtinguts en els apartats anteriors, calculeu l’error que es comet a l’aproximar aquesta integral. No podeu calcular l’error calculant el valor exacte de la integral.
Resultats:
a) M = −h^5 / 2880
b) error Simpson compost −
(b − a)^5 2280 n^4 f (4)(ξ) o b´e −
(b − a)h^4 2880 f (4)(ξ)
c)
0
x^4 dx ≈ 20 / 3 error = − 4 / 15
Soluci´o.
a) En el cas particular que f (x) = x^4 , a = 0 i b = h tenim que ∫ (^) h
0
f (x)dx =
∫ (^) h
0
x^4 dx =
[
x^5 4
]h
0
h^5 5
L’aproximaci´o del m`etode del Simpson en aquest cas ´es
S(f ) = h
( (^) h 2
h^5 6
h^5 6
5 h^5 24
i la derivada quarta de la funci´o ´es f (4)(x) = 4 · 3 · 2 = 4! = 24 per a tot x ∈ R. Per tant, l’equaci´o (1) en aquest cas queda:
h^5 5
5 h^5 24
= 24M.
Per determinar el valor de M nom´es falta simplificar
M =
h^5 5
5 h^5 24
h^5 24
h^5 5 · 242
h^5 2880
b) L’error del m`etode de Simpson compost ve donat per
ES = −
(b − a)^5 2280 n^4
f (4)(ξ) = −
(b − a)h^4 2880
f (4)(ξ)
on n ´es el nombre de subintervals que es consideren, h ´es la longitud dels subintervals i ξ ∈ [0, h]. Si prenem n = 1 i h = (b − a) en l’expressi´o anterior obtenim l’error del m`etode del Simpson simple
ES = −
h^5 2880
f (4)(ξ),
que ´es la mateixa expressi´o obtinguda en l’apartat a), prenent M = −h^5 /2880 en l’equaci´o (1).
c) El metode de Simpson compost amb n = 1 coincideix amb el metode de Simpson simple, per tant ∫ (^2)
0
x^4 dx =
0 + 4 + 2^4
L’error de Simpson per n = 1 ve donat per
ES = −
(b − a)^5 2280
f (4)(ξ) = −
ja que f (4)(x) = 24.
- [3.5 punts] La velocitat, v(t), d’un vehicle en funci´o del temps ha estat mesurada en tres instants de temps i tabulada en la seg¨uent taula:
ti -1 0 1 v(ti) 1 3 2
a) [1.5 punt] Aproxima la velocitat del vehicle v(t) amb una par`abola, p(t), fent servir el criteri de m´ınims quadrats.
b) [1 punts] Calcula el valor aproximat del despla¸cament del vehicle entre t = −1 i t = 1 utilitzant la parabola de l’apartat a). Ajuda: El despla¸cament d’un vehicle entre t = T 1 i t = T 2 es defineix com la diferencia entre les posicions final i inicial, x(T 2 ) − x(T 1 ). Tenint en compte que la velocitat es defineix com la derivada de la posici´o v(t) = dx/dt i utilitzant el teorema fonamental del c`alcul s’obt´e que el despla¸cament entre t = T 1 i t = T 2 es pot calcular com
x(T 2 ) − x(T 1 ) =
∫ T 2
T 1
v(t) dt.
c) [1 punts] En l’apartat b) utilitzant la par`abola trobada a l’apartat a) heu calculat una aproximaci´o a la integral (^) ∫ T 2
T 1
v(t) dt.
Digueu si el metode utilitzat per aproximar aquesta integral es correspon amb algun dels metodes d’inte- graci´o vists a classe i expliqueu perqu`e.
Resultats:
a) p(t) = 3 +
t −
t^2
b) Aproximaci´o del despla¸cament entre t = −1 i t = 1= 5
c) m`etode = Simpson simple
Soluci´o.
a) Hem de fer l’aproximaci´o per m´ınims quadrats. Busquem,
p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t^2.
En aquest cas:
E(a 0 , a 1 , a 2 ) =
∑^ n
i=
(vi − a 0 − a 1 ti − a 2 t^2 i )^2.
Per tant, els valors d’a 0 , a 1 i a 2 que fan que p(t) sigui l’interpolant d’v(t) segons el criteri de m´ınims quadrats es determinen mitjan¸cant la minimitzaci´o
min a 0 ,a 1 ,a 2 E(a 0 , a 1 , a 2 ).
Determinarem els par`ametres a 0 , a 1 i a 2 imposant que
∂E ∂a 0
∂E
∂a 1
= 0 i
∂E
∂a 2
COMPETENCIA GENERICA
- [10 punts]
a) [3 punts] Expresseu el nombre 4.375 en base 2.
b) [4 punts] Es vol emmagatzemar el nombre (101.0101) 2 utilitzant un emmagatzematge en base 2, coma flotant, utilitzant una mantissa de 5 bits (un d’ells pel signe) i un exponent de 3 bits (un d’ells pel signe) i mitjan¸cant arrodoniment per eliminaci´o. Retorna la representaci´o d’aquest nombre en aquest format i calcula l’error associat a l’aproximaci´o.
Resultats:
a) 4.375= (100.011) 2
b) representaci´o 1 0 1 0 0 ︸ ︷︷ ︸ mantissa
exponent
error absolut 2 −^2 + 2−^4 = 0. 3125
a) Donat el nombre 4.375, convertirem primer la part entera a binari i despr´es la part decimal. Com que 4 = 2^2 = 2^2 = (100) 2. En relaci´o a la part decimal
- 375 × 2 = 0 .75 + 0
- 75 × 2 = 0 .5 + 1
- 5 × 2 = 0 + 1
Es a dir, 0^ ´ .375 = (0.011) 2. Ajuntant els dos resultats anteriors, es t´e que 4.375 = (100.011) 2.
b) Com que (101.0101) 2 = (0.1010101) 2 · 23 = (0.1010101) 2 · 2 (11)^2 , si utilitzem 5 bits per a la mantissa i 3 per l’exponent i arrodonim mitjan¸cant eliminaci´o, guardar´ıem el seg¨uent nombre
1 0 1 0 0 ︸ ︷︷ ︸ mantissa
exponent
Tenint en compte que (101.0101) 2 = 2^2 + 2^0 + 2−^2 + 2−^4 i que (0.1010) 2 · 2 (11)^2 = (0.1010) 2 · 23 = (101.0) 2 = 2^2 + 2^0 l’error absolut ser`a
Ea = 2^2 + 2^0 + 2−^2 + 2−^4 − 22 + 2^0 = 2−^2 + 2−^4 = 0.25 + 0.0625 = 0. 3125.
