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Facultad de Ciencias Físicas Universidad Complutense de Madrid EXAMEN FINAL DE ALGEBRA (GRUPO B) CURSO 2M09-2010-((2 DE JULIO DE 2010) APELLIDOS NOMBRE: DNI y Firma: Primer Cuatrimestre: 1. Sean A a. 20 2 . 6 3] yó=| 1 2 14 Hallar, si es posible, una factorización LU de la matriz A. Usando el resultado del apartado anterior, resolver, si es posible, el sistema lineal de ecuaciones AZ = 5. 2. Se sabe que la mabriz en las bases canónicas de la aplicación lineal matricial f € L(R3, R?) es. 2 ( 31b rai) y que cl rango de F es ¿menor que 2. (a) Determine los valores de a y b. (b) Calenle una bases para cada uno de los cuatro subespacios asociados a 7: Col(F) = Im(f), Col(ET), Nul(F) = ker(f) y Nul(FT) (0) Calcule la matriz de la aplicación lineal en las bases Bga = (0 = (1,3,0), 0) = (1,0,2), 43 = (0,4,—2)) de R3 y Cra = (wi = (2,1), w%2 = (5,3) de R2. Segundo Cuatrimestre: T 31 Dados los subespacios vectoriales de R3: H = ((c1, 29,19) € R: 11 — 3m9 + 4203 =0) (030) (a) Calcular la dimensión y una base de H. (b) Calcular la dimensión de W y las ecuaciones que lo definen implícitamente. (e) Hallar la dimensión y una base para H NW. (d) Determinar la dimensión de HI + W y una base para este subespacio de R?. 2. Dada la matriz TA 2 2-1 A=| 2-1 2 1 2 2 (a) Calcular los valores propios de A. ¿Es A diagonalizable? En caso afirmativo, hallar matrices P y D, tales que A=PDP”!, donde D es una matriz diagonal/(b) Sea el sistema dinámico disercto, descrito por la ecuación en diferencias dí; ,1 = Az, con la matriz A anterior y la condición inicial arbitraria dy 0. Calcular la solución del sistema, es decir, calcular explícitamente ús. (c) ¿Existe k tal que [21 —81?. En caso afirmativo calcularlo. T5 + . (a) epesenrá mataro crtonormal del subespacio 17 = Linfú = (1,1,1,1),% = (2,—1,1,1), 0 = (2, -7,-1.-1)) € (b) Sl la proyección ortogonal del vector F = (—3,5,9,3) sobre W y la mejor aproximación a Zen W2. 1