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Universidad Carlos III de Madrid
Ejercicio 1 2 3 4 5 6 Total Puntos
Departamento de Econom´ıa Examen Final de Matem´aticas I 23 de Junio de 2017
Duraci´on del Examen: 2 horas. APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Titulaci´on: Grupo:
(1) Sea la funci´on f (x) = eQ(x), donde Q(x) = x
2 x − 1
. Se pide: (a) Representa la gr´afica de f (x) hallando previamente el dominio, las as´ıntotas, los interva- los de crecimiento y decrecimiento, extremos locales y/o globales y la imagen de f (x). (b) Considera la funci´on f (x) restringida al intervalo [2, ∞). Dibuja la gr´afica de f −^1 (x), hallando previamente el dominio, la imagen y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f −^1 (x). Sugerencia para b: no intentar hallar la expresi´on anal´ıtica de f −^1 (x). 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b).
a) El dominio es toda la recta real, excluyendo el punto x = 1. Hay as´ıntota vertical en x = 1+, pues lim x−→ 1 +
x^2 x − 1 = ∞ =⇒ lim x−→ 1 + f (x) = ∞.
Por otro lado, lim x−→ 1 −
x^2 x − 1 = −∞ =⇒ lim x−→ 1 −
f (x) = 0. No puede haber m´as as´ıntotas verticales, pues la funci´on es continua en los restantes puntos. Por otra parte, hay as´ıntota horizontal en −∞, pues (^) x−lim→−∞ x^2 x − 1 = −∞ =⇒ (^) x−lim→−∞f (x) = 0.
An´alogamente, como (^) x−lim→∞ f (x) x = ∞ ∞ = ( por la regla de L’Hopital)
= (^) x−→∞limf (x) x^2 − 2 x (x − 1)^2 = ∞ =⇒no existe as´ıntota horizontal ni obl´ıcua en ∞. En cuanto a la monoton´ıa de la funci´on, la derivamos y obtenemos que, si x 6 = 1: f ′(x) = f (x) x^2 − 2 x (x − 1)^2 , de lo que se deduce que: f es creciente en (−∞, 0] y en [2, ∞), pues f ′(x) > 0 en (−∞, 0) y en (2, ∞). f es decreciente en [0, 1) y en (1, 2], pues f ′(x) < 0 en (0, 1) y en (1, 2). Luego f alcanza un m´aximo local en x = 0 y un m´ınimo local en x = 2. Por lo tanto, su imagen ser´a (0, 1] ∪ [e^4 , ∞). As´ı pues, la gr´afica de la funci´on f (x) ser´a, aproximadamente, como la primera figura:
1
1
2
e^4
2
e^4
b) Partimos de la funci´on f (x), continua y creciente en [2, ∞) y con imagen [e^4 , ∞). Por lo tanto, su funci´on inversa es continua y creciente y tendr´ıa como dominio el intervalo [e^4 , ∞) y su imagen ser´ıa el intervalo [2, ∞). As´ı pues, la gr´afica de la funci´on f −^1 (x) ser´a, aproximadamente, como la segunda figura.
(2) Sea y = f (x) la funci´on definida de forma impl´ıcita cerca del punto (2, 1) a partir de la ecuaci´on: 4 xy − (x^2 + y^2 ) = 3. Se pide: (a) Hallar las derivadas primera y segunda de la funci´on f en el punto x = 2, y = 1. (b) Hallar la recta tangente y el polinomio de Taylor de orden 2 de la funci´on f en el punto (2, 1). Representar la gr´afica de dicha funci´on cerca de ese punto. 0,4 puntos apartado a; 0,6 puntos apartado b
a) En primer lugar, derivamos la ecuaci´on: 4(y + xy′) − 2(x + yy′) = 0. Sustituyendo en dicha ecuaci´on x = 2, y = 1 se obtiene: 4 + 8y′^ − 4 − 2 y′^ = 0 =⇒ y′^ = 0. Derivando de nuevo la ecuaci´on sin hacer las sustituciones: 4(2y′^ + xy”) − 2(1 + (y′)^2 + yy”) = 0. Sustituyendo en dicha ecuaci´on x = 2, y = 1, y′^ = 0 se obtiene: 8 y” − 2(1 + y”) = 0 =⇒ 6 y” = 2 =⇒ y” = 13.
b) La recta tangente tendr´a como ecuaci´on: y = 1. El polinomio de Taylor de orden 2 tendr´a como ecuaci´on: y = 1 + 12 ( 13 )(x − 2)^2 Por tanto, la funci´on impl´ıcita tendr´a un m´ınimo local cerca del punto x = 2, y su gr´afica ser´a, aproximadamente, as´ı:
1
2
(4) Sean a, b n´umeros reales y consideremos la siguiente funci´on definida a trozos
f (x) =
ae^4 x^ − be−^4 x^ si x < 0 0 si x = 0 x + ln(1 + 2ax + 2bx) si x > 0
. Se pide:
(a) Discutir, seg´un los valores a, b > 0 , la continuidad de la funci´on anterior en toda la recta real. (b) Discutir, seg´un los valores a, b > 0 , la derivabilidad de la funci´on anterior en toda la recta real. 1 punto
a) Para cualquiera valor de a, b > 0 la funci´on es continua si x 6 = 0. Adem´as, en x = 0, la funci´on es continua por la izquierda si se cumple que: lim x−→ 0 − f (x) = f (0) ⇐⇒ a − b = 0 ⇐⇒ a = b. Por otro lado, la funci´on es continua en 0+^ para cualquier a, b > 0. Luego se cumple que f (x) es continua en todo x cuando a = b > 0.
b) Desde luego, cuando x 6 = 0 la funci´on anterior es derivable para cualquer a, b > 0. En cuanto al punto x = 0, vamos a calcular las derivadas laterales, utilizando que la funci´on es continua en dicho punto cuando a = b. f (^) −′(0) = lim x−→ 0 − f ′(x) = lim x−→ 0 − 4 ae^4 x^ + 4be−^4 x^ = 4(a + b)
f (^) +′(0) = lim x−→ 0 + f ′(x) = lim x−→ 0 +
2(a + b) 1 + 2ax + 2bx ) = 1 + 2(a^ +^ b). Luego la funci´on ser´a derivable en todo punto cuando a = b, 2(a + b) = 1. En otras palabras, cuando a = b = (^14)
(5) Se considera el conjunto A limitado por las gr´aficas de las funciones y =
1 + x , y^ =^ −e
−x (^) y las rectas x = 0, x = 1. Se pide: (a) Representar el conjunto A y hallar los maximales y minimales, m´aximo y m´ınimo de A, si existen. (b) Calcular el ´area del recinto anterior. Sugerencia para a: el orden de Pareto viene dado por: (x 0 , y 0 ) ≤P (x 1 , y 1 ) ⇐⇒ x 0 ≤ x 1 , y 0 ≤ y 1. Sugerencia para b: no intentar calcular el valor pedido en forma decimal, basta dejarlo indicado. 0,6 puntos apartado a; 0,4 puntos apartado b
a) La funci´on f (x) =
1 + x es positiva y decreciente en el intervalo [0,^ 1], y la funci´on g(x) = −e−x^ es negativa y creciente en el mismo intervalo (pues basta comprobar que g′(x) = e−x^ > 0). Adem´as, como f (0) = 1 > −1 = g(0), f (1) = 12 > − (^1) e = g(1), el conjunto A tendr´a una forma, aproximadamente, as´ı:
xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
1
1
-1 (^) xxxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx x
(1,1/2)
(1,-1/e)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx f
g
Obviamente, por el dibujo se deduce que {maximales(A)} = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , y =
1 + x } =⇒ m´aximo (A) no existe. {minimales(A)} = {(0, −1)} = { m´ınimo(A)}.
b) El ´area solicitada es la que queda debajo de la funci´on racional y encima de la exponencial, limitada por las rectas verticales x = 0, x = 1. El ´area pedida es, por tanto:
∫^1
0
1 + x − (−e−x))dx =
∫^1
0
1 + x
- e−x)dx Integrando de forma directa:∫ (
1 + x
- e−x)dx = ln(1 + x) − e−x Por tanto, aplicando la regla de Barrow, se obtiene que el ´area pedida es: ∫^1 0
1 + x
- e−x)dx = [ln(1 + x) − e−x]^10 = ln 2 − e−^1 − (0 − 1) = = 1 − e−^1 + ln 2 unidades de ´area.
